哈工大概率論小論文

1、 概率論課程小論文計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院信息安全專業(yè)一班(1303201)姓名：宮慶紅學(xué)號：1130320103概率論中用到的幾種數(shù)學(xué)思想 作為數(shù)學(xué)中的一個重要分支，概率論同時用到了其他幾種數(shù)學(xué)思想。本文著重從數(shù)學(xué)歸納法、集合論和微積分等幾個方面進行簡單的討論。一概率論中的數(shù)學(xué)歸納法思想在概率問題中常會遇到一些與試驗次數(shù)無關(guān)的重要結(jié)論, 這些結(jié)論在使用數(shù)學(xué)歸納法來證明時, 常常需要配合使用全概率公式, 從而使概率論中的數(shù)學(xué)歸納法具有自己的特色。例l 設(shè)有冷個罐子, 在每一個罐子中各有m 個白球與k 個黑球, 從第一個罐子中任取一球放入第二個罐子中, 并依次類推。求從最后一個罐子中取出一個白球的概

2、率。分析: 先探索規(guī)律, 設(shè)n =2令 H1=“ 從第一個罐子中取出一個球, 是白球” H2=“ 從第二個罐子中取出一個球, 是白球”顯然P(H1)=,所求之概率P(HL)=P(H1)P(H2|H1)+P(H1)P(H2|H1) =這恰與n=1時的結(jié)論是一樣的，于是可以預(yù)見，不管n為什么自然數(shù)，所求的概率都應(yīng)是。上述預(yù)測的正確性是很容易用大家所熟知的數(shù)學(xué)歸納法來證明的。事實上，另Hi=“從i個罐子中去除一個球，是白球”(i=1,2,n)設(shè)當(dāng)n=t時，結(jié)論成立，即P(Ht)=則當(dāng)n=t+1時，有P(Ht+1)=P(Ht)P(Ht+1|Ht)+P(Ht)P(Ht+1|Ht) =于是，結(jié)論P(Hn)

3、=對任意自然數(shù)n都是成立的。不難看出，在這里數(shù)學(xué)歸納法之所以能順利進行，那是由于在知道從第t個罐中取出的球的顏色（比如是白球）之后，第t+1罐的新總體成分就完全清楚了。（相當(dāng)于從第t罐取出的是白球，這時新的第t+1罐中就有m+1個白球，k個黑球）所以相應(yīng)的條件概率P(Ht+1|Ht)=(或P(Ht|Ht)=)也就隨之而得了。2 概率論中的微積分思想在我們現(xiàn)階段所學(xué)習(xí)的概率論課程中，微積分是重要的基礎(chǔ)。如何正確、巧妙地運用微積分方法和技巧是值得重視的問題?，F(xiàn)在，簡單歸納一些問題來說明微積分方法在概率論中有著廣泛的應(yīng)用。冪級數(shù)方法例1 設(shè)隨機變量服從參數(shù)為（r,p）的負二項分布，（r1,0<

4、p<1）,即 P=m=,m=r,r+1,q=1-p,求E().解 這道題的解題過程中要用到公式 。這個公式是有連續(xù)逐項求導(dǎo)r次后得到的。事實上 .3 概率論中的集合論思想集合論是在十九世紀(jì)末由德國數(shù)學(xué)家康托創(chuàng)立的, 以后逐步發(fā)展形成一門獨立學(xué)科, 現(xiàn)已滲透到數(shù)學(xué)的各個分支。早在上世紀(jì)30 年代初, 馮#米澤斯就開始用集合論觀點研究事件。以下主要探討集合論觀點在概率論中的應(yīng)用。概率論中有關(guān)事件與概率部分內(nèi)容, 概念、公式繁多, 難以理解,以下結(jié)合集合論知識可直觀地理解概率論中基本知識。1 集合及運算1.1集合及事件。集合是一個原始概念, 康托曾這樣描述過它: 集合就是由某些確定的能夠區(qū)分的

5、對象( 具體的或抽象的事物) 匯集而成的一個整體。組成集合的每一個對象( 事物) 稱為該集合的元素。如果集合A 中的所有元素都是集合B 的元素, 稱A 為B 的子集。概率論中引進集合論, 用集合來研究事件, 使得概率論的研究更加嚴(yán)格化。將隨機試驗的所有可能結(jié)果組成的集合稱為該試驗的樣本空間, 用表示。樣本空間的每一個元素即試驗的每一個可能的結(jié)果, 稱為基本事件或樣本點, 用w 表示。而隨機事件由若干個基本事件組成, 可看作樣本空間的一個子集, 用A 、B 、C 表示。在一次試驗中出現(xiàn)的樣本點wA 事件A 發(fā)生, 反之, 若wA事件A 不發(fā)生。是自身的子集, 每次試驗中必然發(fā)生, 稱必然事件。空

6、集也是樣本空間的子集, 在每次試驗中不可能發(fā)生, 稱不可能事件。1.2集合的關(guān)系及運算。集合的關(guān)系和運算有: 包含、相等、并、交、差、補、對稱差。而用集合論觀點定義的事件也有相應(yīng)的關(guān)系及運算: 包含、相等、和、交、互不相容、差、對立、對稱差。集合論中, 通常用文氏圖來表示集合間的關(guān)系及運算, 全集U 用一個矩形表示, 矩形中的點表示元素, 每個子集用該矩形內(nèi)的閉區(qū)域( 常用圓形區(qū)域) 表示。類似地, 當(dāng)事件間的關(guān)系及運算借助于文氏圖來表示時, 就比較直觀,易于理解、掌握。1.3 運算律。集合的運算律對事件同樣適用, 運算律包括否定律、冪等律、交換律、結(jié)合律、分配律和對偶原則。以上性質(zhì)關(guān)于和與交

7、的等式有一特點, 等式都是配對出現(xiàn)的, 把其中一個等式中的運算和換成交,交換成和, 那么便得到另一等式, 這種性質(zhì)稱為對偶性質(zhì), 和與交是一對對偶運算。而關(guān)于差, 對稱差就沒有這種對偶性質(zhì), 如分配律, 有C ( A - B ) = CA - CB 成立, 即交對差的分配律成立, 而和對差的分配律不成交。有A(BC) = ( AB)( AC ) 成立, 交關(guān)于對稱差的分配律成立, 而和關(guān)于對稱差的分配律不成立。了解有關(guān)性質(zhì)的這一特點, 就易于分類歸納理解記憶。2.1 有限集及計數(shù)在古典概型中的應(yīng)用集合論中, 有一類特殊集合有限集, 通俗而言, 即所含元素個數(shù)可數(shù)的集合。這一類集合的大小, 即所

8、含元素的個數(shù)稱為集合A 的計數(shù), 記為# ( A ) , 特殊地, # () = 0。有限集的計數(shù)有如下性質(zhì):設(shè)A 、B 為有限集, 則 (1) 若AB =, 有# ( AB ) = # ( A ) + # ( B) (2) 若AB , 有# ( A - B ) = # ( A ) - # ( B ) (3) 當(dāng)A 、B 為任意有限集時, 有# ( AB ) = # ( A ) + # (B ) - # ( AB ) (4) A 為有限集, 且# ( A ) + # (A) = # (U)在概率論中, 有一類特殊試驗古典概型, 即有限等可能概型, 試驗的樣本空間所含樣本點可數(shù), 那么為有限集。

9、事件A<, 則A 也為有限集。而古典概率P ( A )=, n、m 分別為、A 所含樣本點的個數(shù), 即n = # () , m = # ( A ) , 則有P( A )=, 將事件的概率用計數(shù)來表示。將有限集計數(shù)的性質(zhì)(1) 中式子兩邊同除以# () , 得，即P(AB)=P(A)+P(B)。即，當(dāng)AB=時，有P(AB)=P(A)+P(B),即古典概率的有限可加性。同理, 將性質(zhì)(2) (3) (4) 中式子兩邊同除以# () , 可得:減法公式: AB 時, 有P( A - B) = P( A ) - P ( B )一般加法公式: P ( AB ) = P( A ) + P ( B )

10、 - P( AB )對立事件概率公式: P ( A ) = 1 - P ( A )可見, 古典概率的有關(guān)公式可由集合論知識推得。4 概率論中的函數(shù)思想函數(shù)思想的實質(zhì)是拋開所研究對象的非數(shù)學(xué)特征, 用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象, 抽象其數(shù)學(xué)特征, 建立各變量之間固有的函數(shù)關(guān)系, 通過函數(shù)形式, 利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì), 使問題得到解決。方程的思想是將所求的量(或與所求的量相關(guān)的量)設(shè)成未知數(shù), 它表示問題中的其他各量, 根據(jù)題中隱含的等量關(guān)系, 列出方程, 通過解方程或?qū)Ψ匠踢M行研究, 以求得問題的解決。函數(shù)思想與方程思想常常是相輔相成的, 函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性,

11、都是應(yīng)用函數(shù)與方程思想時需要重點考慮的。例 甲、乙兩人獨立解出某一道數(shù)學(xué)題的概率相同。已知該題被甲或乙解出的概率為0.36, 求甲獨立解出該題的概率。解:設(shè)甲獨立解出該題的概率為x, 則該題被甲或乙解出有三種情形, 得概率方程為: x(1-x)+x(1-x)x+x2=0.36。由上式方程可解出x=0.2或x=1.8(舍去), 所以由甲獨立解出該題的概率為0.2。5 概率論中的建模思想關(guān)于原型進行具體構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的過程稱為數(shù)學(xué)建模(所謂數(shù)學(xué)模型, 指的是對現(xiàn)實原型為了某種目的而作抽象、簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu), 它是使用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子及數(shù)量關(guān)系對原型作一種簡化而本質(zhì)的刻畫, 比如方程、函數(shù)等概念都是從客觀事物的某種數(shù)量關(guān)系或空間形式中抽象出來的數(shù)學(xué)模型)。數(shù)學(xué)建模思想的實質(zhì)是將實際問題數(shù)學(xué)化,進而用數(shù)學(xué)的方法解決實際問題。概率論與數(shù)理統(tǒng)計研究的問題涉及自然界中的現(xiàn)象、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、醫(yī)療衛(wèi)生、生物學(xué)、物理學(xué)等諸多領(lǐng)域。例 某人有把鑰匙, 其中有把能打開房門, 黑暗中逐把試開, 問他在第次打開門的概率是多少?解:建立如下概率模型來處理:袋中有黑白球共只, 其中有只白球, 現(xiàn)將球一只一只隨機地摸出來(不放回), 求第(1)次摸到白球的概率。第次摸到白球, 說明前面-1次摸到的全是黑球。此時袋中共有-(-