5剛體力學(xué)基礎(chǔ)習(xí)題思考題

1、習(xí)題5-1. 如圖，一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為和的重物，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，兩個(gè)定滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為，將由兩個(gè)定滑輪以及質(zhì)量為和的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。解：受力分析如圖 （1） （2）（3） （4） (5)聯(lián)立，5-2. 如圖所示,一均勻細(xì)桿長(zhǎng)為，質(zhì)量為，平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上,設(shè)開始時(shí)桿以角速度繞過中心且垂直與桌面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求:（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間桿才會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。（1） 設(shè)桿的線，在桿上取一小質(zhì)元考慮對(duì)稱（2） 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律所以5-3. 如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為的物

2、體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子的質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動(dòng)。假設(shè)定滑輪質(zhì)量為、半徑為 ,其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，試求該物體由靜止開始下落的過程中，下落速度與時(shí)間的關(guān)系。整理5-4. 輕繩繞過一定滑輪，滑輪軸光滑，滑輪的質(zhì)量為，均勻分布在其邊緣上，繩子端有一質(zhì)量為的人抓住了繩端，而在繩的另一端系了一質(zhì)量為的重物，如圖。已知滑輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，設(shè)人從靜止開始以相對(duì)繩勻速向上爬時(shí)，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，求端重物上升的加速度？解：選人、滑輪與重物為系統(tǒng)，設(shè)為人相對(duì)繩的速度，為重物上升的速度，系統(tǒng)對(duì)軸的角動(dòng)量 根據(jù)角動(dòng)量定理所以5-5. 計(jì)算質(zhì)量為半徑為的均質(zhì)球體繞其軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。證明：設(shè)球的半徑為，

3、總重量為，體密度，將球體劃分為許多厚度為的圓盤， 則盤的體積為 5-6. 一輕彈簧與一均勻細(xì)棒連接，裝置如圖所示，已知彈簧的勁度系數(shù)，當(dāng)時(shí)彈簧無形變，細(xì)棒的質(zhì)量，求在的位置上細(xì)棒至少應(yīng)具有多大的角速度，才能轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置？解：機(jī)械能守恒 根據(jù)幾何關(guān)系 5-7. 如圖所示，一質(zhì)量為、半徑為的圓盤，可繞軸在鉛直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。若盤自靜止下落，略去軸承的摩擦，求：（1）盤到虛線所示的鉛直位置時(shí)，質(zhì)心C和盤緣A點(diǎn)的速率；（2）在虛線位置軸對(duì)圓盤的作用力。解：在虛線位置的C點(diǎn)設(shè)為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，下降過程 機(jī)械能守恒 方向向上5-8. 如圖所示，長(zhǎng)為l的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為和的小球，桿可繞水平光滑固定軸O

4、在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為和輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為的小球，以水平速度與桿下端小球作對(duì)心碰撞，碰后以的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。解：根據(jù)角動(dòng)量守衡 有5-9. 一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)量為，半徑為，放在一粗糙水平面上(圓盤與水平面之間的摩擦系數(shù)為)，圓盤可繞通過其中心的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，圓盤靜止，一質(zhì)量為的子彈以水平速度垂直于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊上，求：(1)子彈擊中圓盤后，盤所獲得的角速度；(2)經(jīng)過多少時(shí)間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)。(圓盤繞通過的豎直軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，忽略子彈重力造成的摩擦阻力矩。) 解（1）角動(dòng)量守恒（2），由（1）已得：，代入

5、即得5-10. 有一質(zhì)量為、長(zhǎng)為的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動(dòng)摩擦系數(shù)為m的水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn)且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。另有一水平運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量為的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端A相碰撞，設(shè)碰撞時(shí)間極短。已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為和，如圖所示。求碰撞后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動(dòng)到停止轉(zhuǎn)動(dòng)的過程所需的時(shí)間。(已知棒繞點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量) 碰撞時(shí)角動(dòng)量守恒細(xì)棒運(yùn)動(dòng)起來所受到的摩擦力矩5-11. 如圖所示，滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為；物體的質(zhì)量為，用一細(xì)繩與勁度系數(shù)的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)。求：（1）當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長(zhǎng)時(shí)使物體由靜止而下落的最大距離。(2)物體的速度達(dá)最

6、大值時(shí)的位置及最大速率。（1）機(jī)械能守恒。設(shè)下落最大距離為（2）若速度達(dá)最大值，5-12. 設(shè)電風(fēng)扇的功率恒定不變?yōu)椋~片受到的空氣阻力矩與葉片旋轉(zhuǎn)的角速度成正比，比例系數(shù)的，并已知葉片轉(zhuǎn)子的總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。（1）原來靜止的電扇通電后秒時(shí)刻的角速度；（2）電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速為多大？（3）電扇以穩(wěn)定轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時(shí)，斷開電源后風(fēng)葉還能繼續(xù)轉(zhuǎn)多少角度？解：（1）通電時(shí)根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 代入兩邊積分 （2）電扇穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速 （3） 5-13. 如圖所示，物體放在粗糙的水平面上，與水平桌面之間的摩擦系數(shù)為，細(xì)繩的一端系住物體，另一端纏繞在半徑為的圓柱形轉(zhuǎn)輪上，物體與轉(zhuǎn)輪的質(zhì)量相同。開始時(shí)，物體與轉(zhuǎn)輪皆靜止

7、，細(xì)繩松弛，若轉(zhuǎn)輪以繞其轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。試問：細(xì)繩剛繃緊的瞬時(shí)，物體的速度多大？物體運(yùn)動(dòng)后，細(xì)繩的張力多大？解：細(xì)繩剛繃緊時(shí)系統(tǒng)機(jī)械能守恒5-14. 質(zhì)量為的小孩站在半徑為、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的水平平臺(tái)邊緣上(平臺(tái)可以無摩擦地繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng))。平臺(tái)和小孩開始時(shí)均靜止。當(dāng)小孩突然一相對(duì)地面為的速率沿臺(tái)邊緣逆時(shí)針走動(dòng)時(shí)，此平臺(tái)相對(duì)地面旋轉(zhuǎn)的角速度為多少？解：此過程角動(dòng)量守恒 5-15. 以速度作勻速運(yùn)動(dòng)的汽車上，有一質(zhì)量為（較?。呴L(zhǎng)為的立方形貨物箱，如圖所示。當(dāng)汽車遇到前方障礙物急剎車停止時(shí)，貨物箱繞其底面邊翻轉(zhuǎn)。試求：（1）汽車剎車停止瞬時(shí)，貨物箱翻轉(zhuǎn)的角速度及角加速度；（2）此時(shí)，

8、貨物箱邊所受的支反力。解：（1）角動(dòng)量守恒 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 （2）思考題5-1. 一輕繩跨過一具有水平光滑軸、質(zhì)量為的定滑輪，繩的兩端分別懸有質(zhì)量和的物體 (<)，如圖所示.繩與輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，某時(shí)刻滑輪沿逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，則繩的張力多大？ （1） （2） 插入圖5-29（3） (4)聯(lián)立方程可得 、。 5-2. 一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的軸以角速度按圖示方向轉(zhuǎn)動(dòng)，若如圖所示的情況那樣，將兩個(gè)大小相等方向相反但不在同一條直線的力沿盤面方向同時(shí)作用到盤上，則盤的角速度怎樣變化？ 答：增大5-3. 個(gè)人站在有光滑固定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)上,雙臂伸直水平地舉起二啞鈴,在該人把此二啞鈴水平收縮到胸前的

9、過程中,人、啞鈴與轉(zhuǎn)動(dòng)平臺(tái)組成的系統(tǒng)的：（A）機(jī)械能守恒,角動(dòng)量守恒;（B）機(jī)械能守恒,角動(dòng)量不守恒,（C）機(jī)械能不守恒,角動(dòng)量守恒;（D）機(jī)械能不守恒,角動(dòng)量不守恒. 答：（C）5-4. 在邊長(zhǎng)為的六邊形頂點(diǎn)上，分別固定有質(zhì)量都是的6個(gè)質(zhì)點(diǎn)，如圖所示。試求此系統(tǒng)繞下列轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（1）設(shè)轉(zhuǎn)軸、在質(zhì)點(diǎn)所在的平面內(nèi)，如圖所示；（2）設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)點(diǎn)所在的平面，如圖所示。以為軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 以為軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 以為軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 5-5. 如圖所示，半徑分別是和、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別是和的兩個(gè)圓柱體，可繞垂直于圖面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，最初大圓柱體的角速度為，現(xiàn)在將小圓柱體向左靠近，直到它碰到大圓柱體為止。由于相互間的摩擦力，小圓柱體被帶著轉(zhuǎn)動(dòng)，最后，當(dāng)相對(duì)滑動(dòng)停止時(shí)，兩圓柱體各以恒定角速度沿相反方向轉(zhuǎn)動(dòng)。試問這種情況角動(dòng)量是否守恒？為什么？小圓柱的最終角速度