矩陣的條件數(shù)

1、精選ppt第二章 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)2.4 矩陣的條件數(shù)精選ppt 考慮線性方程組 它有準(zhǔn)確解為: 如果方程組的系數(shù)矩陣以及右端項(xiàng)發(fā)生微小的變化，得 它有準(zhǔn)確解: ，可以看出，方程組的解變化非常大。 1226826.000018.00001xx(1,1)Tx 1226825.999998.00002xx(10, 2)Tx 精選ppt定義定義1：設(shè)設(shè) ，|.|是是Cnxn上的一個(gè)矩上的一個(gè)矩陣范數(shù)陣范數(shù).矩陣矩陣A的的條件數(shù)條件數(shù)定義為定義為n nnAC1cond( )AA A精選ppt常用的條件數(shù)有：常用的條件數(shù)有： 1cond ( )AAA1111cond ( )AAA112221cond

2、( )()nHHnAAAA AA A是的最大特征值，是的最小特征值精選ppt常用的條件數(shù)有：常用的條件數(shù)有：112221cond ( )(max,min,)niniiAAAA=是 的特征值精選ppt例例1：cond ( )A123233345A精選pptcond( )1A 1cond( )=cond()AAcond()=cond( ),0,.kAA kkC2222cond ()=1cond ()=cond ()=cond ( )UUAAUAcond()cond( )cond( )ABAB精選ppt111211112311111121n nnHnijnnn4247261028cond (H )=

3、1.5514 10cond (H )=1.4951 10cond (H )=1.525 10精選ppt精選ppt注：當(dāng)矩陣當(dāng)矩陣A十分病態(tài)時(shí)，就說明十分病態(tài)時(shí)，就說明A已十分接已十分接 近一個(gè)奇異矩陣。近一個(gè)奇異矩陣。2626.00001Adet( )0.00002A 1300000.5300000100000100000A16cond ( )8.00001 600000.54.8 10AAA精選ppt定理定理1 設(shè)設(shè) 是一個(gè)可逆矩陣，是一個(gè)可逆矩陣， 是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，|.| 是是Cnxn上的一個(gè)矩陣范數(shù)上的一個(gè)矩陣范數(shù).若若 則則 可逆，且有可逆，且有11111()1AAAAAAAA

4、11AAn nnACn nACAA精選ppt推論推論1 設(shè)設(shè) ， 若存在若存在Cnxn上的一個(gè)矩陣范數(shù)上的一個(gè)矩陣范數(shù)|.| 使得使得 則有則有111()cond( )1 cond( )()AAAAAAAAAA11AAn nnACn nAC精選ppt定理定理2 設(shè)設(shè) ， ， 而而Cn上的向量范數(shù)上的向量范數(shù) 與與Cnxn上的矩陣范上的矩陣范數(shù)數(shù)|.| 相容相容.設(shè)設(shè)x是線性方程組是線性方程組Ax=b的解，的解， 是是線性方程組線性方程組 的解的解若若 ，則，則 xn nnACn nACnbC()AA xbb11AA精選pptcond( )1 cond( )()cond( )1 cond( )()xxAAAxAAAbAAbAA精選ppt定理定理3 設(shè)設(shè) ， ， 而而Cn上的向量范數(shù)上的向量范數(shù) 與與Cnxn上的矩陣范上的矩陣范數(shù)數(shù)|.| 相容相容.若向量若向量 分別滿足分別滿足Ax=b， ，則有，則有,nx xCn nnAC,nb rCAxbr1cond( )cond( )rxxrAAbxb精選ppt011,01 1A1cond( )()AO精選ppt3 33100,001iAiiACbCi ()AA xb x42210 xxx22AA精選ppt2138244410Acond (