任意角的概念與弧度制

1、任意角的概念與弧度制1、角的概念的推廣：角可以看作平面內(nèi)一條射線繞端點(diǎn)從一個(gè)位置(始邊)旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置(終邊)形成的圖形.規(guī)定按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做正角；按照順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫做負(fù)角：射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)稱零角.任意角的概念與弧度制1.角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角.零角:如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn),我們稱它形成了一個(gè)零角.要點(diǎn)詮釋：角的概念是通過角的終邊的運(yùn)動(dòng)來(lái)推廣的，既有旋轉(zhuǎn)方向，又有旋轉(zhuǎn)大小，同時(shí)沒有旋轉(zhuǎn)也是一個(gè)角，從而得到正角、負(fù)角和零角的定義.2.終邊相同的角、象限角終

2、邊相同的角為角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合.那么，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角.要點(diǎn)詮釋：(1)終邊相同的前提是：原點(diǎn)，始邊均相同；(2)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(3)終邊相同的角有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們相差的整數(shù)倍. 3、終邊相同的角與象限角：與角終邊相同的角構(gòu)成一個(gè)集合，；頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸正半軸重合，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫做第幾象限的角知識(shí)點(diǎn)二：弧度制弧度制(1)長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度角，記作1，或1弧度，或1(單位可以省略不寫).(2)弧度與角度互換公式： 1rad=57.30

3、6;=57°18，1°=0.01745(rad)(3)弧長(zhǎng)公式：(是圓心角的弧度數(shù))， 扇形面積公式：.要點(diǎn)詮釋：(1)角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如等等，一般地, 正角的弧度數(shù)是 一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來(lái)決定.(2)角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是：，其中，是圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)，是半徑.3、弧度制的概念及換算：規(guī)定長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.弧度記作rad.注意在用弧度制時(shí)，“弧度”或“rad”可以略去不寫.在半徑為的圓中，弧長(zhǎng)為的弧所對(duì)圓心角為，則所以，rad， (rad)，1(rad).

4、4、弧度制下弧長(zhǎng)公式：；弧度制下扇形面積公式.類型一：象限角1已知角；(1)在區(qū)間內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角；(2)集合，,那么兩集合的關(guān)系是什么？解析：(1)所有與角有相同終邊的角可表示為：， 則令 ， 得 解得 ，從而或 代回或.(2)因?yàn)楸硎镜氖墙K邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合; 而集合表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集 合，從而：.總結(jié)升華：(1)從終邊相同的角的表示入手分析問題，先表示出所有與角有相同終邊的角，然后列出一個(gè)關(guān)于的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)，代回求出所求解；(2)可對(duì)整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開討論.2已知“是第三象限角，則是第幾象限角?思路點(diǎn)撥：已知角的范圍或所

5、在的象限，求所在的象限是?？碱}之一，一般解法有直接法和幾何法，其中幾何法具體操作如下：把各象限均分n等份，再?gòu)膞軸的正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上I、，并循環(huán)一周，則原來(lái)是第幾象限的符號(hào)所表示的區(qū)域即為 (nN*)的終邊所在的區(qū)域.解法一：因?yàn)槭堑谌笙藿?，所以，?dāng)k=3m(mZ)時(shí)，為第一象限角；當(dāng)k=3m1(mZ)時(shí)，為第三象限角，當(dāng)k=3m2(mZ)時(shí)，為第四象限角，故為第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再?gòu)膞軸的正向的上方起依 次將各區(qū)域標(biāo)上I、，并依次循環(huán)一周，則原來(lái)是第象限的符號(hào)所表示的區(qū)域即為的終邊所在的區(qū)域.由圖可知，是第一、三、四象限角.總結(jié)升華：(1)要分清弧

6、度制與角度制象限角和終邊在坐標(biāo)軸上的角；(2)討論角的終邊所在象限，一定要注意分類討論，做到不重不落，尤其對(duì)象限界角應(yīng)引起注意.舉一反三：【變式1】集合，則( )A、 B、 C、 D、【答案】C 思路點(diǎn)撥：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 (法二)在平面直角坐標(biāo)系中，數(shù)形結(jié)合 (法三)集合M變形， 集合N變形， 是的奇數(shù)倍，是的整數(shù)倍，因此.【變式2】設(shè)為第三象限角，試判斷的符號(hào).解析：為第三象限角，當(dāng)時(shí)，此時(shí)在第二象限.當(dāng)時(shí)，此時(shí)在第四象限.綜上可知：類型二：扇形的弧長(zhǎng)、面積與圓心角問題3已知一半徑為r的扇形，它的周長(zhǎng)等于所在圓的周長(zhǎng)的一半，那么扇形的中心角是多

7、少弧度？合多少度？扇形的面積是多少？解：設(shè)扇形的圓心角是，因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)是，所以扇形的周長(zhǎng)是依題意，得總結(jié)升華：弧長(zhǎng)和扇形面積的核心公式是圓周長(zhǎng)公式和圓面積公式，當(dāng)用圓心角的弧度數(shù)代替時(shí)，即得到一般的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式：舉一反三：【變式1】一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？并求出這個(gè)扇形的最大面積.思路點(diǎn)撥：運(yùn)用扇形的面積公式和弧長(zhǎng)公式建立函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決最值問題.解：設(shè)扇形的半徑為，則弧長(zhǎng)為，于是扇形的面積當(dāng)時(shí)，(弧度)，取到最大值，此時(shí)最大值為.故當(dāng)扇形的圓心角等于2弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大，最大面積是.總結(jié)升華：求扇形最值的一般方法是

8、根據(jù)扇形的面積公式，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于半徑(或圓心角)的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求解.1、角度制與弧度制的互化：(1)；(2).解：為第三象限；為軸上角為第二象限；為第三象限角小結(jié)：1用弧度表示角時(shí)，“弧度”兩字不寫，可寫“”； 2角度制化弧度時(shí)，分?jǐn)?shù)形式，且“”不取近似值.2、用角度和弧度分別寫出分別滿足下列條件的角的集合：(1)第一象限角；(2)銳角； (3)小于的角；(4)終邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱的角； (5)終邊在直線上的角.解：(1)或；(2)或；(3)或；(4)分析：因?yàn)樗蠼堑慕K邊與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，可以選擇代表角，因此問題轉(zhuǎn)化 為寫出與角的終邊相同的角的集合即；(5)或.注意：角度制與弧度制不能混用！3、若是第二象限角，則