空間直線與直線的位置關(guān)系(教案)

1、課題： 2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 桓臺一中數(shù)學(xué)組 尹朔教材版本： 新課標(biāo)：人教版A版數(shù)學(xué)必修2設(shè)計思想：空間中直線與直線的位置關(guān)系是學(xué)生在已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面的基本概念的基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)的。在立體幾何初步的內(nèi)容中，位置關(guān)系主要包括直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系。而空間中直線與直線的位置關(guān)系是以上各種位置關(guān)系中最重要、最基本的一種，是我們研究的重點。其中，等角定理解決了角在空間中的平移問題，在平移變換下角的大小不變，它是兩條異面直線所成角的依據(jù)，也是以后學(xué)習(xí)研究二面角幾角有關(guān)內(nèi)容的理論依據(jù)，它提供了一個研究角之間關(guān)系的重要方法。教材在編寫時注意從平面到

2、空間的變化，通過觀察實物，直觀感知，抽象概括出定義及定理培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和分析問題的能力，通過聯(lián)系和比較，理解定義、定理，以利于正確的進行運用。教材分析：直線與直線問題是高考考查的重點之一，求解的關(guān)鍵是根據(jù)線與面之間的互化關(guān)系，借助創(chuàng)設(shè)輔助線與面，找出符號語言與圖形語言之間的關(guān)系把問題解決。通過對有關(guān)概念和定理的概括、證明和應(yīng)用，使學(xué)生體會“轉(zhuǎn)化”的觀點，提高學(xué)生的空間想象力和邏輯推理能力。教學(xué)目標(biāo)：1、知識與技能（1）.掌握異面直線的定義，會用異面直線的定義判斷兩直線的位置關(guān)系。（2）.會用平面襯托來畫異面直線。（3）.掌握并會應(yīng)用平行公理和等角定理。（4）.會用異面直線所成的角的定義找出

3、或作出異面直線所成的角，會在直角三角形中求簡單異面直線所成的角。2、過程與方法（1）自主合作探究、師生的共同討論與講授法相結(jié)合；（2）讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程不斷探究歸納整理所學(xué)知識。3、情感態(tài)度與價值觀(1).讓學(xué)生感受到掌握空間兩直線關(guān)系的必要性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。(2).增強動態(tài)意識，培養(yǎng)學(xué)生觀察、對比、分析的思維，通過平移轉(zhuǎn)化滲透數(shù)學(xué)中的化歸及辯證唯物主義思想。(3).通過探究增強學(xué)生的合作意識、動腦意識和動手能力。教學(xué)重點：異面直線的定義；異面直線所成的角的定義。教學(xué)難點：異面直線所成角的推證與求解。教具準(zhǔn)備:學(xué)生學(xué)案一份、多媒體、合作探究配套教學(xué)模型（正方體）教學(xué)模式問題自主、合作探究教

4、學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入1師：平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系有？生：相交直線、平行直線相交直線（有一個公共點）；平行直線（無公共點）2師：平面內(nèi)不平行的兩直線必相交，問：空間內(nèi)還成立否？通過實例展示。十字路口-立交橋立交橋中, 兩條路線AB, CD既不平行，又不相交（非平面問題）六角螺母 ABCD二、新課講解1.異面直線的定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線。練習(xí)：在教室里找出幾對異面直線的例子（學(xué)生就教室中的燈管、黑板、墻棱、暖氣管、課桌等等找出許多異面直線）2異面直線的畫法說明: 畫異面直線時 , 為了體現(xiàn)它們不共面的特點。常借助一個或兩個平面來襯托.合作探究：分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線

5、是否一定異面？答：不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行。 （學(xué)生自告奮勇的在黑板上畫出上述三種情況，即鞏固異面直線的定義，又訓(xùn)練了異面直線的畫法）3.空間兩直線的位置關(guān)系按平面基本性質(zhì)分 （1）同在一個平面內(nèi)：相交直線、平行直線（2）不同在任何一個平面內(nèi)：異面直線HCBEDGA按公共點個數(shù)分 （1）有一個公共點: 相交直線（2）無公共點：平行直線、異面直線注1：兩直線異面的判別一 : 兩條直線 既不相交、又不平行.兩直線異面的判別二 : 兩條直線不同在任何一個平面內(nèi).合作探究：如圖是一個正方體的展開圖,如果將它還原為正方體, 那么 AB , CD , EF , GH 這四條線段所在直線是

6、異面直線的有 對?（學(xué)生以小組為單位，對照課前準(zhǔn)備好的正方體模型，進行合作討論，找出異面直線。老師通過幾何畫板展示此圖還原的過程，與學(xué)生一起訂正他們的答案）答:共有三對3.異面直線所成的角(1)復(fù)習(xí)回顧ABGFHEDC在平面內(nèi),兩條直線相交成四個角, 其中不大于90度的角稱為它們的夾角, 用以刻畫兩直線的錯開程度, 如圖.O(2)問題提出在空間,如圖所示, 正方體ABCDEFGH中, 異面直線AB與HF的錯開程度可以怎樣來刻畫(3)問題猜想思想方法 : 平移轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角,即化空間圖形問題為平面圖形問題思考 : 這個角的大小與O點的位置有關(guān)嗎 ? 即O點位置不同時, 這一角的大小 是否

7、改變? 答 : 這個角的大小與O點的位置無關(guān). (4)理論支持：我們知道,在同一平面內(nèi), 如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線互相平行.在空間這一規(guī)律是否還成立呢?觀察 : 將一張紙如圖進行折疊 , 則各折痕及邊 a, b, c, d, e, 之間有何關(guān)系？abced ab c d e 公理：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行平行線的傳遞性推廣：在空間平行于一條已知直線的所有直線都互相平行：在平面內(nèi), 我們可以證明 “ 如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補 ”空間中這一結(jié)論是否仍然成立呢？D1C1B1A1CABD觀察：如圖所示,底面為平行四邊形的四棱

8、柱ABCD-A1B1C1D1中,321 =100o，1與2 , 1與3兩邊分別對應(yīng)平行,這兩組角的大小關(guān)系如何? 1答:從圖中可看出, 2=1, 3+1=180定理（等角定理）：空間中，如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補證: 這個角的大小與O點的位置無關(guān).（5）解決問題異面直線所成角的定義: 如圖,已知兩條異面直線 a , b , 經(jīng)過空間任一點O作 直線 aa , b b 則把 a 與 b 所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).aOb異面直線所成的角的范圍( 0O , 90O 注2：如果兩條異面直線 a , b 所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直 ,

9、記為a b注3：在求作異面直線所成的角時,O點常選在其中的一條直線上(如線段的端點,線段的中點等)4例題選講GFHEBCDA1.下圖長方體中(1)說出以下各對線段的位置關(guān)系?EC和BH是 相交 直線BD和FH是 平行 直線 BH和DC是 異面 直線 (2)與棱 A B 所在直線異面的棱共有 4 條?課后思考：長方體的棱中共有多少對異面直線？ABGFHEDC例2如圖，正方體ABCD-EFGH中如圖，正方體ABCD-EFGH中O為側(cè)面ADHE的中心，求(1)BE與CG所成的角？(2)FO與BD所成的角？解：(1)如圖：CGBF，EBF(或其補角)為異面直線BE與CG所成的角，又 D BEF中EBF

10、 =450 ，所以BE與CG所成的角為450（2）連接FH，HDEAFB HDFB 四邊形HFBD為平行四邊形，HFBD，HFO（或其補角）為異面直線FO與BD所成的角。連接HA、AF，易得FH=HA=AF，AFH為等邊，又依題意知O為AH中點, HFO=300 即FO與BD所成的夾角是300注4：求異面直線的步驟是:“一作(找)二證三求”5課堂練習(xí)（1）.已知a，b，c是三條直線，且a/b，a與c的夾角為， 那么b與c夾角為 _ （答案：）（2）判斷：兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線互相平行.兩條直線和第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行.兩條直線和第三條直線平行，則這兩條直線

11、互相平行.（答案： × × ）（3）. 如圖，已知空間四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點，試判斷四邊形EFGH是什么四邊形，并證明你的結(jié)論。（用課件給出例2）證明：連結(jié)BDE、H分別是AB、AD的中點EH是ABD的中位線EHBD，且EH=BD同理，F(xiàn)GBD，且FG=BDEHFG，且EH=FG四邊形EFGH是平行四邊形小組合作探究：在例2中，若加上條件AC=BD，那么這 個四邊形是什么四邊形？（菱形）GFHEBCDA（4）如圖,已知長方體ABCD-EFGH中, AB =, AD =, AE = 2求BC 和EG 所成的角是多少度?求AE 和

12、BG 所成的角是多少度?（答案： 450 ； 600 ） 6課堂小結(jié)異面直線的定義: 不同在 任何 一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線?？臻g兩直線的位置關(guān)系：相交直線、平行直線、異面直線異面直線的畫法：用平面來襯托異面直線所成的角：平移，轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角公理（平行公理）：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行等角定理：空間中，如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補異面直線所成角的求法: 一作(找)二證三求7、課后作業(yè)：（1）（必做）：復(fù)查并修改課前預(yù)習(xí)，補充完善聽課案（2）（分層達標(biāo)）：雙基自診 ：鞏固提高思考：EABFDC“ 若直線 a 與直線 b 異面，直線 b 與直線 c 異面。 則a與c 也異面”。這一命題對嗎？為什么？ ( 即:異面直線是否具有傳遞性）答：不一定。注：異面直線不