2013年高考真題解析分類匯編（理科數(shù)學(xué)）7：立體幾何

1、2013 高考試題解析分類匯編（理數(shù)）高考試題解析分類匯編（理數(shù)）7：立體幾何：立體幾何一、選擇題1. （2013 年高考新課標(biāo) 1（理） ）如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為 6cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為 （）ABCD35003cm38663cm313723cm320483cmA 設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓 M，則圓心 M 為正方體上底面正方形的中心如圖設(shè)球的半徑為 R，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于（R2）cm，而圓 M 的半徑為 4，由球的截面圓性質(zhì)，得 R2=（R2）2+42，

2、解出 R=5，所以根據(jù)球的體積公式，該球的體積 V=故選 A2. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純 WORD 版） ）設(shè)是,m n兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是 （）, A若,則B若,則 mnmn/mn/mnC若,則D若,則mnmnm/mn/nD D；ABC 是典型錯誤命題,選 D3. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD 版含答案（已校對） ）已知正四棱柱中,則與平面所成角的正弦值等于（）1111ABCDABC D12AAABCD1BDCABCD23332313A 設(shè) AB=1，則 AA1=2，分別以的方向為 x 軸

3、、y 軸、z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則 D（0，0，2） ，C1（0，1，0） ，B（1，1，2） ，C（0，1，2） ，=（1，1，0） ，=（0，1，2） ，=（0，1，0） ，設(shè) =（x，y，z）為平面 BDC1的一個法向量，則，即，取=（2，2，1） ，設(shè) CD 與平面 BDC1所成角為 ，則 sin=|= ，故選 A4. （2013 年高考新課標(biāo) 1（理） ）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（）ABCD1688816 168 16A 三視圖復(fù)原的幾何體是一個長方體與半個圓柱的組合體，如圖，其中長方體長、寬、高分別是：4，2，2，半個圓柱的底面半徑為 2

4、，母線長為 4所以長方體的體積=422=16，半個圓柱的體積= 224=8所以這個幾何體的體積是 16+8；故選 A5. （2013 年高考湖北卷（理） ）一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成,其體積分別記為,上面兩個簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體,下面1V2V3V4V兩個簡單幾何體均為多面體,則有（）AB1243VVVV1324VVVVCD2134VVVV2314VVVV C本題考查三視圖以及空間幾何體的體積。從上到下為圓臺，圓柱，棱柱，棱臺體積依次為，所37) 1212(31221V,22V8233V.328)416416(314V以，故選 C.4312VVVV6. （2

5、013 年高考湖南卷（理） ）已知棱長為 1 的正方體的俯視圖是一個面積為 1 的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于（）A BCD 122-122+12C本題考查三視圖的判斷。因為正方體的俯視圖是一個面積為 1 的正方形，則說明正方體為水平放置，則正視圖的最大面積為正方體對角面，此時面積為，最小面積為正方體的2一個側(cè)面，面積為 1，所以側(cè)視圖的面積,所以面積不可能的是，選 C.12S2127. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純 WORD 版） ）某四棱臺的三視圖如圖所示,則該四棱臺的體積是 （）12211正視圖俯視圖側(cè)視圖第第 5 5 題圖題圖ABCD414

6、31636B 由三視圖可知,該四棱臺的上下底面邊長分別為和的正方形,高為,故,故選 B12222221141122233V 8. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理） （純 WORD 版含答案） ）已知nm,為異面直線,m平面,n平面.直線l滿足,則（）,lm ln llA/,且/lB,且lC與相交,且交線垂直于lD與相交,且交線平行于lD 由 m平面 ，直線 l 滿足 lm，且 l，所以 l，又 n平面 ，ln，l，所以 l由直線 m，n 為異面直線，且 m平面 ，n平面 ，則 與 相交，否則，若 則推出mn，與 m，n 異面矛盾故 與 相交，且交線平行于 l故選 D9.

7、 （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）已知三棱柱111ABCABC的側(cè)棱與底面垂直,體積為94,底面是邊長為3的正三角形.若P為底面111ABC的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為（）A512B3C4D6B取正三角形 ABC 的中心，連結(jié),則是 PA 與平面 ABC 所成的角。因為底面邊長為OPPAO，所以,.三棱柱的體積為333322AD 2231332AOAD,解得，即,所以21139( 3)224AA13AA 13OPAA，即，選 B. tan3OPPAOOA3PAO10. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）某幾何

8、體的三視圖如題 5圖所示,則該幾何體的體積為（）A5603B5803C200D240C【命題立意】本題考查三視圖以及空間幾何體的體積公式。由三視圖可知該幾何體是個四棱柱。棱柱的底面為等腰梯形，高為 10.等腰梯形的上底為 2，下底為 8，高為 4,。所以梯形的面積為，所以四棱柱的體積為，選 C.28420220 1020011. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD 版） ）已知三棱柱的 6 個頂點都在球的球面上,若,111ABCABCO34ABAC，ABAC,則球的半徑為（）112AA OABCD 3 1722 101323 10C由球心作面 ABC 的垂線，則

9、垂足為 BC 中點 M。計算 AM=，由垂徑定理，OM=6，所以半徑52R=,選 C.22513( )62212. （2013 年高考江西卷（理） ）如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,正方體的六個面所在的平面與直線 CE,EF 相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,那AB CD,m n么mn（）A8B9C10D11A本題考查空間立體幾何中的線面位置關(guān)系的判斷。由圖象可知，其中上底面與4m CE 平行，下底面過直線 CE。在正四面體題中，取 CD 的中點 H,則,又CDEFHAB/CD，所以平面平行于正方體的左右兩個側(cè)面，所以直線 EF 與正方體的六個EFH面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)。所以，

10、選 A.4n 8mn13. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理） （純 WORD 版含答案） ）一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時,以zOx平面為投影面,則得到正視圖可以為 （）ABCDA 因為一個四面體的頂點在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz 中的坐標(biāo)分別是（1，0，1） ， （1，1，0） ，（0，1，1） ， （0，0，0） ，幾何體的直觀圖如圖，是正方體的頂點為頂點的一個正四面體，所以以 zOx 平面為投影面，則得到正視圖為：故選 A14. （2013 年普通高等

11、學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）在下列命題中,不是公理的是（）A平行于同一個平面的兩個平面相互平行B過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面C如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)D如果兩個不重合的平面有一個公共點, 那么他們有且只有一條過該點的公共直線AB,C,D 說法均不需證明，也無法證明，是公理；A 選項可以推導(dǎo)證明，故是定理。所以選 A 15. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）在空間中,過點作平面的垂線,垂足為,記.設(shè)是兩個不同的平面,對空間任意一AB)(AfB,點,恒有,則（）P

12、)(),(21PffQPffQ21PQPQ A平面與平面垂直B平面與平面所成的(銳)二面角為 045C平面與平面平行D平面與平面所成的(銳)二面角為 060A ：設(shè) P1=f（P） ，則根據(jù)題意，得點 P1是過點 P 作平面 垂線的垂足因為 Q1=ff（P）=f（P1） ，所以點 Q1是過點 P1作平面 垂線的垂足同理，若 P2=f（P） ，得點 P2是過點 P 作平面 垂線的垂足因此 Q2=ff（P）表示點 Q2是過點 P2作平面 垂線的垂足因為對任意的點 P，恒有 PQ1=PQ2，所以點 Q1與 Q2重合于同一點由此可得，四邊形 PP1Q1P2為矩形，且P1Q1P2是二面角 l 的平面角因

13、為P1Q1P2是直角，所以平面 與平面 垂直故選：A16. （2013 年高考四川卷（理） ）一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是 D 由俯視圖可知，原幾何體的上底面應(yīng)該是圓面，由此排除選項 A 和選項 C而俯視圖內(nèi)部只有一個虛圓，所以排除 B故選 D二、填空題17. （2013 年高考上海卷（理） ）在平面上,將兩個半圓弧和xOy22(1)1(1)xyx、兩條直線 和圍成的封閉圖形記為 D,如圖中陰22(3)1(3)xyx1y 1y 影部分.記 D 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為,過作的水平截面,所(0, )(| 1)yy 得截面面積為,試?yán)米鏁溤?、一個平放的圓柱和一個

14、長方體,得出2418y的體積值為_. 2216【解答】根據(jù)提示，一個半徑為 1，高為的圓柱平放，一個高為 2，底面面積的長28方體，這兩個幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為22122 8216 18. （2013 年高考陜西卷（理） ）某幾何體的三視圖如圖所示, 則其體積為_.311213【KS5U 解析】立體圖為半個圓錐體，底面是半徑為 1 的半圓，高為 2。所以體積32121312V19. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD 版含答案（已校對） ）已知圓和圓是球的大圓和小圓,其公共弦長等于球的半徑,且圓

15、與圓OKOO32OK O所在的平面所成的一個二面角為,則球的表面積等于_.K60O 16如圖所示，設(shè)球 O 的半徑為 r，根據(jù)題意得 OC=，CK=在OCK 中，OC2=OK2+CK2，即所以 r2=4所以球 O 的表面積等于 4r2=16故答案為 1620. （2013 年高考北京卷（理） ）如圖,在棱長為 2 的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為_.1D1BPD1CCEBA1A 2 55如圖所示，取 B1C1的中點 F，連接 EF，ED1，因為，CC1底面 ABCD，所以四邊形 EFC1C 是矩形所以 CC1EF，又 E

16、F平面 D1EF，CC1平面 D1EF，所以 CC1平面 D1EF所以直線 C1C 上任一點到平面 D1EF 的距離是兩條異面直線 D1E 與 CC1的距離過點 C1作 C1MD1F，因為平面 D1EF平面 A1B1C1D1所以 C1M平面 D1EF過點 M 作 MPEF 交 D1E 于點 P，則 MPC1C取 C1N=MP，連接 PN，則四邊形 MPNC1是矩形可得 NP平面 D1EF，在 RtD1C1F 中，C1MD1F=D1C1C1F，得=所以點 P 到直線 CC1的距離的最小值為21. （2013 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)） （已校對純 WORD 版含附加題）如圖

17、,在三棱柱中,分別是的中點,設(shè)三ABCCBA111FED，1AAACAB，棱錐的體積為,三棱柱的體積為,則ADEF 1VABCCBA1112V_.21:VVABC1ADEF1B1C 1:24112211111334224ADEABCVShShV所以121:24V V 22. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）若某幾何體的三視圖(單位:cm)如圖所示,則此幾何體的體積等于_.2cm43233正視圖側(cè)視圖俯視圖（第 12 題圖）24 ：幾何體為三棱柱去掉一個三棱錐后的幾何體，底面是直角三角形，直角邊分別為 3，4，棱柱的高為 5，被截取的棱錐的高為 3

18、如圖：V=V棱柱V三棱錐=3=24（cm3）故答案為：2423. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）如圖,正方體的棱長為 1,P 為 BC 的中點,Q 為線段上的動點,過點 A,P,Q 的1111ABCDABC D1CC平面截該正方體所得的截面記為 S.則下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號).當(dāng)時,S 為四邊形;當(dāng)時,S 為等腰梯形;當(dāng)時,S 與102CQ12CQ 34CQ 的交點 R 滿足;當(dāng)時,S 為六邊形;當(dāng)時,S 的面11C D1113C R 314CQ1CQ 積為.62 .CQDTPQATPQATTDD22/1且，則相交于設(shè)截面與

19、對，,則所以截面S為四邊形，且S為梯形.所以為真.時當(dāng)210. CQ. 10 DT對, ，截面S為四邊形截面1 = DT ,21.時當(dāng)CQ重合與1,DT.,11QDAPAPQD所以S為等腰梯形. 所以為真.對, 所時當(dāng)43.CQ.31.21,23,411111RCTDDTQC利用三角形相似解得以為真.對, .截面S與線段相交，所以四邊形S為五邊2 DT23,143.時當(dāng)CQ1111CD,DA形.所以為假.對, .對角AGAPCGDASCCQ111111,Q1.即為菱形相交于中點與線段截面重合與時，當(dāng)線長度分別為 所以為真.2632的面積為，和S綜上，選24. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一

20、考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD 版） ）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是_.1616由三視圖可知該幾何體圓柱中去除正四棱柱。所以該幾何體的體積。V 2224241616 25. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）已知某一多面體內(nèi)接于一個簡單組合體,如果該組合體的正視圖.測試圖.俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長為 2 的正方形,則該球的表面積是_ 12由圖可知，圖形為一個球中間是內(nèi)接一個棱長為 2 的正方體，223 234122RSR球表三、解答題26. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD 版） ）

21、如圖,AB 是圓的直徑,PA 垂直圓所在的平面,C 是圓上的點.(I)求證:PACPBC平面平面；(II)2.ABACPACPBA若，1，1，求證：二面角的余弦值 27. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）如圖,四棱錐PABCD中,PAABCD 底面,2,4,3BCCDACACBACD ,F為PC的中點,AFPB.(1)求PA的長; (2)求二面角BAFD的正弦值. 28. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）如圖,圓錐頂點為.底面圓心為,其母線與底面所成的角為 22.5.和是底面圓上的兩poABCDO條平行的弦,

22、軸與平面所成的角為 60.OPPCD()證明:平面與平面的交線平行于底面; ()求.PABPCDcosCOD解: () PABP D,/ / /CmABCDCDPCDABPCD設(shè)面面直線且面面 . / /ABm直線ABCDmABCDAB面直線面/所以,. ABCDDPPAB的公共交線平行底面與面面C() . rPOOPFFCDr5 .22tan.60,由題知，則的中點為線段設(shè)底面半徑為. 5 .22tan15 .22tan245tan,2cos5 .22tan60tan60tan,2CODrOFPOOF)223(3), 1-2(321cos, 1-25 .22tan12cos2cos22COD

23、CODCOD. 212-17cos. 212-17cosCODCOD所以法二: 29. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）如圖,在四面體中,平面,.是的中點, BCDAADBCD22, 2,BDADCDBCMADP是的中點,點在線段上,且.BMQACQCAQ3(1)證明:平面;(2)若二面角的大小為,求的大小./PQBCDDBMC060BDCABCDPQM（第 20 題圖）解:證明()方法一:如圖 6,取的中點,且是中點,所以.因MDFMAD3AFFD為是中點,所以;又因為()且,所以PBM/ /PFBD3AQQC3AFFD,所以面面,且面,所以面

24、; / /QFBD/ /PQFBDCPQ BDC/ /PQBDC 方法二:如圖 7 所示,取中點,且是中點,所以;取的三BDOPBM1/ /2POMDCD等分點,使,且,所以,所以H3DHCH3AQQC11/ / /42QHADMD,且,所以面; / / /POQHPQOHOHBCD/ /PQBDC()如圖 8 所示,由已知得到面面,過作于,所以ADB BDCCCGBDG,過作于,連接,所以就是的CGBMDGGHBMHCHCHGCBMD二面角;由已知得到,設(shè),所以 813BM BDC, cos ,sin2 2cos ,2 2cossin,2 2sin,CDCGCBCDCGBCBDCDBD在中,

25、所以在RT BCG2sin2 2sinBGBCGBGBC中, ,所以在中 RT BHG2212 2sin332 2sinHGHGRT CHG 22 2cossintantan6032 2sin3CGCHGHG; tan3(0,90 )6060BDC30. （2013 年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）如圖,在正三棱錐中,111ABCABC,異面直線與所成角的大小為,求該三棱柱的體積.16AA 1BC1AA6B1A1C1ACB解因為 . 1CC1AA所以為異面直線與.所成的角,即=. 1BC C1BC1AA1BC C6在 Rt中, 1BC C113tan62 33BCCCBC C從而, 233

26、 34ABCSBC因此該三棱柱的體積為. 13 3 618 3ABCVSAA31. （2013 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)） （已校對純 WORD 版含附加題）本小題滿分 14 分.如圖,在三棱錐中,平面平面,過作ABCS SABSBCBCAB ABAS A,垂足為,點分別是棱的中點.SBAF FGE，SCSA，求證:(1)平面平面; (2)./EFGABCSABC ABCSGFE證明:(1),F 分別是 SB 的中點 ABAS SBAF E.F 分別是 SA.SB 的中點 EFAB 又EF平面 ABC, AB平面 ABC EF平面 ABC 同理:FG平面 ABC 又EFF

27、G=F, EF.FG平面 ABC平面平面 /EFGABC(2)平面平面 SABSBC平面平面=BC SABSBCAF平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC平面 SBC AFBC 又, ABAF=A, AB.AF平面 SAB BC平面 SAB 又SA平面BCAB SABBCSA 32. （2013 年高考上海卷（理） ）如圖,在長方體 ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,證明直線 BC1平行于平面 DA1C,并求直線 BC1到平面 D1AC 的距離.D1C1B1A1DCBA因為 ABCD-A1B1C1D1為長方體,故, 1111/,ABC D ABC D故 A

28、BC1D1為平行四邊形,故,顯然 B 不在平面 D1AC 上,于是直線 BC1平行于11/BCAD平面 DA1C; 直線 BC1到平面 D1AC 的距離即為點 B 到平面 D1AC 的距離設(shè)為 h考慮三棱錐 ABCD1的體積,以 ABC 為底面,可得 111(1 2) 1323V 而中,故 1ADC115,2ACDCAD132AD CS所以,即直線 BC1到平面 D1AC 的距離為. 13123233Vhh2333. （2013 年高考湖北卷（理） ）如圖,是圓的直徑,點是圓上異于的點,直ABOCO,A B線平面,分別是,的中點.PC ABCEFPAPC(I)記平面與平面的交線為 ,試判斷直線

29、 與平面的位置關(guān)系,并加BEFABCllPAC以證明;(II)設(shè)(I)中的直線 與圓的另一個交點為,且點滿足.記直線lODQ12DQCP 與平面所成的角為,異面直線與所成的角為,二面角PQABCPQEF的大小為,求證:.ElC sinsinsin第 19 題圖解:(I), EFACACABC 平面EFABC 平面 EFABC平面又 EFBEF 平面 EFl lPAC 平面(II)連接 DF,用幾何方法很快就可以得到求證.(這一題用幾何方法較快,向量的方法很麻煩,特別是用向量不能方便的表示角的正弦.個人認(rèn)為此題與新課程中對立體幾何的處理方向有很大的偏差.) 34. （2013 年普通高等學(xué)校招生

30、統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純 WORD 版） ）如圖 1,在等腰直角三角形中,分別是上的點,ABC90A6BC ,D E,AC AB2CDBE為的中點.將沿折起,得到如圖 2 所示的四棱錐,其中OBCADEDEABCDE.3A O() 證明:平面; () 求二面角的平面角的余弦值.A OBCDEACDB.COBDEACDOBEA圖 1圖 2() 在圖 1 中,易得 3,3 2,2 2OCACADCDOxEA向量法圖向量法圖yzB CDOBEAH連結(jié),在中,由余弦定理可得 ,OD OEOCD 222cos455ODOCCDOC CD 由翻折不變性可知, 2 2A D所以,所以, 222A OO

31、DA DA OOD理可證, 又,所以平面. A OOEODOEOA OBCDE() 傳統(tǒng)法:過作交的延長線于,連結(jié), OOHCDCDHA H因為平面,所以, A OBCDEA HCD所以為二面角的平面角. A HOACDB結(jié)合圖 1 可知,為中點,故,從而 HAC3 22OH 22302A HOHOA所以,所以二面角15cos5OHA HOA H的平面角的余弦值為. ACDB155向量法:以點為原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示, OOxyz則, 0,0, 3A0, 3,0C1, 2,0D所以, 0,3, 3CA 1,2, 3DA 設(shè)為平面的法向量,則 , ,nx y zA CD,即,解得,令,

32、得 00n CAn DA 330230yzxyz 3yxzx 1x 1, 1, 3n 由() 知,為平面的一個法向量, 0,0, 3OA CDB所以,即二面角的平面角的余弦315cos,535n OAn OAn OA ACDB值為. 15535. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 側(cè)棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E為棱AA1的中點. () 證明B1C1CE; () 求二面角B1-CE-C1的正弦值. () 設(shè)點M在線段C1E上, 且直線AM

33、與平面ADD1A1所成角的正弦值為, 求線段26AM的長. 36. （2013 年高考新課標(biāo) 1（理） ）如圖,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60.()證明 ABA1C;()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦值.()取 AB 中點 E,連結(jié) CE,1AB,1AE, AB=1AA,1BAA=060,1BAA是正三角形, 1AEAB, CA=CB, CEAB, 1CEAE=E,AB面1CEA, AB1AC; ()由()知 ECAB,1EAAB, 又面 ABC面11ABB A,面 ABC面11

34、ABB A=AB,EC面11ABB A,EC1EA, EA,EC,1EA兩兩相互垂直,以 E 為坐標(biāo)原點,EA 的方向為x軸正方向,|EA |為單位長度,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Oxyz, 有題設(shè)知 A(1,0,0),1A(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),則BC =(1,0,3),1BB=1AA=(-1,0,3),1AC=(0,-3,3), 設(shè)n=( , , )x y z是平面11CBBC的法向量, 則100BCBB nn,即3030 xzxy,可取n=(3,1,-1), 1cos, ACn=11|ACACn|n|105, 直線 A1C 與平面 BB1C1C 所成角的正弦

35、值為105 37. （2013 年高考陜西卷（理） ）如圖, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O平面ABCD, . 12ABAA() 證明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小. OD1B1C1DACBA1解:() ;又因為,在正方形 AB BDOAABCDBDABCDOA11,面且面CD 中,. BDCAACACAACABDAACOABDAC11111,，故面且面所以；且在正方形 AB CD 中,AO = 1 . . 111OAOAART中，在. OECAOCEAEDB1111111為正方形，所以，則四邊

36、形的中點為設(shè)，所以由以上三點得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD111111E.E,.(證畢) DDBBCA111面() 建立直角坐標(biāo)系統(tǒng),使用向量解題. 以 O 為原點,以 OC 為 X 軸正方向,以 OB 為 Y 軸正方向.則 . ) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 1 (),100(),001 (,0 , 1 , 0111CABACB，）（由()知, 平面BB1D1D的一個法向量 .0 , 0 , 1),1 , 1 , 1 (),1, 0 , 1 (111）（OCOBCAn設(shè)平面OCB1的法向量為 ，則0, 0,2122OCnOBnn).1- , 1 , 0(向向向2n為解

37、得其中一個. 21221|,cos|cos212111nnnnnnOD1B1C1DACBA1所以,平面OCB1與平面BB1D1D的夾角為 338. （2013 年高考江西卷（理） ）如圖,四棱錐中,PABCDPA,ABCD EBD 平面為的中點GPD為的中點，,連接并延長交于.3,12DABDCB EAEBABPA ，CEADF(1) 求證:;ADCFG 平面(2) 求平面與平面的夾角的余弦值.BCPDCP解:(1)在中,因為是的中點,所以, ABDEBD1EAEBEDAB故, ,23BADABEAEB 因為,所以, DABDCB EABECB 從而有, FEDFEA 故,又因為所以. ,EF

38、AD AFFD,PGGDFGPA又平面, PAABCD所以故平面. ,GFADAD CFG(3) 以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的坐標(biāo)系,則A, 33(0,0,0), (1,0,0),( ,0),(0, 3,0)22ABCD(4) ,故 3(0,0, )2P1333 333(0),(, ),(,0)2222222BCCPCD ，設(shè)平面的法向量,則 , BCP111(1,)ny z111130223330222yyz解得,即. 113323yz 13 2(1, )33n 設(shè)平面的法向量,則,解得, DCP222(1,)nyz 222330223330222yyz2232yz即.從而平面與平面的夾角的

39、余弦值為2(1, 3,2)n BCPDCP. 1212423cos41689n nn n 39. （2013 年高考四川卷（理） ）如圖,在三棱柱中,側(cè)棱底面,11ABCABC1AA ABC,分別是線段的中點,是線段12ABACAA120BAC1,D D11,BC BCP的中點.AD()在平面內(nèi),試作出過點與平面平行的直線 ,說明理由,并證明直線ABCP1ABCl平面;l 11ADD A()設(shè)()中的直線 交于點,交于點,求二面角的余弦lABMACN1AAMN值.D1DCBA1B1C1AP解:如圖,在平面內(nèi),過點做直線 /,因為 在平面外, ABCPlBCl1ABC 在平面內(nèi),由直線與平面平行

40、的判定定理可知, /平面. BC1ABCl1ABC由已知,是的中點,所以,則直線. ABACDBCBCADlAD因為平面,所以直線 .又因為在平面內(nèi),且1AA ABC1AA l1,AD AA11ADD A與相交,所以直線平面 AD1AA11ADD A解法一: 連接,過作于,過作于,連接. 1APA1AEAPEE1EFAMFAF由知,平面,所以平面平面. MN 1AEA1AEA1AMN所以平面,則. AE 1AMN1AMAE所以平面,則. 1AM AEF1AM AF故為二面角的平面角(設(shè)為). AFE1AAMN設(shè),則由,有,. 11AA 12ABACAA120BAC60BAD2,1ABAD又為的

41、中點,所以為的中點,且, PADMAB1,12APAM在中, ;在中, . 1Rt AAP152AP 1Rt A AM12AM 從而, 1115AAAPAEAP1112AAAMAFAM所以. 2sin5AEAF所以. 22215cos1 sin155故二面角的余弦值為 1AAMN155解法二: 設(shè).如圖,過作平行于,以為坐標(biāo)原點,分別以,的11AA 1A1AE11BC1A111,AE AD 1AA方向為軸,軸,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系(點與點重合). xyzOxyzO1A 則,. 10,0,0A0,0,1A因為為的中點,所以分別為的中點, PAD,M N,AB AC故, 3 13 1,1

42、 ,12222MN所以,. 13 1,122AM10,0,1A A 3,0,0NM 設(shè)平面的一個法向量為,則 1AAM1111,nx y z即故有 1111,nAMnA A 11110,0,nAMnA A 1111113 1,10,22,0,0,10,x y zx y z從而 1111310,220.xyzz取,則,所以. 11x 13y 11,3,0n 設(shè)平面的一個法向量為,則 1AMN2222,nxy z即故有 212,nAMnNM 2120,0,nAMnNM 2222223 1,10,22,3,0,00,xy zxy z從而 2222310,2230.xyzx取,則,所以. 22y 21

43、z 20,2, 1n 設(shè)二面角的平面角為,又為銳角, 1AAMN則. 12121,3,00,2, 115cos525nnnn故二面角的余弦值為 1AAMN15540. （2013 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)） （已校對純 WORD 版含附加題）本小題滿分 10 分.如圖,在直三棱柱中,點是111ABCABCACAB 2 ACAB41AAD的中點BC(1)求異面直線與所成角的余弦值BA1DC1(2)求平面與所成二面角的正弦值.1ADC1ABA本題主要考察異面直線.二面角.空間向量等基礎(chǔ)知識以及基本運算,考察運用空間向量解決問題的能力. 解:(1)以為為單位正交基底建立空間直角

44、坐標(biāo)系, 1,AAACABxyzA 則, )0 , 0 , 0(A)0 , 0 , 2(B)0 , 2 , 0(C)4 , 0 , 0(1A)0 , 1 , 1 (D)4 , 2 , 0(1C, )4, 0 , 2(1BA)4, 1, 1 (1BA 10103182018,cos111111DCBADCBADCBA異面直線與所成角的余弦值為 BA1DC110103(2) 是平面的的一個法向量 )0 , 2 , 0(AC1ABA設(shè)平面的法向量為, 1ADC),(zyxm )0 , 1 , 1 (AD)4 , 2 , 0(1AC由 1,ACmADm 取,得,平面的法向量為 0420zyyx1z2,

45、 2xy1ADC) 1 , 2, 2( m設(shè)平面與所成二面角為 1ADC1ABA, 得 32324,coscosmACmACmAC35sin平面與所成二面角的正弦值為 1ADC1ABA3541. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD 版含答案（已校對） ）如圖,四棱錐中,與都是等邊PABCD902,ABCBADBCADPAB ，PAD三角形.(I)證明: (II)求二面角的大小.;PBCDAPDC 42. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試山東數(shù)學(xué)（理）試題（含答案） ）如圖所示,在三棱錐PABQ中,PB 平面ABQ,BABPBQ,D C E F 分別是,AQ B

46、Q AP BP的中點, 2AQBD,PD與EQ交于點G,PC與FQ交于點H,連接GH.()求證:AB GH; ()求二面角DGHE的余弦值.解:()證明:因為,D C E F 分別是,AQ BQ AP BP的中點, 所以EFAB,DCAB,所以EFDC, 又EF 平面PCD,DC 平面PCD, 所以EF平面PCD, 又EF 平面EFQ,平面EFQ平面PCDGH, 所以EFGH, 又EFAB, 所以ABGH. ()解法一:在ABQ中, 2AQBD,ADDQ, 所以=90ABQ,即ABBQ,因為PB 平面ABQ,所以ABPB, 又BPBQB,所以AB 平面PBQ,由()知ABGH, 所以GH 平面

47、PBQ,又FH 平面PBQ,所以GHFH,同理可得GHHC, 所以FHC為二面角DGHE的平面角,設(shè)2BABQBP,連接PC, 在tRFBC中,由勾股定理得,2FC , 在tRPBC中,由勾股定理得,5PC , 又H為PBQ的重心,所以1533HCPC 同理 53FH , 在FHC中,由余弦定理得552499cos5529FHC , 即二面角DGHE的余弦值為45. 解法二:在ABQ中,2AQBD,ADDQ, 所以90ABQ,又PB 平面ABQ,所以,BA BQ BP兩兩垂直, 以B為坐標(biāo)原點,分別以,BA BQ BP所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)2BABQBP,

48、則(1,0,1)E,(0,0,1)F,(0,2,0)Q,(1,1,0)D,(0,1,0)C(0,0,2)P,所以( 1,2, 1)EQ ,(0,2, 1)FQ ,( 1, 1,2)DP ,(0, 1,2)CP , 設(shè)平面EFQ的一個法向量為111( ,)mx y z, 由0m EQ ,0m FQ , 得111112020 xyzyz 取11y ,得(0,1,2)m . 設(shè)平面PDC的一個法向量為222(,)nxyz 由0n DP ,0n CP , 得222222020 xyzyz 取21z ,得(0,2,1)n .所以4cos,5m nm nm n 因為二面角DGHE為鈍角,所以二面角DGHE

49、的余弦值為45. 43. （2013 年高考湖南卷（理） ）如圖 5,在直棱柱,1111/ /ABCDABC DADBC中，,.90 ,1BADACBD BC13ADAA(I)證明:; (II)求直線所成角的正弦值.1ACB D111BCACD與平面解: () ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD111111,面且面是直棱柱. DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC11111,，面。面且又(證畢) ()。的夾角與平面的夾角即直線與平面直線111111,/ACDADACDCBADBCCB 軸正半軸。為軸正半軸，為點，量解題。設(shè)原點在建立直角坐標(biāo)系，用向XADYABA BDAC

50、yBDyACyCyBDDA),0 , 3(),0 , 1 ()0 , 1 (),0 , 0(),3 , 0 , 3(),0 , 0 , 3(,00 , 01，則，設(shè) ).3 , 0 , 3(),0 , 3, 1 (. 30, 003012ADACyyyBDAC），（），（的一個法向量平面則的法向量為設(shè)平面303,313-.00,111ADnACDADnACnnACD 7213733|,cos|sin003,313-1ADnADnACD），（），（的一個法向量平面 . 72111夾角的正弦值為與平面所以ACDBD44. （2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純 WORD 版） ）如圖,在四棱柱