一元二次方程解法——因式分解配方法

1、一元二次方程解法因式分解、配方法知識(shí)點(diǎn)回顧：定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程 一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過(guò)整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式 一個(gè)一元二次方程經(jīng)過(guò)整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng) 解法一 直接開(kāi)方法適用范圍：可解部分一元二次方程直接開(kāi)平方法就是用直接開(kāi)平方求解一元二次方程的方法。用直接開(kāi)平方法解形如(x-m)2=n (n0)的方程，其解為x=m±n歸納小結(jié)：共同特點(diǎn)：

2、把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想” 由應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形如x2=p（p0），那么x=±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開(kāi)平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=±，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的若p0則方程無(wú)解自主練習(xí)：1：用直接開(kāi)平方法解下列方程：（1）； （2）； （3） （4） （5）； （6）； （7）；2. 關(guān)于的方程的根 ，3. 關(guān)于的方程的解為 解法二分解因式法適用范圍：可解部分一元二次方程因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種）”和“十字相乘法”。因式分解法是通過(guò)將方程左邊因式分解

3、所得，因式分解的內(nèi)容在八年級(jí)上學(xué)期學(xué)完。解下列方程 （1）2x2+x=0 （2）3x2+6x=0上面兩個(gè)方程中都沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)；左邊都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2） 因此，上面兩個(gè)方程都可以寫(xiě)成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因?yàn)閮蓚€(gè)因式乘積要等于0，至少其中一個(gè)因式要等于0，也就是：（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=- （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開(kāi)平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降

4、次，這種解法叫做因式分解法例1解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移項(xiàng)提取公因式x；（2）等號(hào)右側(cè)移項(xiàng)到左側(cè)得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可達(dá)到分解因式；一邊為兩個(gè)一次式的乘積，另一邊為0的形式 解：（1）移項(xiàng)，得：4x2-11x=0 因式分解，得：x（4x-11）=0 于是，得：x=0或4x-11=0 x1=0，x2= （2）移項(xiàng)，得（x-2）2-2x+4=0 （x-2）2-2（x-2）=0 因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 整理，得：（x-2）（x-4）=0 于是，得x-2=0或x-4=0 x1=2，x2=4

5、 例2已知9a2-4b2=0，求代數(shù)式的值 分析：要求的值，首先要對(duì)它進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后從已知條件入手，求出a與b的關(guān)系后代入，但也可以直接代入，因計(jì)算量比較大，比較容易發(fā)生錯(cuò)誤 解：原式= 9a2-4b2=0 （3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-b或a=b 當(dāng)a=-b時(shí)，原式=-=3， 當(dāng)a=b時(shí)，原式=-3 例3（十字相乘法）我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=0，請(qǐng)你用上面的方法解下列方程 （1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0上面這種

6、方法，我們把它稱為十字相乘法一：用因式分解法解下列方程：(1)y27y60； (2)t(2t1)3(2t1)； (3)(2x1)(x1)1 (4)x212x0；(5)4x210； (6)x27x；(7)x24x210；(8)(x1)(x3)12； (9)3x22x10； (10)10x2x30；(11)(x1)24(x1)210解法三配方法適用范圍：可解全部一元二次方程 引例：x2+6x-16=0 x2+6x-16=0移項(xiàng)x2+6x=16兩邊加（6/2）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 x2+6x+32=16+9左邊寫(xiě)成平方形式 （x+3）2=25 降次x+3=±5 即 x+3=

7、5或x+3=-5 解一次方程x1=2，x2= -8像上面的解題方法，通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫配方法可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)先將已知方程化為一般形式；（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（3）常數(shù)項(xiàng)移到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-p±q；如果q0,方程無(wú)實(shí)根用配方法解一元二次方程小口訣 二次系數(shù)化為一；常數(shù)要往右邊移；一次系數(shù)一半方；兩邊加上最相當(dāng)例1用配方法解下列關(guān)于x的方程 （1

8、）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-=0 分析：（1）顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上例3解下列方程 （1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來(lái)完成，即配一個(gè)含有x的完全平方拓展題用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6 分析：因?yàn)槿绻归_(kāi)（6x+7）2，那么方程就變得很復(fù)雜，如果把（6x+7）看為一個(gè)數(shù)y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=（6x+7）+，x+1=（6x+7）-，因此，方程就轉(zhuǎn)化為y的方程，

9、像這樣的轉(zhuǎn)化，我們把它稱為換元法 解：設(shè)6x+7=y 則3x+4=y+，x+1=y- 依題意，得：y2（y+）（y-）=6 去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72 y2（y2-1）=72， y4-y2=72 （y2-）2= y2-=± y2=9或y2=-8（舍） y=±3 當(dāng)y=3時(shí)，6x+7=3 6x=-4 x=- 當(dāng)y=-3時(shí)，6x+7=-3 6x=-10 x=- 所以，原方程的根為x1=-，x2=-例5. 求證:無(wú)論y取何值時(shí),代數(shù)式-3 y2+8y-6恒小于0.一元二次方程解法因式分解、配方法2013-7-1 （一）1下面一元二次方程解法中，正確的是（ ） A（

10、x-3）（x-5）=10×2，x-3=10，x-5=2，x1=13，x2=7 B（2-5x）+（5x-2）2=0，（5x-2）（5x-3）=0，x1= ，x2= C（x+2）2+4x=0，x1=2，x2=-2 Dx2=x 兩邊同除以x，得x=12下列命題方程kx2-x-2=0是一元二次方程；x=1與方程x2=1是同解方程；方程x2=x與方程x=1是同解方程；由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正確的命題有（ ） A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)3如果不為零的n是關(guān)于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值為（ ） A- B-1 C D14x2-5x因式分解結(jié)

11、果為_(kāi)；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結(jié)果是_5方程（2x-1）2=2x-1的根是_6二次三項(xiàng)式x2+20x+96分解因式的結(jié)果為_(kāi)；如果令x2+20x+96=0，那么它的兩個(gè)根是_7.方程x(x) x的解為_(kāi)8用因式分解法解下列方程（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=09已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值 （二）1配方法解方程2x2-x-2=0應(yīng)把它先變形為（ ） A（x-）2= B（x-）2=0 C（x-）2= D（x-）2=2下列方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是（ ） Ax2+1=0 B（2x+1）2=0

12、C（2x+1）2+3=0 D（x-a）2=a3已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（ ） A1 B2 C-1 D-24將二次三項(xiàng)式x2-4x+1配方后得（ ） A（x-2）2+3 B（x-2）2-3 C（x+2）2+3 D（x+2）2-35已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（ ）Ax2-8x+（-4）2=31 Bx2-8x+（-4）2=1 Cx2+8x+42=1 Dx2-4x+4=-11 6如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m0）的左邊是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則m等于（ ） A1 B-1 C1或9 D-1或97方程x

13、2+4x-5=0的解是_8.方程左邊配成一個(gè)完全平方式，所得的方程是 9代數(shù)式的值為0，則x的值為_(kāi)10已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設(shè)x+y=z，則原方程可變?yōu)開(kāi)，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為_(kāi)11無(wú)論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2-2x-4y+16的值總是_數(shù)12如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關(guān)系是_13用配方法解方程（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=2x（3） （4） （5） （6）14如果x2-4x+y2+6y+13=0，求（xy）z的值15.用配方法證明：（1）的值恒為正； （2）的值恒小于0（3）多項(xiàng)式的值總大于的值16.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）x2-4x-3=0