2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)新教材精品學(xué)案【人教A版必修第一冊】3.2.1第1課時函數(shù)的單調(diào)性

1、3.2函數(shù)的基本性質(zhì)3.2.1單調(diào)性與最大(小)值第1課時函數(shù)的單調(diào)性【學(xué)習(xí)目標】課程標準學(xué)科素養(yǎng)1 .理解單調(diào)函數(shù)的定義，理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性的定義.2 .掌握定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟(重點、難點).3 .掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(重點).1、邏輯推理2、數(shù)學(xué)抽象3、直觀想象【自主學(xué)習(xí)】1、增函數(shù)與減函數(shù)的定義X1X2 X1 X2)f(X1) f(X2) > 0 Cf(X1)f(X2)X1 X2>0.條件一般地，設(shè)函數(shù)f(X)的定義域為I:如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D 上的任忠兩個自變重的值X1 , X2,當(dāng)X1<X2時都有都有結(jié)論那么就說函數(shù)f(X)在區(qū)

2、間D上是函數(shù)那么就說函數(shù)f(X)在區(qū)問D上是酉數(shù)圖示二的飽 .y扁加*h" -n*1- Xf)/ i注意：(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，xi, X2CD,第9頁共9頁函數(shù)f(X)在區(qū)間D上是減函數(shù)，X1, X2D,X1 攵 e X1 X2)f(X1) f(X2) <0f(X1)f(X2)X1-X2<0.2、函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)問如果函數(shù)y= f(X)在區(qū)間D上是,那么就說函數(shù)y=f(X)在這一區(qū)間具有(嚴格的) 單調(diào)性，區(qū)間D叫做y= f(X)的.3、基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如下表所示:函數(shù)條件單調(diào)遞增區(qū)問單調(diào)遞減區(qū)問正比例函數(shù)(y= kx, kw明 一次函數(shù)(y=

3、kx+b, kw 0)k>0R無k<0無R k反比例函數(shù)(y=, kw0) xk>0無(-0o 0)和(0, + oo)k<0(8, 0)和(0, + OO)無二次函數(shù)(y=ax2+ bx+c,aw 0)a>0r b、2a'十;b ( (，2aa<0b ( ('2ar b、2a'十;【小試牛刀】1、判斷(正確的打“M”錯誤的打 '”)(1)因為f(1)<f(2),所以函數(shù)f(x)在 1,2上是增函數(shù).()若f(x)為R上的減函數(shù)，則f(0)>f(1).()若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)

4、f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).()2.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a, b)上是減函數(shù)，x1，x2 a, b),且x1<x2,則有()A. f(x1)<f(x2)B. f(x1)>f(x2)C. f(x1) = f(x2)D.以上都有可能3.下列命題正確的是()A.定義在(a, b)上的函數(shù)f(x),若存在x1, x2Ca, b),使得x1<x2時，有f(x1)<f(x2), 那么f(x)在(a, b)上為增函數(shù)B.定義在(a, b)上的函數(shù)f(x),若有無窮多對x1, x2，a, b),使得x1<x2時,有f(x1)<f(x2),那 么f(x)在(

5、a, b)上為增函數(shù)C.若f(x)在區(qū)間I1上為減函數(shù)，在區(qū)間I2上也為減函數(shù)，那么f(x)在11曰2上也一定為減函數(shù)D.若f(x)在區(qū)間I上為增函數(shù)且f(x1)<f(x2)(x1 , x2 I),那么x1<x24、函數(shù)f(x) = x22x+3的單調(diào)減區(qū)間是 .【經(jīng)典例題】題型一求函數(shù)的單調(diào)區(qū)問 汪忠：1 .求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法：(1)利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，其中分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù) 函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解；(2)利用函數(shù)的圖象.2 .若所求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間要用；”隔開.例1如圖為函數(shù)y = f(x), xCl4,7的圖象，指

6、出它的單調(diào)區(qū)間.跟蹤訓(xùn)練1:據(jù)下列函數(shù)圖象，指出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間.例2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù).r 1 (1)f(x) = -;x(2)f(x) =2x+ 1,5 x,x>lx<1跟蹤訓(xùn)練2函數(shù)f(x) = x2+2ax+3(aCR)的單調(diào)減區(qū)間為 題型二函數(shù)單調(diào)性的判定與證明利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的4個步驟:設(shè)小中是讀巴間內(nèi)的任意兩小假，且對5 作差/a)g 或/QJ才3).并通過因式分解、 配方，有理化等方法.向有利于判斷差的符號的 方向變形.一般化為根的形式根據(jù)定義得出結(jié)論確定差或八制)尸3)的符號.當(dāng)符號不 確定時，可以

7、進行分類討論、，1， ，一 ，一，例3用止義證明：函數(shù)f(x) = x+-在(一1,0)上是減函數(shù).x跟蹤訓(xùn)練3(1)用定義證明函數(shù)f(x)=2x2+4x在(一0°, 1上是單調(diào)減函數(shù). 2x， (2)用定義證明，函數(shù)y=F7在(- 1，+ 00比為增函數(shù).x I 1題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法：視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性的定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)問，與已知單調(diào)區(qū)問比較求參數(shù).(2)依據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性，如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性求解.(3)要注意：函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(a, b)當(dāng) 函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)上單調(diào)遞增”

8、是不同的，后者 意味著區(qū)間(a, b)是函數(shù)f(x)的增區(qū)間的一個子集.例4 (1)f(x)為(-8, + OO上的減函數(shù)，aCR,則()A. f(a)<f(2a)B. f(a2)<f(a)C. f(a2+1)<f(a)D. f(a2+a)<f(a)如果函數(shù)f(x) = x2 2bx+ 2在區(qū)間3, +oo上是增函數(shù)，則b的取值范圍為()A. b= 3B. b>3C. b< 3D. bw3跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)的定義域為2,2,且f(x)在區(qū)間 2,2上是減函數(shù)，且f(1 m)> f(m),求實數(shù)m的取值范圍.【當(dāng)堂達標】A.0,1函數(shù)y=f(x)

9、的圖象如圖所示C. -3,1D. -3,42.已知f(x) = (3a1)x+ b在(一oo, +oo比是增函數(shù)，則a的取值范圍是()A.(8,1)B.(3,+oo)1 1、C.(-00,3d-&+°°)3,已知函數(shù)f(x) = 8 + 2x x2,那么下列結(jié)論正確的是 ()A. f(x)在(一oo, 1上是減函數(shù)B. f(x)在(一oo, 1上是增函數(shù)C. f(x)在1, +8比是減函數(shù)D. f(x)在1, +8比是增函數(shù)4 .已知函數(shù)f(x) = ax+ 2是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.5 .若函數(shù)f(x) = x2 2ax+ 3在(2, +8比是增函數(shù),則實

10、數(shù)a的取值范圍是6 .已知函數(shù)y=f(x)是(一8, +8比的增函數(shù)，且f(2x 3)>f(5x+6),求實數(shù)x的取值范圍為7、畫出函數(shù)v= x2+2x| + 3的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.一 一， 1，8.求證：函數(shù)f(x) = x2在區(qū)間(0, +8比是減函數(shù)，在區(qū)間(8, 0)上是增函數(shù).【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】1、f(x1)<f(x2)；增；f(x1)>f(x2)；減2、增函數(shù)或減函數(shù)；單調(diào)區(qū)間【小試牛刀】1、 (1) X函數(shù)的單調(diào)性強調(diào)自變量的任意性而非特殊性.1, 22, 3間減函數(shù)的定義可知f(0)>f(1).雙傷J: f(x)= X+1' xx

11、1, x2、 B【解析】因為函數(shù)y=f(x)在(a, b)上是減函數(shù)，且X1<X2,所以f(x1)>f(X2),故選B.3、 D【解析】A錯誤，x1，x2只是區(qū)間(a, b)上的兩個值，不具有任意性；B錯誤，無窮并1不代表所有、任意；C錯誤，例如函數(shù)V=；在(一1)和(1, +8比分別遞減，但不能說yx 11=一；在(8, 1)C(1, +8止遞減；D正確，符合單調(diào)性定義. x14、 (8,1)【解析】因為f(x)=x22x+3是圖象開口向上的二次函數(shù)，其對稱軸為x= 1,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(一8, 1).【經(jīng)典例題】例1解：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為 1.5,3)、5,6),

12、單調(diào)減區(qū)間為 4, 1.5)、3,5)、6,7.跟蹤訓(xùn)練1:解：由圖象(1)知此函數(shù)的增區(qū)問為(8, 2, 4, +8)減區(qū)間為2,4.由圖象(2)知，此函數(shù)的增區(qū)間為(8, 1、1, +8),減區(qū)間為 1,0)、(0,1.1 一例2(1)函數(shù)f(x)= 的單調(diào)區(qū)間為(8 0), (0, +8)在(OO 0) (0 +8止都是增函數(shù). x當(dāng)xl時，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x<1時，f(x)是減函數(shù)，所以f(x)的單調(diào)區(qū)間為(8, 1),1 , +8),并且函數(shù)f(x)在(8, 1)上是減函數(shù)，在1,+8比是增函數(shù).跟蹤訓(xùn)練2 (a, +8”解析】因為函數(shù)f(x)是開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸

13、為x= a,所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(a, + 8).例 3 證明：設(shè)一1<x1<x2<0,則有 f(x1)-f(x2)= x1 + 1 -x2 + x1 =(x1-x2)+ I!,x 1x2x 1 x2x1 x2由于一1<x1<x2<0,0<x1x2< 1 , x1x2 1<0,又 乂1出>0, x1一x2<0,則f(x1)f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數(shù)在(1,0)上為減函數(shù).跟蹤訓(xùn)練3 (1)證明：(1)設(shè)溝<股0 1,則f(x1) f(x2) = (2x2 + 4x1) (2x2+

14、4x2) = 2(x2 x2) + 4(x1 x2) = 2(x1 x2)(x1 + x2+2).Cxi<X2$ 1 , Cxi X2<0, Xi + X2 + 2<0, Cf(xi) f(X2)>0,即 f(Xl)>f(X2), Cf(x)在(一8, 1上是減函數(shù).(2)設(shè) Xl>X2> 1,2xi2x22(xi X2)y1 y2 xi+ 1 X2+ 1 (xi+ 1)(x2+ 1)> '2x ,Cyi>y2, C函數(shù)y=F；在(一1, +00比為增函數(shù). x I 1例4 (1) C因為aCR,所以a 2a= a與0的大小關(guān)系不定

15、，無法比較f(a)與f(2a)的大小， 故A錯；而a2 a = a(a1)與0的大小關(guān)系也不定，也無法比較 f(a2)與f(a)的大小，故B錯;一 .c1 c 3又因為a2+1a= a 2 2+4>0，所以a2+1>a.又f(x)為(一0°, +oo比的減函數(shù)，故有f(a2+ 1)<f(a),故C對；易知D錯.C【解析】分析函數(shù)f(x) = x22bx+ 2的圖象和性質(zhì)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出b的取值范圍.函數(shù)f(x) = x22bx+ 2的圖象是開口向上，且以直線 x= b為對稱軸的拋物線， 若函數(shù)f(x) = x2 2bx+ 2在區(qū)間3, +oo上是增函數(shù)

16、，則b&a故選C.跟蹤訓(xùn)練4:解：因為f(x)在區(qū)間 2,2上單調(diào)遞減，所以當(dāng)一2gi<x202時，總有f(Xi)>f(X2)成立，反之也成立，即若f(Xi)>f(X2),則一2陽<X2W2.一 2ssm2,- _1因為 f(1 m)>f(m),所以 一201 m<2,解得2<m02.1 m< m,【當(dāng)堂達標】1. C【解析】結(jié)合圖象分析可知，函數(shù)圖象在區(qū)間3,1是上升的，故其增區(qū)間是 3,1.2. B【解析】f(x) = (3a1)x+b為增函數(shù)，應(yīng)滿足3a-1>0,即a>，故選B. 33. B【解析】由二次函數(shù)f(x)=8

17、+2x x2=(x1)2+9的圖象知B對，故選B.4. (一, 0)【解析】易知函數(shù)f(x) = ax+ 2是一次函數(shù)，又因為它是減函數(shù)，所以 a<0.5. a< 2因為函數(shù)f(x) = x22ax+ 3是圖象開口向上的二次函數(shù)，其對稱軸為x=a,所以其單調(diào)增區(qū)間為(a, + °°),由題意可得(2, + °°) Cs(, + °°)所以a< 2.6. ( 8, -3)【解析】Cf(x)是R上的增函數(shù)，且f(2x 3)>f(5x+ 6), C 2x 3>5x+6,即 x< 3.7、解:y= x2+2|x|+ 3=-x2 + 2x+ 3=- (x-1)2 + 4(x>0)x2 2x+3= (x+ 1)2 + 4(x<0)函數(shù)圖象如圖所示.函數(shù)在（一8, 1, 0,1上是增函數(shù)；函數(shù)在1,0, 1, +8比是減函數(shù).所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（一8, 1和0,1,單調(diào)減區(qū)間是1,0和1 , +OO）8.證明：對于任意的x1, x2C(oo, 0),且x1<x2,.r11x2 - x2 (x2 x1)(x2+x。有f(x1)f(x2)=x2x2=R = -x2x2.因為 x1<x2<0,所以 x2x1>0, x+x2<0,