四邊形輔助線練習題

1、特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關的問題時往往需要添加輔助線.下面介紹一些輔助線的添加方法.一、和平行四邊形有關的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質，為了利用這些性質往往需要添加輔助線構造平行四邊形.1 .利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形例1如圖1,已知點O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，四邊形OCD遑平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.說明：當已知條件中涉及到平行，且要求證的結論中和平行四邊形的性質有關，可試通過添加輔助線構造平行四邊形.2 .利用兩組對邊平行構造平行四邊形例2如圖2,在4ABC中,E、

2、F為AB上兩點，AE=BFED/AC,FG/AC交BC分別為D,G.求證:ED+FG=AC.說明：當圖形中涉及到一組對邊平行時，可通過作平行線構造另一組對邊平行，得到平行四邊形解決問題3 .利用對角線互相平分構造平行四邊形例3如圖3,已知AD是4ABC勺中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證BF=AC.圖3.當已知說明：本題通過利用對角線互相平分構造平行四邊形，實際上是采用了平移法構造平行四邊形中點或中線應思考這種方法二、和菱形有關的輔助線的作法和菱形有關的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質定定理解決問題.例4如圖5,在ABC中，/ACB=90,/BAC

3、的平分線交BC于點D,E是AB上一點，且AE=ACEF/BC交AD于點F,求證：四邊形CDE囑菱形.crb例5如圖6,四邊形ABCDt菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長.圖6說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關證明題或計算題作輔助線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有：（1）作菱形的高；（2）連結菱形的對角線.三、與矩形有輔助線作法和矩形有關的題型一般有兩種：（1）計算型題，一般通過作輔助線構造直角三角形借助勾股定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結矩形的對角線借助對角線相等這一性質解決問題 線的作法較少.例6 如圖7,已知矩形 AB

4、C咕一點，PA=3, PB=4, PC=5.求PD的長.和矩形有關的試題的輔助圖7四、與正方形有關輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關正方形的試題較多.解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線1例7如圖8,過正方形ABCD勺頂點B作BE/AC,且AE=AC又CF/AE.求證：/BCF=2/AEB.說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質，又涉及到菱形的性質.通過連接正方形的對角線構造正方形AHBO進一步得到菱形，借助菱形的性質解決問題.與中點有關的輔助線作法、有中線時可倍長中線，構造全等三角形或平行四邊形.例1.

5、已知：如圖，ad為AABC中線，求證：AB+AC>2AD.類題1.已知：如圖，AD為AABC的中線，AE=EF求證：BF=AC.二、有以線段中點為端點的線段時，常加倍此線段，構造全等三角形或平行四邊形例2.已知：如圖，在AABC中，2C=90。M為AB中點，P、Q分別在AGBC上，且PM_LQM222于M.求證：PQ2=AP2+BQ2.類題2.已知：MBC的邊BC的中點為N,過a的任一直線AD1BD于d,CE_LAD于E.求證:NE=ND.三、有中點時，可連結中位線.例3.如圖，AABC中，D、E分別為ARAC上點，且BD=CEMkN為BE、CD中點，連MNxARAC于P、Q,求證：AP

6、=AQ1.類題3.已知：如圖，E、F分別為四邊形ABCD勺對角線中點，AB>CD求證：EF>（ABCD）.2類題4.如圖，AABC中，AD是高，CE為中線，DG_LCE,G為垂足，DC=BE求證：（1）G是CE的中點；（2）ZB=2/BCE.四、有底邊中點，連中線，利用等腰三角形“三線合一”性質證題例4.已知：如圖，在RtAABC中，NBAC=90，AB=ACD為bc邊中點，P為BC上一點，PF_LAB于F,PE_LAC于E.求證：DF=DE.類題5.已知：如圖，矩形ABCDE為CB延長線上一點，且AC=CEF為AE中點，求證：BF_LFD.六、與梯形中點有關的輔助線：有腰中點時,

7、AD/ BC, AB _L BC , M為 CD的中點.求證:類題6.已知：梯形ABC計,ab/CDE為bc中點，EF_LAD于F.求證：S梯形ABCD=EFAD.【作業(yè)】1、已知ABC和DBE為等腰直角三角形，/ABCNDBE=90,AB、D在同一直線上，MNP分別是ADACDE邊上的中點，試說明MP與MN的關系并證明。2、如果上題中AB、D不在同一直線上，其余條件不變，上述結論是否發(fā)生變化？證明結論3、平行四邊形ABCD對角線相交于點O,P、EF分別是ADOBOC的中點，AC=2AB求證：PE=EFOE4、等腰梯形ABC計，DC/AB,/AOB=60,E、F、M分別是ODOABC的中點求證

8、：EFM是等邊三角形。5、如圖，在四邊形ABC計，AB=CDMN、P、Q分別是ADBCBDAC的中點。求證：MNPQ互相垂直平分。6、如圖，在ABC中，E是AB的中點，CD平分/ACBAD±CD,垂足為點D,求證：2DE=BC-AC7、BDCE分別為ABC外角平分線，AMLBD于MANLCE于N,探究MN<ABBCAC的關系附加題：(1)若將上題中BD改為/ABC的平分線，其它條件不變，則上題結論是否成立。(2)若BDCE分別為/ABC和/ACB勺平分線，其它條件不變，以上結論是否成立？(畫圖、證明)8、AABC43,AB=AC/BAC=t,在ABAC上截取ADAE,且AD=A

9、E連結DE=如圖1所示，貝U易證BD=CE如圖2所示，將ADE1時針針旋轉到如圖所示位置，連結BDCB(1)判斷BD與CE的數(shù)量關系及BRCE延長線所夾銳角的度數(shù)。(2)點GF分別是等腰ABC等4AD很邊的中點，/BAC=/DAE=t，點P是線段CD的中點，試探索/GPF與口的關系，并加以證明。9、我們給出如下定義：有一組相鄰內角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.請解答下列問題：(1)寫出一個你所學過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；(2)如圖1,在ABC中，AB=AC點D在BC上，且CD=CA點E、F分別為BGAD的中點，連接EF并延長交AB于點G求證：四邊形AGECt等鄰角四邊形；(3

10、)如圖2,若點D在4ABC的內部，(2)中的其他條件不變，EF與CD交于點H.圖中是否存在等鄰角四邊形，若存在，指出是哪個四邊形，不必證明；若不存在，請說明理由.EF, FG, GH HE1、在四邊形ABC計，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點，順次連結(1)請判斷四邊形EFGH勺形狀，并給予證明；(2)試添加一個條件，使四邊形EFGK菱形，并說明理由。2、如圖，在四邊形ABC中,AB=AD,CB=CD點M,N,P,Q分別是AB,BC,CD,DA的中點，求證：四邊形MNPO矩形.小結：中點四邊形：對角線的四邊形的中點四邊形是菱形對角線的四邊形的中點四邊形是矩形對角線的四邊形的中點

11、四邊形是正方形對角線的四邊形的中點四邊形是平行四邊形(1)順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是.(2)順次連接平行四邊形各邊中點所得的四邊形是.(3)順次連接矩形各邊中點所得的四邊形是.(4)順次連接菱形各邊中點所得的四邊形是.(5)順次連接正方形各邊中點所得的四邊形是練習題：1、順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點，所得圖形一定是(A矩形B直角梯形C菱形D.正方形2、如圖，小區(qū)的一角有一塊形狀為等梯形的空地，為了美化小區(qū)，社區(qū)居委會計劃在空地上建一個四邊形的水池，使水池的四個頂點恰好在梯形各邊的中點上，則水池的形狀一定是A、等腰梯形B、矩形C、菱形D、正方形3、.順次連接一個四邊形的各邊

12、中點，得到了一個矩形，則下列四邊形滿足條件的是()平行四邊形菱形等腰梯形對角線互相垂直的四邊形A.B.C.D.4、順次連接四邊形ABC南邊的中點所得四邊形是菱形，則四邊形ABC什定是A.菱形B.對角線互相垂直的四邊形C.矩形D.對角線相等的四邊形5.如圖，在梯形ABC麗,AB/CDAD=BC點E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點，則下列結論一定正確的是().以一，丁一.£A./HGF=/GHEB./GHE=/HEFC./HEF=ZEFGD./HGF=/HEF6、如圖，依次連結第一個矩形各邊的中點得到一個菱形，再依次連結菱形各邊的中點得到第二個矩形，按7、我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形.若一個四邊形ABCD的中點四邊形是一個矩形，則四邊形ABCD可以是.8、如圖，點E、F、GH分別是任意四邊形ABC由ADBDBCCA的中點，當四邊形ABCD勺邊至少滿足條件時，四邊形EFGHI菱形.9、如圖，四邊形ABC由,AC=a,BD=b,且ACLBD順次連接四邊形ABC略邊中點，得到四邊形ABCD,再順次連接四邊形ABC