高二定積分的簡單應用(理科)

1、年 級高二學科數學內容標題定積分的簡單應用（理科）編稿老師胡居化一、教學目標1. 能用定積分知識解決在物理學中的一些簡單問題及求曲邊圖形的面積等問題2. 體會數與形結合的思想、等價轉化的數學思想的應用.二、知識要點分析1. 定積分在物理學中的簡單應用（1）變速直線運動的路程：作變速直線運動的物體在時間t=a到時間t=b（a<b）內所經過的路程S等于其速度V=v（t）在區(qū)間a，b上的定積分，（其中v（t）恒為正）即（2）變力做功：物體在力F（x）的作用下做直線運動，且物體沿著力F（x）相同的方向從x=a移動到x=b（a<b）變力所做的功W=2. 定積分求曲邊多邊形的面積（1）幾種典型

2、曲邊梯形面積的計算方法（i）由三條直線x=a，x=b（a<b），x軸，一條曲線y=f（x），（f（x）恒為正）圍成的曲邊梯形面積（ii）由三條直線x=a，x=b（a<b），x軸，一條曲線y=f（x），（f（x）恒為負）圍成的曲邊梯形面積（iii）由三條直線x=a，x=b（a<b），x軸，兩條曲線y=f（x），y=g（x），圍成的圖形面積（2）求曲邊圖形面積的一般步驟：（a）畫圖，并將圖形分割成若干個曲邊梯形（b）對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上下限.（c）確定被積函數（d）求出各曲邊梯形的面積和，即各種定積分的絕對值之和.【典型例題】知識點一：定積分在物理學中

3、的簡單的應用例1：一物體在力F（單位：N）的作用下沿力F相同的方向，從x=0處運動到x=4處（單位：米），這力F（x）所做的功是（ ）A. 44 B. 46 C. 48 D. 50【題意分析】本題考查物理學中的變力做功問題，物體在x=0到x=4距離內所做的功是函數F（x）在區(qū)間0，4上的定積分.【思路分析】由已知F（x）的表達式是分段函數，故物體所做的功是函數F（x）在0，2，2，4上的積分之和.【解題步驟】由定積分的物理意義知：46，故選（B）【解題后的思考】本題考查的知識點是利用定積分求變力做功的問題，易錯點是：認為F（x）在區(qū)間0，4內所做的功是.例2：一物體做變速直線運動，其vt曲線（

4、如圖所示），求物體在內的運動路程.【題意分析】本題考查物理學中變速直線運動路程問題，由v（t）曲線知：，故在間的物體運動的路程是v（t）在區(qū)間上的定積分.【思路分析】由vt曲線知：v（t）是關于t的分段函數，即在0，1時間內物體做加速直線運動在1，3時間內物體做勻速運動，在3，6時間內物體也做加速運動但加速度不同所以首先要確定v（t）分段函數的表達式，然后求物體在內運動的路程，即是v（x）在三個區(qū)間內的定積分之和.【解題步驟】由v（t）曲線知：故物體在內運動的路程是【解題后的思考】本題是考查利用定積分求變速直線運動的路程的問題，v（t）往往是關于時間t的分段函數，所以首先是求出v（t）函數的分

5、段表達式，再求在每一個區(qū)間上的定積分然后相加即得，體現的數學思想是數與形結合的思想.易錯點是：求在每個時間區(qū)間的函數表達式有誤.例3：一質點在直線上從時刻t=0（s）開始以速度運動，求（1）在t=4s時該點的位置.（2）在t=4s時運動的路程.【題意分析】本題的第一問中：在t=4s的位置是由物體的位移確定的，故物體的位移就是在0，4內v（t）的定積分.第二問中，從時刻t=0到時刻t=4不能保證恒成立.而路程是位移的絕對值之和.因此要把區(qū)間0，4分割，以便能準確的判斷v（t）在哪些區(qū)間為正哪些區(qū)間為負.【思路分析】由知：在區(qū)間0，1，3，4內v（t）為正值，在區(qū)間1，3內v（t）為負值.在時刻1

6、，3內物體運動的路程是.【解題步驟】（1）在時刻t=4s時物體的位移是：即t=4s時刻質點距出發(fā)點（2）由知：運動物體在t=4s時刻運動的路程4【解題后的思考】本題考查的知識點是利用定積分求變速直線運動路程的問題，要明確僅當v（t）恒為正時，物體在時刻t=0到時刻t=4時運動的路程，因此本題正對v（t）的表達式要把時刻區(qū)間0，4分割，確保在哪些時刻區(qū)間v（t）為正，哪些時刻區(qū)間v（t）為負.體現的數學思想是分類討論的數學思想.同時要理解物理學中的路程與位移的區(qū)別.易錯點是：混淆路程與位移的概念.【小結】這一題組三個例題主要講述利用定積分求變力做功的問題和求變速直線運動物體的路程問題.對求變力做

7、功問題要根據物理學的意義求力F的表達式，及在力F作用下位移的起始位置與末位置，以確定積分的上下限.在求變速直線運動路程問題時，要根據v（t）曲線寫出v（t）函數的表達式，或由v（t）表達式判斷在時刻區(qū)間v（t）是否為正.因為僅當v（t）恒為正時，. 知識點二：求曲邊梯形的面積例1：曲線與直線y=x圍成的圖形的面積是（ ）A. B. C. D. 【題意分析】根據定積分的幾何意義要求兩曲線圍成的圖形面積必須確定被積函數、積分的上下限.【思路分析】在同一坐標系內畫出函數和y=x的圖象，求出交點坐標從而確定積分的上下限及被積函數.【解題過程】在同一坐標系內畫出函數圖象（如圖）A（1，1），B（1，1）

8、由兩函數圖象知：兩圖象圍成的面積在第一、第三象限.根據圖象的對稱性知：兩部分面積相等.在第一象限兩圖象圍成的面積故兩曲線圍成的圖形面積，選（C）【解題后的思考】本題是利用定積分求曲邊圖形的面積，解題的關鍵是確定被積函數和積分的上下限.通過畫出兩函數的圖象及求交點坐標來確定積函數和積分的上下限，體現了數形結合這一數學思想的應用，易錯點：畫函數圖象不準確導致積分上下限的確定有誤.例2：求拋物線與直線x+y6=0及y=0圍成的圖形面積.【題意分析】畫出圖形確定被積函數和積分的上下限，再利用定積分的幾何意義求面積【思路分析】畫出及x+y6=0的圖象，求兩曲線的交點坐標，正確劃分圖形，然后確定被積函數及

9、積分的上下限.【解題過程】由題意畫出圖形（如圖）由兩曲線的交點A（2，4）故所求的面積 【解題后的思考】本題考查求兩條曲線圍成的曲邊梯形面積的問題，處理的方法（1）準確地畫出兩個函數的圖象，（2）求出兩曲線的交點坐標，然后對正確的圖形分割后，（3）確定被積函數及積分的上下限.體現數形結合的思想及其應用，易錯點是：圖形分割不正確導致被積函數有誤，如本題會誤認為：S=.例3：在曲線 上某一點A處作切線，使之與曲線以及x軸圍成的面積為，求切點A的坐標，及過點A的切線方程. 【題意分析】本題考查的知識點是：導數的幾何意義及利用定積分求曲邊圖形的面積.利用導數的幾何意義求切線AC的方程，再利用曲邊三角形

10、的面積是求切點坐標【思路分析】設切點A（ 求出切線方程進而求出C點坐標，根據求出.【解題過程】設切點A（，由導數的幾何意義知：切線AC的斜率k=2x0，所以切線方程是， 令，設由曲線和過A點的切線及x軸所圍成的圖形面積是S，則S=， 故切點A（1，1），所求的切線方程為y=2x1.【解題后的思考】本題是導數與積分綜合試題，解題的關鍵是（1）利用導數求切線斜率進而求切線方程.（2）利用積分求曲邊三角形AOB的面積減去三角形ABC的面積來表示曲邊三角形AOC的面積.求切點坐標，易錯點是：求曲邊三角形AOC的面積時不會分割為曲邊三角形AOB的面積減去三角形ABC的面積.【小結】本題組主要講述利用定積

11、分求曲邊圖形的面積，處理問題的關鍵是要能畫出函數的圖象，并且合理地分割圖形，以便確定被積函數和積分的上下限.易錯點：圖形分割不合理導致被積函數和積分上下限的確定錯誤.【本講涉及的數學思想、方法】本講主要講定積分的簡單的應用，在處理定積分在物理學中的應用和求曲邊圖形面積時充分體現了數形結合的數學思想的應用和分類討論的數學思想的應用.【模擬試題】（答題時間：60分鐘，滿分60分）一、填空題（每題5分，計20分）1. 已知函數f（x）是奇函數，且f（1）f（1）=，則a+b=_2. 直線y=2x+3與拋物線y=x2圍成的圖形面積是 3. 長為25cm的彈簧，若加100N的力，則彈簧伸長到30cm，則

12、彈簧從25cm到30cm所做的功是 4. 曲線xy=1及直線y=x，y=2圍成的平面圖形的面積是 .二、計算題（計40分）：5. 已知f（x）=求f（x）的解析式.（10分）6. 某一物體沿數軸的正方向做變速直線運動，其速度v（t）=1t2，初始位置為x0=1，求它在前2秒內走過的路程及2秒末的位置.（10分）7. 在原點O有一個帶電量為q的點電荷，它所產生的電場對周圍的電荷有作用力，現有一個單位正電荷從距離原點a處沿著射線方向移至距O點為b（a<b）的地方，求電場力所做的功.（10分）8. 求曲線y=2xx2，y=2x24x所圍成圖形的面積.（10分）【試題答案】一、填空題1. 解析：f（x）=，由f（x）為奇函數知：b=0，又由f（1）f（1）=.2. 解析：.3. 2250N 解析：設x表示彈簧伸長的長度，則F（x）=kx，當F=100N時，x=5，故k=20，所以F=20x4. 解析：由已知：以y軸為積分變量可得面積二、計算