內(nèi)切球外接球

1、內(nèi)切球，外接球球內(nèi)接長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑。正四面體（棱長(zhǎng)為a）的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r3：1。外接球半徑：。內(nèi)切球半徑：結(jié)論：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個(gè)球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑正四面體的外接球問題：已知正四面體，H為底面的中心，O為外接球的球心，設(shè)棱長(zhǎng)為a，外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，試求R.方法一：易知R+r=AH=，由等積法得：（ 可求外接球半徑和內(nèi)切球半徑）所以： 故, 所以 .方法二：如圖所，即,又由R+r=AH=可得.方法三： 如圖設(shè)延長(zhǎng)AH交球面上一點(diǎn)K,

2、則AK=2R,在直角三角形ABK中由射影定理得 即 故得.方法四：如圖正四面體可補(bǔ)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方體，顯然正方體的外接球即為正四面體的外接球，而故可得.四面體的內(nèi)切球問題：關(guān)鍵是抓住球心到四面體的每個(gè)面的距離等于球的半徑來找等量關(guān)系【例6】求棱長(zhǎng)為a的正四面體內(nèi)切球的體積練習(xí)1.（球內(nèi)接正四面體問題）（2003年江蘇卷第12題）一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ ）方法一：將這個(gè)正四面體放入一個(gè)正方體中，再將這個(gè)正方體放入球中與球相外接。因?yàn)檎襟w的對(duì)角線就是球的直徑，而正四面體的棱就是正方體的側(cè)面對(duì)角線。所以，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則有a=，a=1，故選A。此

3、題是典型的考查轉(zhuǎn)化、化歸思想。 方法二：畫圖3.（球內(nèi)接正四面體問題） 如果三棱錐的每條側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)都是a，那么這個(gè)三棱錐的外接球的體積是（ A ）（A） （B） （C） （D）4.（球內(nèi)接正方體問題）（06年福建卷）已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，且球的體積為，則正方體的棱長(zhǎng)為。5.（球內(nèi)接棱柱問題） 若一個(gè)底面邊長(zhǎng)為，棱長(zhǎng)為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)平面上，則此球的體積為6. （球內(nèi)接長(zhǎng)方體問題）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1，2，3，則此球的表面積為。7. （正三棱柱內(nèi)切球、外接球問題）一個(gè)正三棱柱恰好有一個(gè)內(nèi)切球(球與三棱柱的兩個(gè)底面和三個(gè)側(cè)面都相切)和一個(gè)外接球(球經(jīng)過三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)),則此內(nèi)切球與外接球表面積之比為 15 。8.（球內(nèi)接正三棱錐問題）在正三棱錐SABC中，側(cè)棱SC上側(cè)面SAB，側(cè)棱SC=2 ，則此正三棱錐的外接球的表面積為（方法：補(bǔ)成長(zhǎng)方體）9.（球內(nèi)接正四棱錐問題）半徑為的球內(nèi)接一個(gè)各棱長(zhǎng)都相等的四棱錐求該四棱錐的體積10.（正三棱錐球內(nèi)切問題） 正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切求球的表面積與體積說明：球與正三棱錐四個(gè)面相切，實(shí)際上，球是正三棱錐的內(nèi)切球，球