最新2019中考二次函數(shù)壓軸題專題分類訓練

1、精品文檔精品文檔中考二次函數(shù)壓軸題專題分類訓練題型一：面積問題【例1】(2009湖南益陽)如圖2,拋物線頂點坐標為點C(1 , 4),交x軸于點A(3 , 0),交y軸于點B(1)求拋物線和直線 AB的解析式；(2)求 CAB勺鉛垂高 CD及$ cab ；(3)設點P是拋物線(在第一象限內(nèi))上的一個動點，是否存在一點P,使& PAA 9 S；A CAB,8若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由 .【變式練習】1. (2009廣東省深圳市)如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為( 2, 0),連結OA將線段O砥原點O順時針旋轉120。，得到線段 OB(1)求點B的坐標；(2)求經(jīng)過A

2、O B三點的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使 BOC勺周長最?。咳舸嬖?，求出點 C的坐標；若不存在，請說明理由.(4)如果點P是(2)中的拋物線上的動點， 且在x軸的下方，那么 PAB是否有最大面積？ 若有，求出此時 P點的坐標及 PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.2. (2010綿陽)如圖，拋物線 y = ax2+ bx + 4與x軸的兩個交點分別為 A(4, 0)、B (2, 0),與y軸交于點C,頂點為D. E (1, 2)為線段BC的中點，BC的垂直平分線與 x軸、y軸分別交于F、G(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點D的坐標;(2)在直線EF上求

3、一點H,使4?？赨勺周長最小，并求出最小周長;(3)若點K在x軸上方的拋物線上運動，當 K運動到什么位置時， EFK的面積最大？并求出最大面積.3.(2012銅仁)如圖，已知：直線y =x+3交x軸于點A,交y軸于點B,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A R C (1, 0)三點.(1)求拋物線的解析式；(2)若點D的坐標為(-1 , 0),在直線y = x+3上有一點P,使AABO與AADP相似，求出點P的坐標；(3)在(2)的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點 E,使AADE的面積等于 四邊形APCE勺面積？如果存在，請求出點E的坐標；如果不存在，請說明理由.題型二：構造直角三角形【例

4、2】(2010山東聊城)如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c (aw0)的對稱軸為x=1,且拋物線經(jīng)過 A(1, 0)、C (0, 3)兩點，與x軸交于另一點 B.(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)關系式；(2)在拋物線的對稱軸 x=1上求一點 M使點M到點A的距離與到點 C的距離之和最小， 并求此時點M的坐標；(3)設點P為拋物線的對稱軸 x=1上的一動點，求使/ PCB= 90o的點P的坐標.第25題圖【變式練習】1. (2012廣州)如圖，拋物線y=一工籃+3與x軸交于A、B兩點(點 A在點B的左側)，與y軸交于點C.(1)求點A、B的坐標；(2)設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當4A

5、CD的面積等于 ACB的面積時，求點D的坐標；(3)若直線l過點E (4, 0), M為直線l上的動點，當以 A B M為頂點所作的直角三角 形有且只有三個時，求直線 l的解析式.2. (2009成者B)在平面直角坐標系 xOy中，已知拋物線 y=a(x+1)2+c(a >0)與x軸交于A B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C,其頂點為 M,若直線MC的函數(shù)表達式為y =kx3,與x軸的交點為3 10N,且 CO5S/ BCO=10(1)求此拋物線的函數(shù)表達式；(2)在此拋物線上是否存在異于點 C的點巳 使以N P、C為頂點的三角形是以 NC為一條 直角邊的直角三角形？若存在，求出

6、點P的坐標：若不存在，請說明理由；(3)過點A作x軸的垂線，交直線 MQ點Q.若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線 與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？1 一_J _ J _HII.O. 1x3.(2012杭州)在平面直角坐標系內(nèi)，反比例函數(shù)和二次函數(shù)y=k (x2+xT)的圖象交于點A (1, k)和點 B (- 1, - k).(1)當k=-2時，求反比例函數(shù)的解析式；(2)要使反比例函數(shù)和二次函數(shù)都是y隨著x的增大而增大，求 k應滿足的條件以及 x的取值范圍；(3)設二次函數(shù)的圖象的頂點為Q,當4ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，

7、求 k的值4.如圖(1),拋物線y =x2+x 4與y軸交于點A, E (0, b)為y軸上一動點，過點 E的直線y = x +b與拋物線交于點 B C(1)求點A的坐標；(2)當b=0時(如圖(2), |_ABE與|_ACE的面積大小關系如何？當 b>4時，上述關 系還成立嗎，為什么？(3)是否存在這樣的b,使得LBOC是以BC為斜邊的直角三角形，若存在，求出b;若不存在，說明理由.yBAyCEOAxx第26題圖(1)題型三：構造等腰三角形【例3】如圖，已知拋物線 y=ax2 +bx+3 (aw0)與x軸交于點A(1, 0)和點B( 3, 0),與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式；

8、(2)在x軸上是否存在一點 Q使得 ACQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條 件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由；(3)設拋物線的對稱軸與 x軸交于點M，問在對稱軸上是否存在點 巳使4CMP為等腰三 角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.【變式練習】1 .如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為(m, nj),點B的坐標為(n, - n),拋物線經(jīng)過A O B三點，連接 OA OB AB,線段AB交y軸于點C.已知實數(shù) m n (m< n)分別 是方程x2- 2x- 3=0的兩根.(1)求拋物線的解析式；(2)若點P為線段OB上的一個動點(不與點

9、 。B重合)，直線PC與拋物線交于 D E兩點(點D在y軸右側)，連接OD BD.當4OPC為等腰三角形時，求點 P的坐標；求ABOD面積的最大值，并寫出此時點D的坐標.2 .如圖，拋物線 y =ax2 5ax+4經(jīng)過4ABC的三個頂點，已知 BC / x軸，點A在x軸 上，點C在y軸上，且AC=BC(1)寫出A,B,C三點的坐標并求拋物線的解析式; PAB是等腰三角(2)探究：若點 P是拋物線對稱軸上且在 x軸下方的動點，是否存在形.若存在，求出所有符合條件的點P坐標；不存在，請說明理由.3. (2010黃岡)已知拋物線2y =ax +bx+c(a =0)頂點為C (1, 1)且過原點。.過

10、拋物線5 .上一點P (x, v)向直線y = 作垂線，垂足為 M,連FM (如圖).4(1)求字母a, b, c的值；3 (2)在直線x=1上有一點F(1-),求以PM為底邊的等腰三角形 PFM勺P點的坐標，并證 4明此時 PFM為正三角形；(3)對拋物線上任意一點 P,是否總存在一點 N (1, t),使PM= PN恒成立，若存在請求出 t值，若不存在t#說明理由.題型四：構造相似三角形【例4】(2011臨沂)如圖，已知拋物線經(jīng)過 A( - 2, 0), B ( - 3, 3)及原點O,頂點為C. (1)求拋物線的解析式；(2)若點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且 A、Q D E為

11、頂點的四邊形是平行 四邊形，求點D的坐標；(3) P是拋物線上的第一象限內(nèi)的動點，過點 P作PMLx軸，垂足為M,是否存在點P,使 得以P、M A為頂點的三角形 BOC相似？若存在，求出點 P的坐標；若不存在，請說明理 由.【變式練習】1. (2012天水)如圖，已知拋物線經(jīng)過A (4, 0), B(1, 0), C (0, -2)三點.(1)求該拋物線的解析式；(2)在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點D,使彳DCA的面積最大？若存在，求出點D的坐標及 DCA0積的最大值；若不存在，請說明理由.(3) P是直線x=1右側的該拋物線上一動點，過 P作PMLx軸，垂足為 M是否存在P點, 使得

12、以A、P、M為頂點的三角形與 OACf似？若存在，請求出符合條件的點 P的坐標；若 不存在，請說明理由.2.如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點 D(0, 7J3),且頂點C的橫坐標為4,該圖象在x軸上截9、得的線段AB的長為6.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在該拋物線的對稱軸上找一點P,使PA+PDt小，求出點P的坐標；(3)在拋物線上是否存在點 Q使 QABf4ABC相似？如果存在，求出點 Q的坐標；如果 不存在，請說明理由.【例5】(2012蘇州)如圖，已知拋物線y=-x2 - -(b+1)x+ - (b 是實數(shù)且 b>2)與 x 軸的444正半軸分別交于點 A B (點A位于點B的左側)

13、，與y軸的正半軸交于點 C.(1)點B的坐標為，點C的坐標為 (用含b的代數(shù)式表示)；(2)請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點巳使得四邊形PCOB勺面積等于2b,且4PBC是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；(3)請你進一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點Q,使彳QCO QOA和 QAB中的任意兩個三角形均相似(全等可作相似的特殊情況)？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由.【變式練習】1.(2012上海寶山)如圖，平面直角坐標系 xOy中，已知點A (2, 3),線段AB垂直于y軸， 垂足為B,將線段AB繞點A逆時針方向旋轉90。，點B落在

14、點C處，直線BC與x軸的交 于點D .(1)試求出點D的坐標；il y(2)試求經(jīng)過 A、B、D三點的拋物線的表達式， 并寫出其頂點E的坐標；(3)在(2)中所求拋物線的對稱軸上找點F ,使得以點A、E、F為頂點的三角形與 4ACD相似.O I 1x（圖7）3. (2012寧波)如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象交x軸于A ( 1, 0) , B (2, 0),交y 軸于C (0, - 2),過A, C畫直線.(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)點P在x軸正半軸上，且 PA=PC,求OP的長；(3)點M在二次函數(shù)圖象上，以 M為圓心的圓與直線 AC相切，切點為 H.若M在y軸右側，且 CH

15、Msaoc (點C與點A對應)，求點M的坐標;題型五：構造梯形【例6】已知，矩形 OAB座平面直角坐標系中位置如圖1所示，點A的坐標為(4,0),點C2的坐標為(0, 2),直線y = x與邊BC相交于點D.3(1)求點D的坐標；(2)拋物線y=ax2 +bx+c經(jīng)過點A、D O求此拋物線的表達式；(3)在這個拋物線上是否存在點M使Q H A M為頂點的四邊形是梯形？若存在，請求出所有符合條件的點 M的坐標；若不存在，請說明理由.【變式練習】1 .已知平面直角坐標系 xOy中，拋物線y= ax2(a+1) x與直線y= kx的一個公共點為 A(4 ,8).(1)求此拋物線和直線的解析式；(2)

16、若點P在線段OA上，過點P作y軸的平行線交(1)中拋物線于點 Q求線段PQ長度 的最大值；(3)記(1)中拋物線的頂點為 M點N在此拋物線上，若四邊形 AOM恰好是梯形，求點 N 的坐標及梯形AOMNJ面積.2 . (2011義烏)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A (2, 0)、Q0, 12)兩點，且對稱軸為直線 x =4,設頂點為點P,與x軸的另一交點為點 B.(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標；(2)如圖1,在直線y=2x上是否存在點 D,使四邊形OPB時等腰梯形？若存在，求出點 D的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖2,點M是線段OP上的一個動點(O P兩點除外)，以每秒/2個單位長度的

17、速度 由點P向點O運動，過點 M作直線MN/x軸，交PB于點N.將PM的直線MN寸折，得 到RMN 在動點M的運動過程中，設 P1MN<梯形OMNBJ重疊部分的面積為 S,運動時 間為t秒，求S關于t的函數(shù)關系式.3 .如圖1,二次函數(shù)y=x2+px+q(p <0)的圖象與x軸交于 A B兩點，與y軸交于點C 5(0, 1), ABC勺面積為-.4(1)求該二次函數(shù)的關系式；(2)過y軸上的一點 M (0, mj彳y軸的垂線，若該垂線與 ABC勺外接圓有公共點，求 m 的取值范圍；(3)在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點D使以A、R C D為頂點的四邊形為直角梯形？若存在，求出點 D的

18、坐標；若不存在，請說明理由.題型六：構造平行四邊形【例71 (2010陜西)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過A( 1 , 0), B (3, 0), C(0, 1)三點。(1)求該拋物線的表達式；(2)點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點Q P、A B為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標。1. (2012成都)如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù) 產(chǎn)、工+冗(m為常數(shù))的圖象與x軸交于點A ( -3, 0),與y軸交于點C.以直線x=1為對稱軸的拋物線 y=ax2+bx+c ( a, b, c為常數(shù)，且a為)經(jīng)過A, C兩點，并與x軸的正半軸交于點 B.(1)求m的

19、值及拋物線的函數(shù)表達式；(2)設E是y軸右側拋物線上一點，過點 E作直線AC的平行線交x軸于點F.是否存在 這樣的點E,使得以A, C, E, F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點 E的坐標及相應的平行四邊形的面積；若不存在，請說明理由；(3)若P是拋物線對稱軸上使 4ACP的周長取得最小值的點， 過點P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1 (x1，y)，M2 (x2, y2)兩點，試探究2P是否為定值,并寫出探究過程.2.如圖1,在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A(4,0)、B(0, 4)、C(2,0)三點.(1)求拋物線的解析式；(2)若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M

20、的橫坐標為 m AMAB勺面積為S,求S關于m的函數(shù)關系式，并求出 S的最大值；(3)若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y = x上的動點，判斷有幾個位置能使以點P、Q B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標.3. (2011威海)如圖，拋物線 y=ax2+bx+c交x軸于點A ( - 3, 0),點B (1, 0),交y軸于 點E (0, - 3).點C是點A關于點B的對稱點，點F是線段BC的中點，直線l過點F且與 y軸平行.直線 y=-x+m過點C,交y軸于D點.(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)點K為線段AB上一動點，過點K作x軸的垂線與直線 CD交于點H,與拋物線交

21、于點 G 求線段HGK度的最大值；(3)在直線l上取點M,在拋物線上取點 N,使以點A, C, M, N為頂點的四邊形是平行四【例8】已知平面直角坐標系 xOy (如圖1), 一次函數(shù)y=_3x+3的圖像與y軸交于點A,4點M在正比例函數(shù) v_9X的圖像上，且 MO= MA二次函數(shù) y 2xy=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點A、M(1)求線段AM勺長；'(2)求這個二次函數(shù)的解析式；'(3)如果點B在y軸上，且位于點 A下方，點C在上述二次函.".數(shù)的圖像上，點 D在一次函數(shù)y=0x+3的圖像上，且四邊形° 14ABCD1菱形，求點C的坐標.【變式練習】1.將拋

22、物線ci： y = -J3x2+V3沿x軸翻折，得到拋物線 C2,如圖1所示.(1)請直接寫出拋物線 C2的表達式；(2)現(xiàn)將拋物線C1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M與x軸的交點從左到右依次為 A B；將拋物線C2向右也平移 m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂 點為N,與x軸的交點從左到右依次為 D E.當R D是線段AE的三等分點時，求 m的值；在平移過程中，是否存在以點 A、N E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在， 請求出此時m的值；若不存在，請說明理由.題型七：線段最值問題【例9】(2011荷澤)如圖，拋物線 yx2+bx-2與x軸交于A, B兩點，與y軸交于

23、C點,2且A(1)(2)(3)(-1, 0).求拋物線的解析式及頂點 D的坐標；判斷 ABC的形狀，證明你的結論；MC+M的值最小時，求 m的值.點M (m, 0)是x軸上的一個動點，當【變式練習】1. (2009山東省荷澤市)如圖，已知拋物線y=ax2 + bx+c與y軸交于點A(0 , 3),與x軸分別交于B(1 , 0)、C(5 , 0)兩點.(1)求此拋物線的解析式；(2)若一個動點P自OA勺中點M出發(fā)，先到達x軸上的某點(設為點 E),再到達拋物線 的對稱軸上某點(設為點 F),最后運動到點 A.求使點P運動的總路徑最短的點 E、點F的 坐標，并求出這個最短總路徑的長.2. (201

24、1廣東深圳)如圖13,拋物線y=ax2+bx + c(a W0)的頂點為(1,4),交x軸于A、B,交y軸于D,其中B點的坐標為(3,0)(1)求拋物線的解析式(2)如圖14,過點A的直線與拋物線交于點 E,交y軸于點F,其中E點的橫坐標為2,若 直線PQ為拋物線的對稱軸，點 G為PQ上一動點，則x軸上是否存在一點 H,使D> G F、H 四點圍成的四邊形周長最小 .若存在，求出這個最小值及 G H的坐標；若不存在，請說明理 由.(3)如圖15,拋物線上是否存在一點 T,過點T作x的垂線，垂足為 M過點M作直線MN / BD,交線段AD于點N,連接MD使 DNMh BMD若存在，求出點 T的坐標；若不存在， 說明理由.【能力提升】1 . (2011福州) 已知，如圖11,二次函數(shù)y =ax2+2ax_3a (a=0)圖象的頂點為 H,與x軸交于A、B兩點(B在A點右側)，點H、B關于直線l : y =43x + T3對稱.'3(1)求A、B兩點坐標，并證明點A在直線l上；(2)求二次函數(shù)解析式；(3)過點B作直線BK / AH交直線l于K點，M、N分別為直線 AH和直線l上的兩個動 點，連接HN、NM、MK ,求HN +NM +MK和的最小值.2 .如圖.在直角坐標系中，已知點 A(0. 1. ), B(