自考概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)

1、 一、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類）考試題型分析： 題型大致包括以下五種題型，各題型及所占分值如下： 由各題型分值分布我們可以看出，單項(xiàng)選擇題、填空題占試卷的50%，考查的是基本的知識(shí)點(diǎn)，難度不大，考生要把該記憶的概念、性質(zhì)和公式記到位。計(jì)算題和綜合題主要是對(duì)前四章基本理論與基本方法的考查，要求考生不僅要牢記重要的公式，而且要能夠靈活運(yùn)用。應(yīng)用題主要是對(duì)第七、八章內(nèi)容的考查，要求考生記住解題程序和公式。結(jié)合歷年真題來(lái)練習(xí)，就會(huì)很容易的掌握解題思路。 總之，只要抓住考查的重點(diǎn)，記住解題的方法步驟，勤加練習(xí)，就能夠百分百達(dá)到過(guò)關(guān)的要求。 二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類）考試重點(diǎn) 說(shuō)明：我們將知識(shí)點(diǎn)按考查

2、幾率及重要性分為三個(gè)等級(jí)，即一級(jí)重點(diǎn)、二級(jí)重點(diǎn)、三級(jí)重點(diǎn)，其中，一級(jí)重點(diǎn)為必考點(diǎn)，本次考試考查頻率高；二級(jí)重點(diǎn)為次重點(diǎn)，考查頻率較高；三級(jí)重點(diǎn)為預(yù)測(cè)考點(diǎn)，考查頻率一般，但有可能考查的知識(shí)點(diǎn)。 第一章 隨機(jī)事件與概率 1隨機(jī)事件的關(guān)系與計(jì)算 P3-5 （一級(jí)重點(diǎn)）填空、簡(jiǎn)答 事件的包含與相等、和事件、積事件、互不相容、對(duì)立事件的概念 2古典概型中概率的計(jì)算 P9 （二級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空、計(jì)算 記住古典概型事件概率的計(jì)算公式 3. 利用概率的性質(zhì)計(jì)算概率 P11-12 （一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空 ,（考得多）等，要能靈活運(yùn)用。 4. 條件概率的定義 P14 （一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空 記住條件概率的定義和

3、公式： 5. 全概率公式與貝葉斯公式 P15-16 （二級(jí)重點(diǎn)）計(jì)算 記住全概率公式和貝葉斯公式，并能夠運(yùn)用它們。一般說(shuō)來(lái)，如果若干因素（也就是事件）對(duì)某個(gè)事件的發(fā)生產(chǎn)生了影響，求這個(gè)事件發(fā)生的概率時(shí)要用到全概率公式；如果這個(gè)事件發(fā)生了，要去追究原因，即求另一個(gè)事件發(fā)生的概率時(shí)，要用到貝葉斯公式，這個(gè)公式也叫逆概公式。 6. 事件的獨(dú)立性（概念與性質(zhì)） P18-20（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空 定義：若，則稱A與B相互獨(dú)立。結(jié)論：若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B 與都相互獨(dú)立。 7. n重貝努利試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率公式 P21（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空 在重貝努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件的概率為

4、（），則事件A恰好發(fā)生 。 第二章 隨機(jī)變量及其概率分布 8離散型隨機(jī)變量的分布律及相關(guān)的概率計(jì)算 P29，P31（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空、計(jì)算、綜合。 記住分布律中，所有概率加起來(lái)為1，求概率時(shí)，先找到符合條件的隨機(jī)點(diǎn)，讓后把對(duì)應(yīng)的概率相加。求分布律就需要找到隨機(jī)變量所有可能取的值，和每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率。 9. 常見(jiàn)幾種離散型分布函數(shù)及其分布律 P32-P33（一級(jí)重點(diǎn)）選擇題、填空題 以二項(xiàng)分布和泊松分布為主，記住分布律是關(guān)鍵。本考點(diǎn)基本上每次考試都考。 10. 隨機(jī)變量的分布函數(shù) P35-P37（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空、計(jì)算題 記住分布函數(shù)的定義和性質(zhì)是關(guān)鍵。要能判別什么樣的函數(shù)能充當(dāng)分布函數(shù)

5、，記住利用分布函數(shù)計(jì)算概率的公式： ； 其中； 。 11. 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 P39（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空 重點(diǎn)記憶它的性質(zhì)與相關(guān)的計(jì)算，如 ； ； 反之，滿足以上兩條性質(zhì)的函數(shù)一定是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度。 ； 設(shè)為的連續(xù)點(diǎn)，則存在，且。 12. 均勻分布、指數(shù)分布 P42（二級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空、計(jì)算題 記住它們的概率密度，能夠根據(jù)所給的密度函數(shù)識(shí)別它們。 13. 正態(tài)分布和一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化 P44-P46（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空 記住性質(zhì)和公式： 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)： ； 概率的計(jì)算（重點(diǎn)）： 。 14. 隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 P50-P54（三級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空

6、在連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布中，要記住用直接變換法求“非單調(diào)性”隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度的方法。 第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布 15. 二維離散型隨機(jī)變量聯(lián)合分布律和邊緣分布律 P62-P64（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空、計(jì)算題 對(duì)于聯(lián)合分布律，記住所有概率和為1.求概率時(shí)，找到滿足條件的隨機(jī)點(diǎn)，再把對(duì)應(yīng)的概率相加即可。要記住邊緣分布律的求法。通過(guò)分布律會(huì)判斷X,Y是否相互獨(dú)立。 16. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度和邊緣概率密度 P66-P69（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空、計(jì)算、綜合 ；已知概率密度 會(huì)求在平面區(qū)域內(nèi)取值的概率，記住公式： 練掌握連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度函數(shù)的求法，并能判斷X,Y

7、是否相互獨(dú)立（考查的重點(diǎn)）。 17二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性 P73（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空、計(jì)算題 考生要記住二維離散型的隨機(jī)變量和二維連續(xù)型的隨機(jī)變量獨(dú)立性的判斷。 其一：與 有=； 其二：設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為， 關(guān)于與的邊緣概率密度分別為和， 則與相互獨(dú)立的充要條件為：=。 其三：一個(gè)結(jié)論 若二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布， 與相互獨(dú)立的充要條件是。 18. 二維均勻分布、二維正態(tài)分布 P68-P71（三級(jí)重點(diǎn)）計(jì)算題、綜合題 記住這兩種分布的概率密度函數(shù)，還有以下結(jié)論 若二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布 ，則隨機(jī)變量與分別服從正態(tài)分布。 19. 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布 P80-P91

8、（三級(jí)重點(diǎn)）填空題 記住結(jié)論并能靈活運(yùn)用 設(shè)相互獨(dú)立，且，得 。 推廣：個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布，即 。 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 20. 隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的概念、性質(zhì)與計(jì)算 P86-P94（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空、計(jì)算題 首先要十分熟練的掌握數(shù)學(xué)期望的概念與性質(zhì)，數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)在選擇填空題中經(jīng)?？嫉剑缓笠煜るx散型和連續(xù)型隨機(jī)變量及隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式。考生一定要結(jié)合歷年考試真題認(rèn)真練習(xí)，做到心中有數(shù)。 21. 隨機(jī)變量的方差的概念、性質(zhì)及計(jì)算 P96-P103（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空、計(jì)算 熟悉方差的性質(zhì)和計(jì)算公式，一般用“內(nèi)方減外方”來(lái)計(jì)算方差，即。 在方差

9、的性質(zhì)中，要注意：常數(shù)的方差為零，所以D(X+C)=D(X)；當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，才 ，此時(shí)特別的。 22. 常見(jiàn)分布的數(shù)字特征 P104（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空、計(jì)算題 提醒各位考生，書(shū)上104頁(yè)的那張表所包含的內(nèi)容經(jīng)常考到，是考試需要重點(diǎn)記憶的表格之一。不僅要記清各種分布的數(shù)學(xué)期望與方差，還要記清各自的概率分布與密度函數(shù)。表格熟記在心，能夠靈活運(yùn)用期望與方差的性質(zhì)，基本上就能輕松拿下10-20分。 23. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) P105-P107（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空、計(jì)算題 要熟悉協(xié)方差的性質(zhì)與計(jì)算公式 性質(zhì)：；，其中為任意常數(shù)；若，則 ； 。 計(jì)算：， 。 另外，要掌握相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式，還

10、要知道相關(guān)系數(shù)的含義： 兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)隨機(jī)變量間線性聯(lián)系密切程度的度量，越接近1， 與之間的線性關(guān)系越密切。當(dāng)時(shí)，與存在完全的線性關(guān)系，即；時(shí)， 之間無(wú)線性關(guān)系，此時(shí)稱X,Y不相關(guān)。隨機(jī)變量與不相關(guān)的充分必要條件是。 注意：若隨即變量與相互獨(dú)立，則 ，因此與不相關(guān)， 反之，隨機(jī)變量與不相關(guān)，但與不一定相互獨(dú)立。 若二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，與 ，從而與不相關(guān)的充要條件是與相互獨(dú)立，因此與不相關(guān)和與 相互獨(dú)立都等價(jià)于。 以上兩點(diǎn)在選擇題中經(jīng)常出現(xiàn)。 第五章 大數(shù)定律及中心極限定理 24. 切比雪夫不等式 P116（二級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空 記住切比雪夫不等式的兩種形式。它是用來(lái)估算

11、概率的。 25. 大數(shù)定律 P116-P119（二級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空 考生要記住相應(yīng)的公式和含義。 26. 獨(dú)立同分布序列的中心極限定理 P120（二級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空 牢記：是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列， 漸進(jìn)服從正態(tài)分布。當(dāng) 。 分大時(shí)，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的平均值的分布近似于正態(tài)分布 27. 棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理 P122（三級(jí)重點(diǎn)）填空題 主要結(jié)論：在貝努利試驗(yàn)中，若事件發(fā)生的概率為，又設(shè)為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻數(shù)，則當(dāng)充分大時(shí)，近似服從正態(tài)分布。 第六章 統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 28. 樣本均值、樣本方差 P133-P134（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空 要清楚樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)

12、準(zhǔn)差的計(jì)算公式。另外，要牢記結(jié)論設(shè) 總體的樣本，為樣本均值： 若總體分布為，則的精確分布為 ； 若總體分布未知（或不是正態(tài)分布），且，則當(dāng)樣本容 量較大時(shí)，的漸近分布為，這里的漸近分布是指較大時(shí)的近似分布。 29. 三大抽樣分布 P137-P141（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空 記住三大分布的定義，熟悉它們的結(jié)構(gòu)，無(wú)需記憶概率密度函數(shù)。牢記重要結(jié)論： ； 等。 偏重考查卡方分布的定義式。 第七章 參數(shù)估計(jì) 30. 單個(gè)正態(tài)總體均值和方差的置信區(qū)間 P156-P162（一級(jí)重點(diǎn)）填空、應(yīng)用題 書(shū)上162頁(yè)的表的前3行內(nèi)容常考，記住各種情況下的置信區(qū)間。做題時(shí)，只要將已知條件往相應(yīng)的置信區(qū)間中代入求值即可

13、。 31. 參數(shù)的矩法估計(jì) P145（二級(jí)重點(diǎn)）填空題、計(jì)算題 用樣本均值去估計(jì)總體的均值，則從解出的即為，稱為的矩法估計(jì)量。 用樣本二階中心矩估計(jì)總體方差，即。（用的少） 。 32參數(shù)的極大似然估計(jì) P147（二級(jí)重點(diǎn)）填空、計(jì)算 考生要記住極大似然估計(jì)的方法與步驟： 寫(xiě)出似然函數(shù)并化簡(jiǎn)兩邊取對(duì)數(shù)； 令 ，求出的值即為的極大似然估計(jì) 33. 估計(jì)量的無(wú)偏性 P153（一級(jí)重點(diǎn)）選擇題 設(shè)是的一個(gè)估計(jì)，若，則稱為的無(wú)偏估計(jì)， 否則稱為有偏估計(jì)。是的無(wú)偏估計(jì)，但不是的無(wú)偏估計(jì)。本知識(shí)點(diǎn)經(jīng)常和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)聯(lián)合來(lái)考查。 34. 估計(jì)量的有效性和相合性 P152-P153（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空 （或

14、） 相合性：若是得一個(gè)估計(jì)量，若， 則稱是的相合估計(jì)。有效性： 設(shè)，若，是的兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)，則稱比有效。其中有效性經(jīng)常考。 第八章 假設(shè)檢驗(yàn) 35. 假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤 P169（一級(jí)重點(diǎn)）填空 熟記概念： 一類錯(cuò)誤是：在成立的情況下，樣本值落入了拒絕域中，因而被拒絕，稱這種錯(cuò)誤為第一類錯(cuò)誤，又稱為拒真錯(cuò)誤。一般記犯第一次錯(cuò)誤的概率為，也叫置信水平。 另一類錯(cuò)誤是：在不成立的情況下，樣本值未落入，因而被接受，稱這種錯(cuò)誤為第二類錯(cuò)誤，又稱為取偽錯(cuò)誤。記犯第二類錯(cuò)誤的概率為。 由此可知：，。兩類錯(cuò)誤的概率是關(guān)聯(lián)的，當(dāng)樣本容量固定時(shí)，一類錯(cuò)誤的概率的減少將導(dǎo)致另一類錯(cuò)誤的概率的增加；要同時(shí)降低兩類錯(cuò)誤

15、的概率，需要增大樣本容量。 36. 單個(gè)正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗(yàn) P170-P181（一級(jí)重點(diǎn)）選擇、填空、應(yīng)用題 要牢記教材181頁(yè)表中u檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)的前三行，以及分布對(duì)應(yīng)的內(nèi)容。這是教材中的第三個(gè)重要表格。做題時(shí)要熟記解題步驟，記住相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量和拒絕域，那么剩下的就是計(jì)算了。雙邊檢驗(yàn)考查的較多。 第九章 回歸分析 37. 用最小二乘法估計(jì)回歸模型中的未知參數(shù) P187（一級(jí)重點(diǎn)）填空、計(jì)算題 整個(gè)第九章線性回歸，僅考這一個(gè)考點(diǎn)，記住以下幾點(diǎn) 其一：回歸直線是描述與之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式，稱為回歸常數(shù)，稱 為回歸系數(shù)。 其二：求，的估計(jì)，時(shí)，自然直觀的想法是對(duì)一切觀測(cè)值與回歸直線 的偏離達(dá)

16、到最小，故使得其三： 回歸直線的確定 引進(jìn)記號(hào) 達(dá)到最小的，即為，。 則 ，。 其四： 散點(diǎn)的幾何重心在回歸直線上 第一部分 三角函數(shù)表 三角函數(shù)表 反三角函數(shù)表 第二部分 極限 極限 數(shù)列極限： 劉徽的“割圓術(shù)”，設(shè)有一個(gè)半徑為1的圓，在只知道直邊形的面積計(jì)算方法之下，要計(jì)算其面積： 方法：先做圓的內(nèi)接正六邊形，其面積記為，再做一內(nèi)接正12邊形，記其面積為再做一內(nèi)接正24邊形，記其面積為,如此逐次將變數(shù)加倍。 得到數(shù)列，則當(dāng)n無(wú)窮大時(shí)，有 函數(shù)極限： 常用的極限公式 常用的幾個(gè)公式 等比數(shù)列公式 是等比數(shù)列, 當(dāng)q0, y0時(shí) 當(dāng) 時(shí), 例3 設(shè)X的概率密度為 求 解： 例4 設(shè)（X,Y）服

17、從在D上的均勻分布,其中D為x軸, y軸及x+y=1所圍成，求D(X D(X) = 解: 二、 二重積分的計(jì)算 按照二重積分的定義計(jì)算二重積分，只對(duì)少數(shù)特別簡(jiǎn)單的被積函數(shù)和積分區(qū)域是可行的，對(duì)一般的函數(shù)和區(qū)域，這種“和式的極限”是無(wú)法直接計(jì)算的下面我們介紹將二重積分轉(zhuǎn)化為兩次定積分來(lái)計(jì)算的方法，這是計(jì)算二重積分的一種行之有效的方法 1X型區(qū)域上二重積分的計(jì)算 設(shè)D是平面有界閉區(qū)域，若穿過(guò)D的內(nèi)部且平行于y軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)（如圖示3），則稱D為X型區(qū)域由圖可知，此時(shí)區(qū)域D可以用不等式表示為 D： 圖 在區(qū)間a，b上任取一點(diǎn)x，過(guò)點(diǎn)x作與x軸垂直的直線，它與D相交于兩點(diǎn)， ，axb

18、 因此 經(jīng)過(guò)以上兩步計(jì)算，相當(dāng)于在區(qū)域上累加了一遍。 （1） 由此可見(jiàn)，二重積分可以化為兩次定積分來(lái)計(jì)算第一次對(duì)變量y積分，將x當(dāng)作常數(shù)，積分區(qū)間是區(qū)域D的下邊界的點(diǎn)到對(duì)應(yīng)的上邊界的點(diǎn)第二次對(duì)x積分，它的積分限是常數(shù)這種先對(duì)一個(gè)變量積分，再對(duì)另一個(gè)變量積分的方法，稱為累次(或二次)積分法公式（1）是先對(duì)y后對(duì)x的累次積分公式，通常簡(jiǎn)記為 2Y型區(qū)域上二重積分的計(jì)算 設(shè)D是平面有界閉區(qū)域，若穿過(guò)D的內(nèi)部且平行于x軸的直線與D的邊界相交不多于兩點(diǎn)（如圖示4），則稱D為Y型區(qū)域由圖可知，此時(shí)區(qū)域D可以用不等式表示為 D： 圖4 利用與前面相同的方法，可得先對(duì)x后對(duì)y的累次積分公式： 通常簡(jiǎn)記為 （2

19、） （3） 3一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算 如果區(qū)域D不屬于上述兩種類型，則二重積分不能直接利用公式(1)、(3)來(lái)計(jì)算這時(shí)可以考慮將區(qū)域D劃分成若干個(gè)小區(qū)域，使每個(gè)小區(qū)域或是X型區(qū)域、或是Y型區(qū)域在每個(gè)小區(qū)域上單獨(dú)算出相應(yīng)的二重積分，然后利用二重積分對(duì)區(qū)域的可加性即可得所求的二重積分值 例1 計(jì)算二重積分 其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域。 解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則 ，過(guò)作直線平行于 邊界為，則 為， 解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則 ，過(guò)作直線平行于軸，交區(qū)域左邊界為 為，則 ，其中D為矩形域D： 例2 0y1 解 采用先y后x的積分次序，則 1x2 注意： 例2中的二重積分若采用先x后y的積分次序，則 ，函數(shù)xe先對(duì)x積分時(shí)需要用分部積分法來(lái)計(jì)算，這將使計(jì)算工作量 增加（請(qǐng)讀者自己完成，作一比較）由此