微積分第七部分常微分方程

1、第七部分 常微分方程填空題1微分方程的通解為 。2過點且滿足關(guān)系式的曲線方程為。3微分方程的通解為 。4設(shè)是線性微分方程的三個特解，且，則該微分方程的通解為。5設(shè)是某二階線性非齊次微分方程的兩個特解，且相應(yīng)齊次方程的一個解為，則該微分方程的通解為。6設(shè)出微分方程的一個特解形式。7微分方程的通解為 。8微分方程的通解為 。9函數(shù)滿足的二階線性常系數(shù)齊次微分方程為。10若連續(xù)函數(shù)滿足關(guān)系式 ，則。選擇題11設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則等于 (A)。 (B) 。 1 / 19(C) 。 (D) 。答B(yǎng)注：根據(jù)題意，解得。由，得，所以，即選項(B)正確。12若函數(shù)是微分方程的一個

2、特解，則該方程滿足初始條件的特解為 (A) 。 (B) 。(C) 。 (D) 。答D注：根據(jù)解的結(jié)構(gòu)，通解為，由得。故選項(D)正確。其他選項經(jīng)驗證不滿足方程或定解條件。13設(shè)函數(shù)是微分方程的兩個不同特解，則該方程的通解為 (A)。 (B) 。(C) 。 (D) 。答D注：因為是微分方程的兩個不同特解，所以是該方程的一個非零特解。根據(jù)解的結(jié)構(gòu)，其通解為，即選項(D)正確。另：根據(jù)通解定義，選項(A)中有兩個任意常數(shù)，故其不對。當時，選項(B)不對。當時，選項(C)不對。14已知函數(shù)在任意點處的增量，則等于 (A)。 (B)。 (C)。 (D) 。答D注：根據(jù)微分定義及微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得，解得，

3、由，得，所以。因此選項(D)正確。15設(shè)函數(shù)是微分方程的一個解。若，則函數(shù)在點 (A) 取到極大值。 (B) 取到極小值。(C) 某個鄰域內(nèi)單調(diào)增加。 (D) 某個鄰域內(nèi)單調(diào)減少。答A注：因為，所以選項(A)正確。16. 設(shè)是二階常系數(shù)線性齊次方程的兩個特解，是兩個任意常數(shù)，則下列命題中正確的是 （A） 一定是微分方程的通解。（B）不可能是微分方程的通解。（C）是微分方程的解。（D）不是微分方程的解。答C注：根據(jù)疊加原理，選項（C）正確，選項（D）錯誤。當線性相關(guān)時，選項（A）錯誤, 當線性無關(guān)時，選項（B）錯誤。17. 微分方程的一個特解應(yīng)具有形式 (A)。 (B)。(C) 。 (D) 。答

4、B注：相應(yīng)齊次方程的特征根為，所以的一個特解形式為，的一個特解形式為。根據(jù)疊加原理，原方程的一個特解形式為，即選項(B)正確。其他選項經(jīng)檢驗不滿足方程。18. 具有特解的三階線性常系數(shù)齊次微分方程是 (A)。 (B) 。(C) 。 (D) 。答B(yǎng)注：根據(jù)題意，是特征方程的兩個根，且是重根，所以特征方程為。故所求微分方程為，即選項(B)正確。19. 設(shè)是三階線性常系數(shù)齊次微分方程的兩個特解，則的值為 (A)。 (B)。(C)。 (D)。答C注：根據(jù)題意，是特征方程的兩個根，且是重根，所以特征方程為。故原微分方程應(yīng)為，所以即選項(C)正確。20. 設(shè)二階線性常系數(shù)齊次微分方程的每一個解都在區(qū)間上有

5、界，則實數(shù)的取值范圍是 (A)。 (B)。 (C)。 (D)。答A注：因為當時，所以，當時，要想使在區(qū)間上有界，只需要，即。當時，要想使在區(qū)間上有界，只需要與的實部大于等于零，即。當時，在區(qū)間上有界。當時，在區(qū)間上無界。綜上所述，當且僅當時，方程的每一個解都在區(qū)間上有界，即選項(A)正確。解答題21求微分方程的通解。解：方程兩端同乘以，得，此方程是一個變量分離方程，其通解為。22求微分方程的通解。解：這是一個一階線性微分方程，求解其相應(yīng)的齊次方程，得其通解為，即。令，代入原方程，得，解得。所以原方程的通解為。注：本題也可直接利用一階線性非齊次微分方程的通解公式，得。23求解微分方程。解：將看成

6、自變量，看成是的函數(shù)，則原方程是關(guān)于未知函數(shù)的一階線性微分方程，此方程通解為，其中是任意常數(shù)。24求微分方程滿足初始條件的特解。解：將原方程變形，得，這是一個齊次型方程。令，代入上式，得，分離變量，得，積分，得，即。因為，所以。于是所求特解為。25設(shè)施微分方程的一個解，求此微分方程滿足條件的特解。解：將代入原方程，得，解出。所以原方程為，解其對應(yīng)的齊次方程，得。所以原方程的通解為。由，得。故所求特解為。26求微分方程的通解。解：將原方程化為，這是一個伯努利方程。令 ，則原方程化為。這是一個一階線性微分方程，解得，所以原微分方程的通解為。27求微分方程的通解。解：將看成自變量，則是的函數(shù)。由于原

7、方程是齊次型方程，令，原微分方程化為，這是一個變量可分離的方程，解得。所以原方程的通解為。另解：令 ，則，所以，在時，原方程為全微分方程。令 ，由于此曲線積分與路徑無關(guān)，所以就是全微分式的一個原函數(shù)，且所以原方程的通解為。28設(shè)為實數(shù)，求微分方程的通解。解：此方程的特征方程為，所以， （1）當時，特征方程有一對復(fù)根 ，方程有兩個線性無關(guān)解 。因此微分方程的通解為。 （2）當時，特征方程有一個二重根。方程有兩個線性無關(guān)解,于是微分方程的通解為。 （3）當時，特征方程有兩個單重實根 。方程有兩個線性無關(guān)解，所以微分方程的通解為。29求微分方程的通解。解 將方程寫作。因為是特征方程的單根，所以原方程

8、一個特解形式為，將此解代入原方程，得，比較兩端同次項的系數(shù)，有。解上述方程組，得。從而得到原方程的一個特解。又因為相應(yīng)齊次方程的通解為。所以原方程的通解為。另解：方程兩端積分，得，這是一個一階線性微分方程，其通解為30求解微分方程。解：因為是特征方程的重根，所以原方程的一個待定特解為，將此解代入原方程，得。比較兩端系數(shù)，得。于是得到原方程的一個特解。又因為相應(yīng)齊次方程的通解是。因此原方程的通解為。31求微分方程的通解。解：原方程所對應(yīng)齊次方程的通解為。設(shè)非齊次方程的一個特解為，代入次方程，得 。所以 。設(shè)非齊次方程的一個特解為，代入方程，得 。所以 。因為為原方程的一個特解，所以原方程的通解為

9、。32求解微分方程 。解：因為原微分方程不顯含自變量，所以這是一個可降階微分方程。令 ，則。原方程變?yōu)椤Ｔ倭?，則有，這是一個一階線性微分方程，求得。所以，故 。這是個變量可分離微分方程，解得，這就是原微分方程的通解。注：方程是一個伯努利方程，可用伯努利方程的一般解法求解。33求解微分方程。解：微分方程 的特征方程為，是其三重特征根。所以該齊次方程的通解為。令原微分方程的一個特解形式為，代入原微分方程，并整理得，所以 。因此原微分方程的一個特解為，故所求通解為。34求解微分方程。解：令 ，則原方程化為，這是個一階線性微分方程，解得。因此 ，所以原微分方程的通解為，其中是任意常數(shù)。另解：令，則原

10、方程化為 ，所以 。由得。35求解微分方程。解：原方稱為二階歐拉方程。令 ，得。所以原微分方程化為，其中是自變量。這是一個二階線性常系數(shù)非齊次方程，解得。所以原微分方程的通解為，其中是任意常數(shù)。36 求解定解問題。解：令 ，則原方程化為，這是個變量可分離微分方程，解得，或，根據(jù) ，得。由 ，得 。因為 ，所以 ，故原定解問題的解為。注：在求解變量可分離微分方程時，容易丟掉解，從而得不到原定解問題的解。37已知函數(shù)上可導(dǎo)，且滿足等式，求，并證明。解：根據(jù)條件，得，因為上可導(dǎo)，由上式，知上二階導(dǎo)數(shù)存在，所以，這是滿足的一個一階線性齊次方程，解得，由于 ，所以 ，故。當時，因為，所以。又時，所以。故。注：證明不等式時，只需要知道導(dǎo)數(shù)的符號及函數(shù)在某點上的值，并不要求一定知道函數(shù)的表達式。38設(shè)為連續(xù)函數(shù),證明方程的所有積分曲線上橫坐標相同的點的切線交于一點。證：記 為方程的一條積分曲線，則 方程的任一條積分曲線可記為。曲線在點的切線方程為，曲線在點的切線方程為。求解方程組，得。所以，任一條積分曲線與積分曲線在橫坐標為的點處的切線相交于與無關(guān)的點，即方程的所有積分曲線上橫坐標相同的點的切線交于一點。39設(shè)在上連續(xù)非負，證明微分方程的任意非零解滿足的充