線性代數(shù)的一些證明題

1、線性代數(shù)一些證明題1題目設(shè)n階可逆矩陣A滿足A=A，求A的特征值。知識(shí)點(diǎn)特征值與特征向量 矩陣的行列式解題過(guò)程解：因?yàn)锳=A所以AA=0 所以det(AA)=detA(AE)=det(A)det(AE)=0 A為可逆矩陣，所以det(A)0 所以det(AE)=0 所以A的特征值為1.常見(jiàn)錯(cuò)誤設(shè)存在，使Ax=x成立則 det(Ax)=det(A)det(x)=det(x)=det(x) (錯(cuò)誤在于向量取行列式)所以 有成立.又因?yàn)锳=Adet(A)=det(A), 即det(A)=0或det(A)=1.由于A為可逆矩陣，det(A)0.所以 det(A)=1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=1.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=

2、1.相關(guān)例題設(shè)A為n階矩陣,若A=E，試證A的特征值是1或-1. 2題目設(shè)A是奇數(shù)階正交矩陣，且det(A)=1，證明det(E-A)=0.知識(shí)點(diǎn)正交矩陣的定義：AA=E單位矩陣的性質(zhì)：EA=AE=A E=E 矩陣運(yùn)算規(guī)律 轉(zhuǎn)置矩陣的性質(zhì)：(A+B)=A+Bdet(A)=det(A) det(AB)=det(A)det(B) det(-A)=(-1)det(A)解題過(guò)程 A是正交矩陣EA= AAA= AAEA=( AE)Adet(A)=1det(EA)=det(AE)A)=det(AE)det(A)=det(AE)det(EA)=det(EA)=det(EA)det(AE)= det(EA)=

3、 det(AE)= (1) det(AE)n為奇數(shù)(1)= 1det(AE)=0det(EA)=0常見(jiàn)錯(cuò)誤誤以為det(EA)= det(E) det(A)，于是det(EA)=1det(A)=11=0det(A)=1 ···=1(其中,為A作初等變換變?yōu)樯先切魏髮?duì)角線上的元素).det(EA)=（1-）（1-）（1-）.det(E-A)=det(A-E)A)=det(A-E)det(A)=det(A-E)且det(A-E)= （-1）（-1）（-1）.（1-）（1-）（1-）=（-1）（-1）（-1）= (-1)（1-）（1-）（1-）n為奇數(shù)(1)= 1（1

4、）（1）（1）=0det(EA)=0以上證法先把A變?yōu)樯先牵儆肊減去變化后的A，再求行列式，這是錯(cuò)誤的。相關(guān)例題證明：若A為正交矩陣，則det(A)=±1. 3題目試就a,b的各種取值情況,討論下列線性方程組的解,若有解,則求出解。 （1） 知識(shí)點(diǎn) 線性方程組解的結(jié)構(gòu)解題過(guò)程解：B= (1)當(dāng)ab0,且a0時(shí)，rank(B)=3，增廣矩陣的秩也等于3，而且等于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，故方程組（1）有唯一解。其解為： (2)當(dāng)a-b=0，且a0時(shí)，rank(B)=2,增廣矩陣的秩也等于2，秩小于未知數(shù)的個(gè)數(shù)，此時(shí)故方程組（1）有無(wú)窮多解。其解可由，解得，代入第一個(gè)方程得到；一般解為：（3）當(dāng)

5、a=0，b 為任意數(shù)，此時(shí)增廣矩陣可化為：可見(jiàn)，rank(B)=2, 但增廣矩陣的秩為3，所以方程組（1）無(wú)解，常見(jiàn)錯(cuò)誤 在討論帶參數(shù)的線性方程時(shí)，盡管初等變換結(jié)果正確，也會(huì)產(chǎn)生討論不全的錯(cuò)誤。 如，當(dāng)ab時(shí)，就說(shuō)原方程有唯一解，沒(méi)有指出a0，當(dāng)a=b時(shí)，就說(shuō)原方程組有無(wú)窮多解，沒(méi)有指出a=b0，等等。相關(guān)例題 確定a,b的值，使下列方程組 （1） 有唯一解；（2） 無(wú)解；有無(wú)窮多解，并求出通解。4題目若線性無(wú)關(guān)，其中全不為0. 證明線性無(wú)關(guān).知識(shí)點(diǎn) 向量線性相關(guān)解題過(guò)程 證法一：（從定義出發(fā)） 設(shè)存在常數(shù)，使得 已知，代入上式，得化為： 由題意知：線性無(wú)關(guān)由定義，知線性無(wú)關(guān)證畢證法二：（由初

6、等列變換，秩相等）由于初等變換不改變矩陣的秩，所以由線性無(wú)關(guān)，知的秩為3，所以秩也為3，推出線性無(wú)關(guān)證法三：（反證法）假設(shè)線性相關(guān).則存在不全為0的常數(shù)，使得已知，代入上式，得化為： （否則，由得）即 線性相關(guān), 與題目已知條件矛盾.所以假設(shè)不成立, 即 線性無(wú)關(guān).5題目 設(shè)是的解且線性無(wú)關(guān)，試證的任一解可表示為，其中知識(shí)點(diǎn) 基礎(chǔ)解系 方程組解的結(jié)構(gòu) 解題過(guò)程證明 由因?yàn)?線性無(wú)關(guān)，所以線性無(wú)關(guān)，也線性無(wú)關(guān)，且所以 是的基礎(chǔ)解系因?yàn)榈娜我唤饪梢员硎緸椋旱娜我唤饪梢员硎緸椋?其中是的一個(gè)特解擴(kuò)展式，取，得化簡(jiǎn)得令，則的解可以表示為且命題得證另外取時(shí)化簡(jiǎn)得此時(shí)令則的解可以表示為且此時(shí)命題也成立常見(jiàn)錯(cuò)誤不會(huì)應(yīng)用定理. 不知兩個(gè)非齊次組的解的差是齊次線性方程組的解.6題目 設(shè)是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，分別屬于的特征向量，證明不是矩陣A的特征向量.知識(shí)點(diǎn)特征值 特征向量解題過(guò)程用反證法.設(shè) 是A的對(duì)應(yīng)的特征向量，則有 (1)已知 ，所以 (2)由(1)(2)知 (3)因?yàn)榫€