定積分在幾何上的應(yīng)用體積、弧長

1、1. 平行截面面積為已知的立體體積平行截面面積為已知的立體體積二、立體的體積二、立體的體積2. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積xA(x)xab1. 平行截面面積為已知的立體體積平行截面面積為已知的立體體積( )dVA x dx ( ).baVA x dx 為積分變量，為積分變量，取取x , ,a bx x dx 在在上上任任取取一一小小區(qū)區(qū)間間 ，相相應(yīng)應(yīng)的的小小片片立立體體的的體體積積微微元元x+dx( )A x已已知知平平行行截截面面面面積積為為的的立立體體，求求其其體體積積. .oRxyx解解取坐標系如圖，取坐標系如圖，222Ryx ,RRx 任取任取例例1底圓方程為底圓方程為體積體積截面面積

2、截面面積2211( )tan()tan22A xy yRx，dxxRRR tan)(2122 .tan323 R ( )RRVA x dx oRxy思考思考: : 可否選擇可否選擇 y y 作積分變量作積分變量 ? ?此時截面面積是什么此時截面面積是什么 ? ?如何用定積分表示體積如何用定積分表示體積 ? ?),(yx( ) A y 提示提示: :2|tan xy 222tan y Ry V 02tan R 22y Ry dy .tan323 R 解解取坐標系如圖取坐標系如圖底圓方程為底圓方程為，222Ryx xyoRx垂直于垂直于x軸的截面為等腰三角形軸的截面為等腰三角形截面面積截面面積22

3、( )|A xhyh Rx 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR h 一平面圖形繞該平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周一平面圖形繞該平面內(nèi)一條定直線旋轉(zhuǎn)一周圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺2. 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積而成的立體稱為而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體定直線稱為定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸,bax dxxfdV2)( xdxx xyo則旋轉(zhuǎn)體的體積為則旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy 體體積積為為體體積積元元素素，即即為為高高的的扁扁圓圓柱柱體體的的為為底底半半徑徑、取取以以dxxf)(dxxfVba2)( 注意：注意：該積分公式的適用條件該積分公式的適用條件;1軸軸是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸

4、、 x;)(2軸軸上上在在邊邊軸軸所所圍圍成成，即即圖圖形形的的一一及及、由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線、旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)平平面面圖圖形形是是一一個個xxbxaxxfy ，任取任取,bax 體積為體積為2221( )( ).baVfxfx dx 軸，軸，作平面垂直于作平面垂直于過點過點xx截截旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的截截面面為為環(huán)環(huán)面面，其其面面積積為為2221( )( )( )A xfxfx 1212( )( )( )( )yf xyfxf xfxxaxb abx 一一般般地地，由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線，（0 0），以以及及直直線線，( (所所圍圍圖圖形形繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所成成立立體體的的體體積積為為yr解解h

5、Pxhry xo直線直線 方程為方程為OPdxxhrVh20 23203hrxh 2.13r h 例例3 的直線，直線的直線，直線及點及點連接坐標原點連接坐標原點),(rhPO軸軸，將它繞，將它繞軸圍成一個直角三角形軸圍成一個直角三角形及及xxhx 的圓錐體，的圓錐體，高為，高為旋轉(zhuǎn)得到一個底半徑為旋轉(zhuǎn)得到一個底半徑為hr計計算算圓圓錐錐體體的的體體積積xayxb例例4. 計算由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標方程直角坐標方程)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對稱性利用對稱性)3222312xxa

6、ab0a234aboaV02xy d2x方法方法2 利用橢圓利用橢圓參數(shù)方程參數(shù)方程tbytaxsincos則xyVad20223202sinabtdt22 ab32234ab1 特別當b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積.343a解解22(2)1.xyx 求 求由由所所的的形形旋旋 一 一周周而而成成的的體體的的體體圓圍圖繞軸轉(zhuǎn)環(huán)積例例 5221,yx上上半半的的方方程程圓為221,yx下下半半的的方方程程圓為11, xx 取取 為為積積分分變變量量，則則，11211( )81VA x dxx dxx處處的的截截面面為為圓圓環(huán)環(huán)面面，面面積積為為22222( ) 212181A xx

7、xx （） （）所所求求的的體體積積為為24 )(yx cddyxVdc 2 .)(2dyydc 其體積為其體積為xyo2( )A yx 2( )y ， y 處的截面面積處的截面面積dyyVdc2)( 注意：注意：該積分公式的適用條件該積分公式的適用條件;1軸軸、旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸為為 y;)(2軸軸上上邊邊在在軸軸所所圍圍成成，即即圖圖形形的的一一及及、由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線、旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)平平面面圖圖形形是是一一個個yydycyyx 24640yxxy 求求例例曲曲線線及及、所所圍圍圖圖形形.yyV繞繞軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積解解 440(16)16yyVdy 540164|80y.

8、5256 0 4 , yy 取取 為為積積分分變變量量，則則，y處處的的截截面面為為圓圓環(huán)環(huán)面面，面面積積為為4( )(16)16yA y 例例7. 計算由擺線計算由擺線 一拱一拱 與與x軸軸 所圍的圖形繞所圍的圖形繞 y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.(sin )(1cos )xa ttyat (02 )t 解解 222120()()yayyxxVdy 22212200()()aay dyyxxdy 323220(sin ) sin(sin ) sintttdttttdtaa 3220(sin ) sintttdta 336a oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 0

9、2 ,yya 取取 為為積積分分變變量量，則則，y處處的的截截面面為為圓圓環(huán)環(huán)面面，面面積積為為2221( )( )( )A yxyxy dxxdxxxVy 402340422 5256 繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成，求求其其體體積積. (柱殼法柱殼法)dxxfxdV)( 2 體體積積元元素素2( )baVxf x dx 2yx 4x 利用這個公式，可知上利用這個公式，可知上 例例6 中中sin0 0 yxxxy求求、及及所所圍圍圖圖形形1.y 繞繞直直線線旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積解解 22210()Vyydx 02)sin2(sindxxx.422 222100()(s

10、in1)Vyydxxdx 常見錯誤常見錯誤20(sin1)1xdx 截面是環(huán)面截面是環(huán)面例例 8 8旋轉(zhuǎn)軸不是坐標軸的情形旋轉(zhuǎn)軸不是坐標軸的情形:已知平行截面面面積已知的立體體積( )baVA x dx 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積2( ) A xy 繞繞 x 軸軸 :2dVxydx 繞繞 y 軸軸 :(柱殼法柱殼法)2( )A yx 2( )byaVxf x dx 2dycVx dy 2bxaVy dx 小結(jié)：小結(jié)：三、三、平面曲線的弧長平面曲線的弧長 1. 平面曲線的弧長的概念平面曲線的弧長的概念 直角坐標情形直角坐標情形 極坐標情形極坐標情形 參數(shù)方程情形參數(shù)方程情形 2. 平面曲線的弧長的

11、計算公式平面曲線的弧長的計算公式xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個個端端點點，在在弧弧上上插插入入分分點點BMMMMMAnni ,110并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，當分點的數(shù)目并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，當分點的數(shù)目無限增加且每個小弧段都縮向一點時，無限增加且每個小弧段都縮向一點時， 1. 平面曲線的弧長的概念平面曲線的弧長的概念定理定理: : 任意任意光滑光滑曲線弧都是可求長的曲線弧都是可求長的.xoyabxdxx 以以對對應(yīng)應(yīng)小小切切線線段段的的長長代代替替小小弧弧段段的的長長 dy小小切切線線段段的的長長22()()dsdxdy弧長微元

12、弧長微元21dsy dx 弧長弧長.12dxysba 2. 平面曲線的弧長計算公式平面曲線的弧長計算公式 (1) 曲線方程為直角坐標表示曲線方程為直角坐標表示21dsxy dy （ ）21( ).dcsxy dy dx注注： 上限大于下限上限大于下限曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長弧長22( )( ) ()stt dt 2.2.曲線方程為參數(shù)表示曲線方程為參數(shù)表示曲線弧為曲線弧為)( ( ) ( )cos( )sinxy )( 22)()(dy

13、dxds 22( )( ),d 弧長弧長22( )( ).sd 3.3.曲線方程為極坐標表示曲線方程為極坐標表示xo( ) 注意：注意： ()dsd ds解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長為所求弧長為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例2. 2. 解解33cos,sin(0)xat yat a 計計算算星星形形線線的的全全長長. .由由對對稱稱性性，星星形形線線的的全全長長為為其其在在第第一一象象限限弧弧長長的的4 4倍倍. .22( )3 cossin ,( )3 sincos ,x tatty tatt 22( )( ) 3 sin cos,d

14、sxtyt dtattdt 弧弧長長元元素素故故星星形形線線的的全全長長為為2222004( )( )12sin cos6sxtyt dtattdta0,2tt 選選 為為積積分分變變量量，例例3. 計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧長 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin220 2cos22ta02a8xyoa2d222aa例例4. 求阿基米德螺線相應(yīng)于 02一段的弧長 . 解解:)0( aa xa2o a d)()(22 sdd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aatan ) t( (令令例例5. 求連續(xù)曲線段ttyxdcos2解解:,0cos t22 txysd1222的弧長.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x422 x解解nnxny1sin ,sinnx dxysn 021dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn