對(duì)新教材等差數(shù)列一節(jié)的一些想法

1、對(duì)新教材等差數(shù)列一節(jié)的一些想法摘要：高中數(shù)學(xué)數(shù)列一章在老教材中出現(xiàn)在第一冊(cè)(上）集合及函數(shù)后的第三章，總體上是從數(shù)字特征開(kāi)始以公式的推導(dǎo)、記憶、應(yīng)用結(jié)束的；在新教材中數(shù)列一章出現(xiàn)在必修5中，雖然位置上相對(duì)靠后，但是卻在思想上給人以全新的感覺(jué)。對(duì)于數(shù)列一章在課程標(biāo)準(zhǔn)中有如下要求：通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式。能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題體會(huì)等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等差數(shù)列，是高中數(shù)學(xué)向?qū)W生介紹的第一種比較簡(jiǎn)單并且規(guī)律性強(qiáng)、應(yīng)用范圍廣的數(shù)字排列，從它身上學(xué)生可以

2、對(duì)數(shù)列形成具體的概念，并且會(huì)對(duì)數(shù)列的分析、應(yīng)用產(chǎn)生興趣。因此，等差數(shù)列的教學(xué)是數(shù)列一章的重點(diǎn)，我們要以等差數(shù)列為載體展示嘗試探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，使教的過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生對(duì)數(shù)列中函數(shù)思想的形成與發(fā)生發(fā)展過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)、再探索.一 從特殊入手,研究數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，再逐步擴(kuò)展到一般，發(fā)現(xiàn)數(shù)字排列的特點(diǎn)，概括等差數(shù)列的定義。數(shù)學(xué)總是可以跟實(shí)際聯(lián)系在一起的，本節(jié)課的教學(xué)也可以充分的和實(shí)際結(jié)合，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。等差數(shù)列的引入，新教材是從特定的抽象的數(shù)字排列開(kāi)始，然后用實(shí)際的生動(dòng)的例子給出具體的數(shù)字排列，這樣可以使得學(xué)生的接受更加自然。在這些例子的引導(dǎo)下，他們的意識(shí)里面自然會(huì)形成一個(gè)模糊的概念，

3、也就是這些數(shù)列的特征。在這個(gè)前提下，我們可以讓學(xué)生自己從生活中的例子中再抽象出一些具有該特征的數(shù)字排列，到此為止等差數(shù)列的概念已經(jīng)形成。對(duì)于等差數(shù)列的定義，學(xué)生應(yīng)該在充分討論的前提下給出，然后教師應(yīng)該給與學(xué)生適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，直到形成完整、清晰的概念。等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與他的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示?？梢杂脕?lái)表示等差數(shù)列。二 通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式的發(fā)現(xiàn)。 有了前面概念的發(fā)現(xiàn)，自然想到的問(wèn)題就是等差數(shù)列有沒(méi)有通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和又應(yīng)該如何表示。其實(shí)它們都是可以用公式表示的，公式本身并不是十分重要，要緊

4、的是公式發(fā)現(xiàn)的過(guò)程。對(duì)于等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，教參上使用了迭加法和迭代法，這里迭代法要更符合學(xué)生的思維，是比較容易想到的，在迭代的基礎(chǔ)上教師應(yīng)該對(duì)迭加法給與引導(dǎo)和證明，這樣可以讓學(xué)生對(duì)過(guò)程給與充分的重視，這對(duì)以后學(xué)生對(duì)數(shù)列的獨(dú)立學(xué)習(xí)是很有幫助的。 總結(jié)公式： 在公式里的取值是有限定的，且，這一點(diǎn)對(duì)于等差數(shù)列的判斷是十分重要的。 同樣的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)也需要學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，高斯的故事可以給學(xué)生很大的啟發(fā)，在討論后給出公式： 變形后有： 在公式的推導(dǎo)過(guò)程中還要發(fā)現(xiàn)另外一個(gè)結(jié)論：，其中，且三 函數(shù)思想的應(yīng)用及概念的辨析通過(guò)課本中的例3我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的通項(xiàng)公式若形如其中 、為常數(shù)，那么是一個(gè)等差數(shù)列

5、。通過(guò)一次函數(shù)的圖像及數(shù)列的圖像的對(duì)比，可以清晰地看到此數(shù)列的圖像是一次函數(shù)圖像上一些有規(guī)律出現(xiàn)的零散的點(diǎn)因此可以從函數(shù)的角度對(duì)等差數(shù)列重新認(rèn)識(shí)，等差數(shù)列的項(xiàng)可以看作函數(shù)當(dāng)時(shí)依次取時(shí)的函數(shù)值，這樣對(duì)等差數(shù)列的理解就有了質(zhì)的飛躍。同樣前項(xiàng)和可以看作函數(shù)當(dāng)時(shí)的函數(shù)值。經(jīng)過(guò)變形可知這時(shí)可以發(fā)現(xiàn)其為常數(shù)項(xiàng)是零的二次函數(shù)，故進(jìn)一步表示為，其中，。那么如果一個(gè)數(shù)列的前形如（），這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？我們知道 :(1)時(shí)，；(2)時(shí)，因此若，其為從第一項(xiàng)開(kāi)始的等差數(shù)列；若，其為從第二項(xiàng)開(kāi)始的等差數(shù)列，這里分析所得的結(jié)論是對(duì)其蘊(yùn)含函數(shù)思想的總結(jié)。例一  已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：(1)時(shí)，；(2)時(shí)，通項(xiàng)公式例二 等差數(shù)列中，則當(dāng)為何值時(shí)的值最大？解：方法一：，則，則有又，故最大。方法二： 91713，考慮到最大方法三：一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和是關(guān)于的不含常數(shù)項(xiàng)的一次或二次函數(shù)。對(duì)于，如圖可知最大 四 公式的應(yīng)用設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和（），是常數(shù)，且(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)證明：以為坐標(biāo)的點(diǎn)（）都在同一條直線上，并寫(xiě)出此直線的方程。課后研究題：設(shè)，令.(1)證明：之間；(2)中那一個(gè)數(shù)更接近