高考數(shù)學計算試題分類匯編-函數(shù)

1、1 / 36第 1 頁 共 36 頁2010 年高考數(shù)學試題分類匯編年高考數(shù)學試題分類匯編函數(shù)函數(shù)（2010 上海文數(shù)）上海文數(shù)）22.22.（本題滿分（本題滿分 1616 分）本題共有分）本題共有 3 3 個小題，第個小題，第 1 1 小題滿分小題滿分 3 3 分，第分，第 2 2 小小題滿分題滿分 5 5 分，第分，第 3 3 小題滿分小題滿分 8 8 分。分。若實數(shù)x、y、m滿足xmym，則稱x比y接近m.（1）若21x 比 3 接近 0，求x的取值范圍；（2）對任意兩個不相等的正數(shù)a、b，證明：22a bab比33ab接近2ab ab；（3）已知函數(shù)( )f x的定義域,D x xkk

2、Z xR.任取xD，( )f x等于1 sin x和1 sin x中接近 0 的那個值.寫出函數(shù)( )f x的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調(diào)性（結論不要求證明）.解析：(1) x(2,2)；(2) 對任意兩個不相等的正數(shù) a、b，有222a babab ab，332abab ab，因為22332|2|2|()()0a babab ababab abab ab ，所以2233|2| |2|a babab ababab ab，即 a2bab2比 a3b3接近2ab ab；(3) 1sin ,(2,2)( )1 |sin|,1sin ,(2,2)xxkkf xx xkxxkk ,

3、kZ，f(x)是偶函數(shù)，f(x)是周期函數(shù)，最小正周期 T，函數(shù) f(x)的最小值為 0，函數(shù) f(x)在區(qū)間,)2kk單調(diào)遞增，在區(qū)間(,2kk單調(diào)遞減，kZ（2010 湖南文數(shù)）湖南文數(shù)）21 （本小題滿分 13 分）已知函數(shù)( )(1)ln15 ,af xxaxax其中 a0,且 a-1.（）討論函數(shù)( )f x的單調(diào)性；（）設函數(shù)332( 23646 ),1( ),1( )xxaxaxaa exe fx xg x（e 是自然數(shù)的底數(shù)） 。是否存在 a，使( )g x在a,-a上為減函數(shù)？若存在，求 a 的取值范圍；若不存在，請說明理由。2 / 36第 2 頁 共 36 頁3 / 36第

4、 3 頁 共 36 頁（2010 浙江理數(shù)）浙江理數(shù)） (22)(本題滿分 14 分)已知a是給定的實常數(shù)，設函數(shù)22( )() ()f xxaxb e，bR，xa是( )f x的一個極大值點 ()求b的取值范圍；()設123,x x x是( )f x的 3 個極值點，問是否存在實數(shù)b，可找到4xR，使得1234,x x x x的某種排列1234,iiiixxxx(其中1234, , ,i i i i=1,2,3,4)依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的b及相應的4x；若不存在，說明理由解析：本題主要考查函數(shù)極值的概念、導數(shù)運算法則、導數(shù)應用及等差數(shù)列等基礎知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜

5、合解題能力和創(chuàng)新意識。（）解：f(x)=ex(x-a) 2(3)2,xab xbaba令222( )(3)2,=(3-a+b)4(2)(1)80,g xxab xbabababaab則于是，假設1212,( )0.x xg xxx是的兩個實根，且（1）當 x1=a 或 x2=a 時，則 x=a 不是 f(x)的極值點，此時不合題意。（2）當 x1a 且 x2a 時，由于 x=a 是 f(x)的極大值點，故 x1a0),由已知得 x=alnx，12 x=ax， 解德 a=2e,x=e2,兩條曲線交點的坐標為（e2,e） 切線的斜率為 k=f(e2)= 12e,切線的方程為 y-e=12e(x-

6、e2). （2）由條件知7 / 36第 7 頁 共 36 頁 當 a.0 時，令h (x)=0,解得 x=24a,所以當 0 x 24a時 h (x)24a時，h (x)0，h(x)在（0，24a）上遞增。所以x24a是h(x)在（0， + ）上的唯一極致點，且是極小值點，從而也是h(x)的最小值點。所以 （a）=h(24a)= 2a-aln24a=2當 a 0 時，h(x)=(1/2-2a) /2x0,h(x)在（0，+）遞增，無最小值。故 h(x) 的最小值 （a）的解析式為 2a(1-ln2a) (ao)（3）由（2）知 （a）=2a(1-ln2a) 則 1（a ）=-2ln2a，令 1

7、（a ）=0 解得 a =1/2當 0a0，所以 （a ） 在(0,1/2) 上遞增當 a1/2 時， 1（a ）0，為單調(diào)遞增區(qū)間。最大值在右端點取到。max1(1)2ffa。（2010 安徽文數(shù)）安徽文數(shù)）20.（本小題滿分 12 分）設函數(shù) sincos1f xxxx，02x，求函數(shù) f x的單調(diào)區(qū)間與極值?！久}意圖】本題考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法，考查綜合應用數(shù)學知識解決問題的能力.【解題指導】 （1）對函數(shù) sincos1f xxxx求導，對導函數(shù)用輔助角公式變形，利用導數(shù)等于 0 得極值點，通過列表的方法考查極值點的兩側導數(shù)的正負，判斷區(qū)間的單調(diào)性，求極

8、值.,( )12().423( )0()422( )xxxxxxxx 解：由f (x)=si nx-cosx+x+1, 0 x2 , 知fsi n令f，從面si n，得，或，當變化時，f，f (x)變化情況如下表：3223332222因此，由上表知f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，）與（，），單調(diào)遞增區(qū)間是（，），極小值為f ()=，極大值為f ()=【思維總結】對于函數(shù)解答題，一般情況下都是利用導數(shù)來研究單調(diào)性或極值，利用導數(shù)為 0 得可能的極值點，通過列表得每個區(qū)間導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而得出極值點.11 / 36第 11 頁 共 36 頁（2010 重慶文數(shù)）(19) (本小題滿分

9、 12 分), ()小問 5 分，()小問 7 分.)已知函數(shù)32( )f xaxxbx(其中常數(shù) a,bR),( )( )( )g xf xfx是奇函數(shù).()求( )f x的表達式;()討論( )g x的單調(diào)性，并求( )g x在區(qū)間1,2上的最大值和最小值.（2010 浙江文數(shù)）浙江文數(shù)） （21） （本題滿分 15 分）已知函數(shù)2( )()f xxa（a-b）( ,a bR a0. （）若 a=1，求曲線 y=f（x）在點（2，f（2） ）處的切線方程；（）若在區(qū)間1 1,2 2上，f（x）0 恒成立，求 a 的取值范圍.【解析】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極

10、值、解不等式等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.滿分 12 分.19 / 36第 19 頁 共 36 頁（）解：當 a=1 時，f（x）=323xx12，f（2）=3；f(x)=233xx, f(2)=6.所以曲線 y=f（x）在點（2，f（2） ）處的切線方程為 y-3=6（x-2） ，即 y=6x-9.（）解：f(x)=2333 (1)axxx ax.令 f(x)=0，解得 x=0 或 x=1a.以下分兩種情況討論：（1）若110a2a2，則，當 x 變化時，f(x)，f（x）的變化情況如下表：X102，0120，f(x)+0-f(x)極大值 當1 1xfx2 2 ，時，（）0等

11、價于5a10,()0,8215a( )0,0.28ff即 解不等式組得-5a2，則110a2.當 x 變化時，f(x),f（x）的變化情況如下表：X102，01a0，1a1 1a 2，f(x)+0-0+f(x)極大值極小值當1 1x2 2 ，時，f（x）0 等價于1f(-)21f()0,a0,即25811-0.2aa0,解不等式組得252a或22a .因此 2a5. 綜合（1）和（2） ，可知 a 的取值范圍為 0a1 時，2x-20,從而2x-2e10,0,Fxe 又所以(x)0,從而函數(shù) F（x）在1,+)是增函數(shù)。又 F(1)=-1-1ee0 ，所以x1時，有F(x)F(1)=0,即 f

12、(x)g(x).)證明：（1）若121212(1)(1)0,),1.xxxxxx12由（）及f (xf (x則與矛盾。（2）若121212(1)(1)0,),.xxxxxx12由（）及f (xf (x得與矛盾。根據(jù)（1） （2）得1212(1)(1)0,1,1.xxxx不妨設由（）可知，)2f (x)2g(x,則)2g(x=)2f (2-x，所以)2f (x)2f (2-x,從而21 / 36第 21 頁 共 36 頁)1f (x)2f (2-x.因為21x ，所以221x，又由（）可知函數(shù) f(x)在區(qū)間（-，1）內(nèi)事增函數(shù)，所以1x22x,即12xx2.（20102010 福建文數(shù)）福建文

13、數(shù)）22 （本小題滿分 14 分） 已知函數(shù) f（x）=3213xxaxb的圖像在點 P（0,f(0)）處的切線方程為 y=3x-2()求實數(shù) a,b 的值；()設 g（x）=f(x)+1mx是2,上的增函數(shù)。 （i）求實數(shù) m 的最大值； (ii)當 m 取最大值時，是否存在點 Q，使得過點 Q 的直線若能與曲線 y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點 Q 的坐標；若不存在，說明理由。22 / 36第 22 頁 共 36 頁（20102010 福建文數(shù)）福建文數(shù)）21(本小題滿分 12 分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)

14、時，輪船位于港口O北偏西 30且與該港口相距 20 海里的A處，并正以 30 海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛。假設該小艇沿直線方向以海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇。()若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？()為保證小艇在 30 分鐘內(nèi)(含 30 分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；()是否存在，使得小艇以海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與23 / 36第 23 頁 共 36 頁輪船相遇？若存在，試確定的取值范圍；若不存在，請說明理由。24 / 36第 24 頁 共 36 頁（20102010 全國卷全國卷 1

15、1 理數(shù)）理數(shù)）(20)(本小題滿分 12 分) 已知函數(shù)( )(1)ln1f xxxx.（）若2( )1xfxxax，求a的取值范圍；（）證明：(1) ( )0 xf x .（2010 四川文數(shù)）四川文數(shù)） （22） （本小題滿分 14 分）25 / 36第 25 頁 共 36 頁設11xxaf( x)a（0a 且1a ） ，g(x)是 f(x)的反函數(shù).（）求( )g x；（）當2,6x時，恒有2( )log(1)(7)atg xxx成立，求 t 的取值范圍；（）當 0a 時，試比較 f(1)+f(2)+f(n)與4n的大小，并說明理由.1226 / 36第 26 頁 共 36 頁（201

16、0 湖北文數(shù)）湖北文數(shù)）21.（本小題滿分 14 分）設函數(shù)321axxbxc32f（x）=，其中 a0，曲線xyf （）在點P（0，0f （）處的切線方程為 y=1（）確定 b、c 的值（）設曲線xyf （）在點（11xxf，（）及（22xxf，（）處的切線都過點（0,2）證明：當12xx時，12()()fxfx（）若過點（0,2）可作曲線xyf （）的三條不同切線，求 a 的取值范圍。（2010 湖北文數(shù)）湖北文數(shù)）19.（本小題滿分 12 分）已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為 a（單位：m2） ，其中有部分舊住房需要拆除。當?shù)赜嘘P部門決定每年以當年年初住房面積的 10%建設新住房，

17、同事也拆除面積為27 / 36第 27 頁 共 36 頁b（單位：m2）的舊住房。（）分別寫出第一年末和第二年末的實際住房面積的表達式：（）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了 30%，則每年拆除的舊住房面積 b 是多少？（計算時取 1.15=1.6）（20102010 山東理數(shù)）山東理數(shù)）(22)(本小題滿分 14 分)已知函數(shù)1( )ln1af xxaxx()aR.()當12a 時，討論( )f x的單調(diào)性；（）設2( )24.g xxbx當14a 時，若對任意1(0,2)x ，存在21,2x ，使12()()f xg x，求實數(shù)b取值范圍.28 / 36第 28 頁

18、共 36 頁（）當14a 時，f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意1(0,2)x ，有11f(x )f(1)=-2，又已知存在21,2x ，使12()()f xg x，所以21()2g x，21,2x ，即存在1,2x，使21( )242g xxbx ，即2922bxx，即922bxx11 17,24，所以1122b ，解得114b ，即實數(shù)b取值范圍是11,)4?！久}意圖】本題將導數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結合在一起，考查了利用導數(shù)研29 / 36第 29 頁 共 36 頁究函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學們分類討論的數(shù)

19、學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力。（1）直接利用函數(shù)與導數(shù)的關系討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導數(shù)求出( )f x的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出( )g x在閉區(qū)間1,2上的最大值，然后解不等式求參數(shù)。（2010 湖南理數(shù)）湖南理數(shù)）20.（本小題滿分 13 分）已知函數(shù)2( )( ,),f xxbxc b cR對任意的xR，恒有( )fx( )f x。（）證明：當0 x 時，2( )()f xxc；（）若對滿足題設條件的任意 b，c，不等式22( )( )()f cf bM cb恒成立，求M 的最小值。解析：解析：30 / 36第 30

20、頁 共 36 頁（2010 湖北理數(shù)）17 （本小題滿分 12 分） 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為 6 萬元。該建筑物每年的能源消耗費用 C（單位：萬元）與隔熱層厚度 x（單位：cm）滿足關系：C（x）=(010),35kxx若不建隔熱層，每年能源消耗費用為 8 萬元。設 f（x）為隔熱層建造費用與 20 年的能源消耗費用之和。（）求 k 的值及 f(x)的表達式。（）隔熱層修建多厚時，總費用 f(x)達到最小，并求最小值。31 / 36第 31 頁 共 36 頁（20102010

21、福建理數(shù)）福建理數(shù)）20 （本小題滿分 14 分）（）已知函數(shù)3(x)=x -xf，其圖象記為曲線C。（i）求函數(shù)(x)f的單調(diào)區(qū)間；（ii）證明：若對于任意非零實數(shù)1x，曲線 C 與其在點111P (x ,f(x )處的切線交于另一點222P (x ,f(x )，曲線 C 與其在點222P (x ,f(x )處的切線交于另一點333P (x ,f(x )，線段11223122PP ,P P,S ,SCS與曲線所圍成封閉圖形的面積分別記為S則為定值；（）對于一般的三次函數(shù)32g(x)=ax +bx +cx+d(a0),請給出類似于（） （ii）的正確命題，并予以證明?！久}意圖】本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、定積分等基礎知識，考查抽象概括能力、運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想?！窘馕觥?（） （i）由3(x)=x -xf得2(x)=3x -1f=333(x-)(x+)33，當3x(- ,-)3 和33（，）時，(x)0f；當3x(-,33)3時，(x)0，使得) 1)()( 2axxxhxf，則稱函數(shù))(xf具有性質(zhì))(aP。(1)設函數(shù))(xf2ln(1)1bxxx，其中b為實數(shù)。