講割圓術(shù)及極限方法

1、第三講割圓術(shù)及極限方法實驗?zāi)康? 介紹劉徽的割圓術(shù).2 理解極限概念.3.學(xué)習(xí)matlab求函數(shù)極限命令。實驗的基本理論及方法1 .割圓術(shù)中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)注方田章圓田術(shù)中創(chuàng)造了割圓術(shù)計算圓 周率".劉微先注意到圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積，其次，當(dāng)將邊數(shù)屢次 加倍時，正多邊形的面積增大，邊數(shù)愈大則正多邊形面積愈近于圓的面積.割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”這幾句話明確地表明了劉徽的極限思想.劉徽先將直徑為2的圓分割為6等分，再分割成12等分，24等分，這 樣繼續(xù)下去，并利用勾股定理計算其面積，從而求出圓周率的近似值，他一直計 算到圓內(nèi)接正

2、192邊形的面積。2.斐波那奇數(shù)列和黃金分割Fr = O,Fi = 1如=Frz-1 十幾-23 .學(xué)習(xí)matlab命令.matlab求極限命令可列表如下表2.1數(shù)學(xué)運(yùn)算matlab命令lim f (工) 藝*limit(f)Lim f（H）at * e 、limit（f，x， a）或 limit（f， a）liin f（r）limit（f，x， a, ' left '）lim f（r） 疋T fl.十limit（f，x， a, ' right '）matlab代數(shù)方程求解命令solve調(diào)用格式.Solve(函數(shù)丄匸)給出1!二的根.4 理解極限概念.數(shù)列計收斂

3、或有極限是指當(dāng)無限增大時，A與某常數(shù)無限接近或A趨向 于某一定值，就圖形而言，也就是其點(diǎn)列以某一平行與軸的直線為漸近線.例2.1.觀察數(shù)列.當(dāng)；一：八時的變化趨勢.解:輸入命令：>>n=1:100； xn=n./(n+1)n得到該數(shù)列的前100項，從這前100項看出，隨的增大，5十1與1非常接近， 畫出,，的圖形.stem(n, xn)或for i=1:100;plot(n(i),xn(i),' r')hold onend其中forend語句是循環(huán)語句，循環(huán)體內(nèi)的語句被執(zhí)行100次,n(i)表示n的第 i個分量.由圖可看出，隨的增大，點(diǎn)列與直線無限接近，因此可得結(jié)論

4、：lim rr -»co對函數(shù)的極限概念，也可用上述方法理解.例2.2分析函數(shù)兒7丄，當(dāng)/-uf時的變化趨勢.解:畫出函數(shù)產(chǎn)：在一：一上的圖形.>>x=-1:0.01:1;y=x.*si n(1./x);plot(x,y).1從圖上看，”1隨著1；：1的減小，振幅越來越小趨近于0,頻率越來越高作無限 次振蕩作出、一一的圖象.hold on； plot(x，x，x，-x)fM =勁例2.3分析函數(shù)二當(dāng).時的變化趨勢.解:輸入命令:>>x=-1:0.01:1;y=si n(1./x);plot(x,y).1從圖上看，當(dāng) 時，二在-1和1之間無限次振蕩，極限不存在.

5、仔細(xì)觀察該圖象，發(fā)現(xiàn)圖象的某些峰值不是1和-1,而我們知道正弦曲線的峰值是1和-1sin1，這是由于自變量的數(shù)據(jù)點(diǎn)選取未必使二取到1和-1的緣故，讀者可試增加數(shù)據(jù)點(diǎn)，比較它們的結(jié)果.例2.4.考察函數(shù)* 丄 當(dāng).：一一時的變化趨勢.解:輸入命令:>>x=li nspace(-2*pi,2*pi,100);y=si n(x)./x;plot(x,y)smx從圖上看，打 在附近連續(xù)變化，其值與1無限接近，可見jsrnclim= 1例2.5.考察"'當(dāng)工'時的變化趨勢.解:輸入命令:>>x=1:20:1000;y=(1+1./x)4x;plot(x,

6、y)從圖上看，當(dāng)二一二時，函數(shù)值與某常數(shù)無限接近，我們知道，這個常數(shù)就是二5 求函數(shù)極限例 2.6.求-H-解:輸入命令:>>syms x;f=1/(x+1)-3/(xA3+1);limit(f,x,-1) 得結(jié)果ans=-1畫出函數(shù)圖形.>>ezplot(f);hold on;plot(-1,-1 ,'.')tanx jmx例2.7.求上二£0I J解:輸入命令:>>limit(ta n(x)-si n(x)/xA3)得結(jié)果:an s=1/2例 2.8.求'；1 '溫 T X 1 /解:輸入命令:>>limit(x+1)/(x-1)Ax,i nf)得結(jié)果:an s=exp(2)lim例2.9.求一/ 解:輸入命令:>>limit(xAx,x,0 , right'得結(jié)果:ans