高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解題方法探尋及典例剖析

1、2014高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)（第2輪 難點(diǎn)突破）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解題方法探尋及典例剖析【考情分析】1函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法是高中數(shù)學(xué)的一條重要的主線，選擇、填空、解答三種題型每年都有函數(shù)題的身影頻現(xiàn)，而且?？汲Ｐ乱曰竞瘮?shù)為背景的綜合題和應(yīng)用題是近幾年的高考命題的新趨勢(shì)函數(shù)的圖象也是高考命題的熱點(diǎn)之一近幾年來(lái)，考查用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì)的綜合題基本已經(jīng)定位到壓軸題的位置了2對(duì)于函數(shù)部分考查的重點(diǎn)為：函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性對(duì)稱性和函數(shù)的圖象；指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)；應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決一些實(shí)際問(wèn)題；導(dǎo)數(shù)的基本公式，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；可導(dǎo)函數(shù)的

2、單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求一些實(shí)際問(wèn)題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值 【常見(jiàn)題型及解法】1. 常見(jiàn)題型一、 小題：1. 函數(shù)的圖象2. 函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性);3. 分段函數(shù)求函數(shù)值；4. 函數(shù)的定義域、值域（最值）；5. 函數(shù)的零點(diǎn)；6. 抽象函數(shù)；7. 定積分運(yùn)算（求面積）二、大題：1. 求曲線在某點(diǎn)處的切線的方程； 2. 求函數(shù)的解析式3. 討論函數(shù)的單調(diào)性，求單調(diào)區(qū)間； 4. 求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值；5. 求函數(shù)的最值或值域； 6. 求參數(shù)的取值范圍7. 證明不等式； 8. 函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題2. 在解題中常用的有關(guān)結(jié)論（需要熟記）：(1)曲線在處的切線的斜率等于，且切

3、線方程為。(2)若可導(dǎo)函數(shù)在 處取得極值，則。反之，不成立。(3)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，不等式的解集決定函數(shù)的遞增（減）區(qū)間。(4)函數(shù)在區(qū)間I上遞增（減）的充要條件是：恒成立（ 不恒為0）.(5)函數(shù)（非常量函數(shù)）在區(qū)間I上不單調(diào)等價(jià)于在區(qū)間I上有極值，則可等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間I上有實(shí)根且為非二重根。（若為二次函數(shù)且I=R，則有）。(6) 在區(qū)間I上無(wú)極值等價(jià)于在區(qū)間在上是單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，則; 若，恒成立，則(8)若，使得，則；若，使得，則.(9)設(shè)與的定義域的交集為D，若D 恒成立，則有.(10)若對(duì)、 ，恒成立，則.若對(duì)，使得,則. 若對(duì)，使得，則.（11）已知

4、在區(qū)間上的值域?yàn)锳,，在區(qū)間上值域?yàn)锽，若對(duì),，使得=成立，則。(12)若三次函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且極大值大于0，極小值小于0.(13)證題中常用的不等式: 3. 解題方法規(guī)律總結(jié)1. 關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的討論：大多數(shù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)，因此，討論函數(shù)單調(diào)性的問(wèn)題，又往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在所給區(qū)間上的符號(hào)問(wèn)題。要結(jié)合函數(shù)圖象，考慮判別式、對(duì)稱軸、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)等因素。2. 已知函數(shù)（含參數(shù)）在某區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)的取值范圍，有三種方法：子區(qū)間法；分離參數(shù)法；構(gòu)造函數(shù)法。3. 注意分離參數(shù)法的運(yùn)用：含參數(shù)的不等式恒成立問(wèn)題，含參數(shù)的不等式在某區(qū)間上有解

5、，含參數(shù)的方程在某區(qū)間上有實(shí)根（包括根的個(gè)數(shù)）等問(wèn)題，都可以考慮用分離參數(shù)法，前者是求函數(shù)的最值，后者是求函數(shù)的值域。4. 關(guān)于不等式的證明：通常是構(gòu)造函數(shù)，考察函數(shù)的單調(diào)性和最值。有時(shí)要借助上一問(wèn)的有關(guān)單調(diào)性或所求的最值的結(jié)論，對(duì)其中的參數(shù)或變量適當(dāng)賦值就可得到所要證的不等式。對(duì)于含有正整數(shù)n的帶省略號(hào)的不定式的證明，先觀察通項(xiàng)，聯(lián)想基本不定式（上述結(jié)論中的13），確定要證明的函數(shù)不定式（往往與所給的函數(shù)及上一問(wèn)所得到的結(jié)論有關(guān)），再對(duì)自變量x賦值，令x分別等于1、2、.、n,把這些不定式累加，可得要證的不定式。）5. 關(guān)于方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題：一般是構(gòu)造函數(shù)，有兩種形式，一是參數(shù)含在函數(shù)式中

6、，二是參數(shù)被分離，無(wú)論哪種形式，都需要研究函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性、極值、最值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)圖象， 確立所滿足的條件，再求參數(shù)或其取值范圍。 【基本練習(xí)題講練】【例1】“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來(lái)，睡了一覺(jué)，當(dāng)它醒來(lái)時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是（ ） A B C D【答案】 B【解析】在選項(xiàng)B中，烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)，兔子在同一時(shí)間的路程比烏龜短【點(diǎn)評(píng)】函數(shù)圖象是近年高考的熱點(diǎn)的試題，考查函數(shù)圖象的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生解決問(wèn)題、分

7、析問(wèn)題的能力，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起重視【例2】（山東高考題）已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，若方程在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，則【答案】 -8-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m>0) 【解析】因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足，所以，所以, 由為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且，由知，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)樵趨^(qū)間0,2上 是增函數(shù)，所以在區(qū)間-2,0上也是增函數(shù)如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，不妨設(shè)，由對(duì)稱性知，所以【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性，對(duì)稱性，周期性，以及由函數(shù)圖

8、象解答方程問(wèn)題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問(wèn)題【例3】若是方程的解，是 的解，則的值為（ ）A B C3 D【解析】作出的圖象，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，而 【答案】C 【點(diǎn)評(píng)】該題考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)綜合了函數(shù)的圖象、方程的解及曲線的交點(diǎn)等問(wèn)題指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù)， 高考中以它們?yōu)檩d體的函數(shù)綜合題既考查雙基， 又考查對(duì)蘊(yùn)含其中的函數(shù)思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法的理解與運(yùn)用 【例4】若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【解析】設(shè)函數(shù)和函數(shù)，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， 就是函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知：當(dāng)時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合，當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖

9、象過(guò)點(diǎn)(0，1)，而直線所過(guò)的點(diǎn)一定在點(diǎn)(0，1)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【答案】【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關(guān)系，隱含著對(duì)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的考查，根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫(huà)出函數(shù)的圖象解答體現(xiàn)了對(duì)分類討論思想的考查，分類討論時(shí)，要注意該分類時(shí)才分類，務(wù)必要全面【例5】已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足的x 取值范圍是（ ）（A）（，） (B) ，） (C)（，） (D) ，）【解析】由于f(x)是偶函數(shù)，故f(x)f(|x|)， 得f(|2x1|)f()，再根據(jù)f(x)的單調(diào)性，得|2x1|，解得x 【答案】B【點(diǎn)評(píng)】該題的關(guān)鍵是將含有函數(shù)符號(hào)的不

10、等式轉(zhuǎn)化為普通的不等式，體現(xiàn)的對(duì)轉(zhuǎn)化思想的考查，同時(shí)還綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，而該題的轉(zhuǎn)化的依據(jù)就是函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性考題中通過(guò)這種形式來(lái)考查函數(shù)的性質(zhì)與方程、不等式等的綜合不但是一個(gè)熱點(diǎn)，而且成了一個(gè)固定的必考題型【例6】某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房經(jīng)測(cè)算，如果將樓房建為x（x10）層，則每平方米的 平均建筑費(fèi)用為560+48x（單位：元）為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費(fèi)用=平均建筑費(fèi)用+平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用=）【解析】設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)為元，依題意得：則，令，即，解得當(dāng)時(shí)

11、，；當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值，元【答】 為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)最少，該樓房應(yīng)建為15層【點(diǎn)評(píng)】這是一題應(yīng)用題，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)值域或最值是一種常用的方法【典型題剖析及訓(xùn)練】【例1】已知a、b為常數(shù)，且a0，函數(shù)，。（）求實(shí)數(shù)b的值；（）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)a1時(shí)，是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)m和M（mM），使得對(duì)每一個(gè)tm，M，直線yt與曲線 都有公共點(diǎn)？若存在，求出最小的實(shí)數(shù) m和最大的實(shí)數(shù)M；若不存在，說(shuō)明理由?！窘馕觥浚ǎ゜2；（）a0時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間是（1，），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），a0時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間

12、是（1，）；（）存在m，M；m的最小值為1，M的最大值為2。【例2】已知函數(shù)圖象上一點(diǎn) 處的切線方程為。（1）求的值 （2）設(shè)，求證：對(duì)于任意的，有（3）若方程在 上有兩個(gè)不等實(shí)根，求m的取值范圍（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）【解】（1）由已知：，所以。易知 。所以函數(shù)的圖象在點(diǎn) 處的切線方程為：，即。 由題意得：。 （2）由（1）知：。令， 則，所以， 令，得：。當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減。所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，且。故對(duì)，都有：，即。 （3）記，則，令，得：。當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減。為使方程在 上有兩個(gè)不等實(shí)根，則有：。所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是?！玖斫狻糠匠淘?上有兩個(gè)不等實(shí)根等價(jià)于方程在 上有兩

13、個(gè)不等實(shí)根。記，則，令，得：。當(dāng)時(shí)，遞減；當(dāng)時(shí)，遞增。所以，又 ，顯然，根據(jù)的圖象，為使方程在 上有兩個(gè)不等實(shí)根，則有：【例3】設(shè)函數(shù)，。 （1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）若函數(shù) 圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （3）若方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （4）是否存在實(shí)數(shù)t，使得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰好有4個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由?！窘狻浚?）當(dāng)時(shí)，的的遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為（2），由已知：對(duì)，恒成立，即對(duì)恒成立。當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最大值，所以。 （3）方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解等價(jià)于方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)

14、解。記，則， 令，得：，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減。所以。易求得：，。 為使方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)解，則直線與函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)，根據(jù)的圖象可知： 或 。故的取值范圍是。（4）設(shè)，則， ，令，得： ，。 列表如下：-101+0-0+0極大值極小值極大值 由上表可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù) 取得極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值。且當(dāng)時(shí)，。為使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰好有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的極大值大于0，極小值小于0，即。故存在實(shí)數(shù)t滿足題設(shè)條件，且t的取值范圍是?！纠?】（2009 全國(guó)I）設(shè)函數(shù)在兩個(gè)極值點(diǎn)，且（I）求滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫(huà)出滿足這

15、些條件的點(diǎn)的區(qū)域；(II) 證明：【解析】（I）。由題意知：方程有兩個(gè)根，且 則有故有 右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點(diǎn)的區(qū)域。 (II) 由題意有 又 消去可得 易知：關(guān)于遞減，因?yàn)?，?而， 【例5】已知函數(shù)， ， （） （1）若函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)處的切線的斜率都不大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 （2）當(dāng)時(shí)，若且，證明： （3）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程 （）有唯一實(shí)數(shù)解，求的值?！窘馕觥浚?）的定義域?yàn)?。依題意，對(duì)恒成立。即恒成立。所以，而，其最大值為， 所以 （2）當(dāng)a=0時(shí)，于是 。因?yàn)?，由基本不等式可得?。故題設(shè)不等式得證。（3）【法一】當(dāng)a=0時(shí)，關(guān)于x的方程有唯一解等價(jià)于方程有唯一解

16、。 設(shè)（）則 ，令，即，求得：。 當(dāng)時(shí)， 遞減；當(dāng)時(shí) ，遞增。 所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值 若是方程的唯一解，則有：， 即 ，顯然 而函數(shù)單調(diào)遞增，所以是方程的唯一解。 又，所以 ， 求得： 。 【法一】當(dāng)a=0時(shí)，關(guān)于x的方程有唯一解等價(jià)于方程 在上有唯一解，設(shè)，則 ，令，求得：。當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增：當(dāng)時(shí)，函數(shù) 遞減 。所以當(dāng)時(shí)，取得最大值。為使方程有唯一解，又m>0，故有：， 所以 【例6】（2011 湖南 文 22）設(shè)函數(shù)(I)討論的單調(diào)性；（II）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，記過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，問(wèn)：是否存在，使得 若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】（I）的定義域?yàn)?令，其判別式 當(dāng) 故

17、上單調(diào)遞增 當(dāng)?shù)膬筛夹∮?，在上，故上單調(diào)遞增當(dāng)?shù)膬筛鶠椋?dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（II）由（I）知，因?yàn)?，所?又由(I)知，于是若存在，使得則即亦即再由（I）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以這與式矛盾故不存在，使得【例7】（2011遼寧）已知函數(shù)（I）討論的單調(diào)性；（II）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，；（III）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：（x0）0【解析】（I） 若單調(diào)增加. 若且當(dāng)所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少. （II）設(shè)函數(shù)則 當(dāng)時(shí)，即遞增，而，所以.故當(dāng)時(shí)， （III）由（I）可得，當(dāng)?shù)膱D像與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，故，從而

18、的最大值為，且不妨設(shè)，則 由（II）得從而， 由（I）知， 【例8】（2011 江蘇 19）已知a，b是實(shí)數(shù)，函數(shù) 和 是的導(dǎo)函數(shù)，若在區(qū)間I上恒成立，則稱和在區(qū)間I上單調(diào)性一致.（1）設(shè)，若函數(shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致,求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（2）設(shè)且，若函數(shù)和在以a，b為端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間上單調(diào)性一致，求的最大值.【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，所以，對(duì)恒成立即恒成立。即，故b的取值范圍是（2）【法一】由得：若，則由，于是和在區(qū)間上不是單調(diào)性一致, 所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以要使,只有,即所以。 取，則當(dāng)時(shí), 。 因此【法二】當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，函?shù)和在區(qū)間上單調(diào)性一致，所以， ，即，因

19、為 ，所以 。故有 ，即設(shè)，考慮點(diǎn)的可行域，函數(shù)的斜率為1的切線的切設(shè)為，則，得：，從而 。當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瘮?shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，即 ， 從而得：，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，函?shù)和在區(qū)間（a, b）上單調(diào)性一致，所以，即而x=0時(shí)，不符合題意， 當(dāng)時(shí)，由題意：易知， ，所以綜上可知，?！菊f(shuō)明】本題主要考查單調(diào)性概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及應(yīng)用、含參不等式恒成立問(wèn)題，綜合考查、線性規(guī)劃、解二次不等式、二次函數(shù)、化歸及數(shù)形結(jié)合的思想，考查用分類討論思想進(jìn)行探索分析和解決問(wèn)題的綜合能力.(1)中檔題；（2）難題. 【例9】（2009 湖北）已知關(guān)于x的函數(shù)f(x)bx2cxbc,其導(dǎo)函數(shù)為f+(x)。.令g

20、(x),記函數(shù)g(x)在區(qū)間-1、1上的最大值為M. ()如果函數(shù)f(x)在x1處有極值-，試確定b、c的值： （）若b>1,證明對(duì)任意的c,都有M>2: ()若MK對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值?！窘馕觥浚↖） ，由在處有極值可得 解得 或 若，則，此時(shí)沒(méi)有極值；若，則。列表如下：10+0極小值極大值 所以當(dāng)時(shí)，有極大值，故，即為所求。（）【法一】：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外。在上的最值在兩端點(diǎn)處取得。故應(yīng)是和中較大的一個(gè)即【法二】（反證法）：因?yàn)椋院瘮?shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外。 在上的最值在兩端點(diǎn)處取得。故應(yīng)是和中較大的一個(gè)。 假設(shè)，則 將上述兩式相加得：，導(dǎo)致矛盾，

21、（）【法一】：（1）當(dāng)時(shí)，由（）可知；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)）的對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi)， 此時(shí)由有 若，則，于是若，則。 于是綜上，對(duì)任意的、都有而當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值故 對(duì)任意的、恒成立的的最大值為。 【法二】：（1）當(dāng)時(shí)，由（）可知； （2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間內(nèi)，此時(shí) ，即下同解法1【例10】（2010 湖北）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為 （1）用表示出b、c。 （2）若在上恒成立，求的取值范圍。 （3）證明：【解析】（1），則有：，解得 （2）由（）知， 設(shè) 。易知 ， 則 令 ，求得：1 或 若，即 。當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，所以，有，故在上不恒成立。 若 ，即。當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以， ，故

22、恒成立。 綜上所述，所求的取值范圍為（3）【解法一】由（2）知：當(dāng)時(shí)，有。 令，有。當(dāng)時(shí)，。 令，有 即 ， 將上述個(gè)不等式累加得 ：。 即 【解法二】用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不等式成立假設(shè)時(shí)不等式成立。即 則 由（2）知：當(dāng)時(shí)，有 令，有 令，得： 所以 就是說(shuō)， 當(dāng)時(shí)，不等式也成立。 根據(jù)和，可知不等式對(duì)任何都成立。 【例11】（2011 湖南 理）已知函數(shù)（） =，g（）=+。 （1）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由； （2）設(shè)數(shù)列 滿足，證明：存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意的，都有.【解】（1）由 知：，而，且，則為的一個(gè)零點(diǎn)，且在內(nèi)有零點(diǎn)，因此至少有兩個(gè)零點(diǎn)。 易知 ， 記，則。當(dāng)時(shí)

23、，因此在上單調(diào)遞增，則 在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。又因?yàn)?，則在內(nèi)有零點(diǎn)，所以在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。記此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)；從而 在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。 綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。（2）記的正零點(diǎn)為，即。當(dāng)時(shí)，由，即.而，因此，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由知：，因此，當(dāng)時(shí)，成立。故對(duì)任意的， 成立。當(dāng)時(shí)，由（1）知：在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由知，因此，當(dāng)時(shí)， 成立。 故對(duì)任意的，成

24、立。綜上所述，存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有.【專題演練】1函數(shù)的圖象（ ） A 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B關(guān)于主線對(duì)稱 C 關(guān)于軸對(duì)稱 D關(guān)于直線對(duì)稱2 定義在R上的偶函數(shù)的部分圖象如右圖所示，則在 上，下列函數(shù)中與的單調(diào)性不同的是（ ）A B C D3已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則( )A B C D 4 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)= ，則f（2009）的值為 5 已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是 6已知函數(shù)且（I）試用含的代數(shù)式表示；（）求的單調(diào)區(qū)間；（）令，設(shè)函數(shù)在處取得極值，記點(diǎn)，證明：線段與曲線存在異于、的公共點(diǎn)7已知函數(shù)的圖象在與軸交點(diǎn)處的切線方程是（I）求函數(shù)的解析式；（II）設(shè)函數(shù)，若的極值存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍以及函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值【參考答案】1答