206聽俞正強(qiáng)老師講“植樹問題”

1、206.聽俞正強(qiáng)老師講“植樹問題”2015年1月，在“俞正強(qiáng)特級(jí)教師工作室”團(tuán)隊(duì)活動(dòng)中，我們對(duì)“植樹問題”進(jìn)行了研究與探討。從傳統(tǒng)的教學(xué)，到我們的理解演繹，最后經(jīng)由師傅論道，使我們在這次活動(dòng)中受益頗深。愿在此書寫心得，與眾人分享。（此處略去“且讀他人思路”“且看我們演繹”兩部分）且聽師傅論道一籌莫展之際，師傅俞正強(qiáng)拿起粉筆，展開了他的教學(xué)。1. 出示問題：20米路，每5米一段，一共分了幾段？（在黑板上畫了一條直線）生:5段，20÷5=4，4+1=5。師：有沒有不同的做法？生：4段，20÷5=4。師：為什么要用除法來做？為什么不用20+5，不用20-5、20×5？生

2、：題目說每5米一段。師：這是在干什么？生：平均分。師：（面向第一位學(xué)生）5段是怎么來的？生：奧數(shù)老師教的。（這位學(xué)生在課外的奧數(shù)班學(xué)過“植樹問題”，將這類問題統(tǒng)統(tǒng)模糊成了植樹問題。教師再次問他5段是怎么來的，以此來幫助糾錯(cuò)）2. 出示問題：20米路，每5米種一棵樹，一共種幾棵？教師采訪一名學(xué)生：你不會(huì)做？生：有點(diǎn)不會(huì)。師：那就是有點(diǎn)會(huì)做，你說一說。生：老師教過了，這是植樹問題。20米分成4段，頭尾都種樹，要加上1棵。生：20÷5=4，邊上要種加上1。生：4個(gè)間隔要種5棵。板書：4個(gè)間隔20÷5=4 5棵樹4+1=53. 引導(dǎo)比較，進(jìn)行梳理。師：這兩道題像嗎？ 像在哪里？ 哪

3、里不像？生：都是20米路。生：都有一個(gè)一模一樣的算式：20÷5=4。師：為什么都要用除法做呢？生：因?yàn)槭瞧骄?。師：不一樣的是什么？生：問題有一個(gè)算式，問題有兩個(gè)算式。師：既然兩題都是平均分成4段，為什么第題要再加1？生：因?yàn)轭^尾兩端都要種。師：如果頭尾都要種，那不是要加2 嗎？為什么只加1呢？學(xué)生答不上來。師：同學(xué)們，平均分是一段一段分的，但是種樹的時(shí)候是種在哪里的？生：種在段與段的點(diǎn)上。師：“點(diǎn)”和“段”有什么不一樣?。糠N是種在“點(diǎn)”上的，咱們平均分是分出“段”來的。那么，一段有幾個(gè)點(diǎn)啊？生：兩個(gè)。師：兩段有幾個(gè)點(diǎn)??？生：三個(gè)。師：三段呢？四段呢？請(qǐng)問，點(diǎn)和段之間有什么關(guān)系？點(diǎn)多

4、還是段多？生：點(diǎn)多。師：怎么個(gè)多法？生：一段線兩個(gè)點(diǎn)，兩段線三個(gè)點(diǎn)，三段線四個(gè)點(diǎn)師：那么，點(diǎn)比段多幾？生：點(diǎn)比段多1。師：在平均分的除法里面，點(diǎn)比線多1，而植樹是正好植在什么地方？生：點(diǎn)上。（聽到這里，我們似乎有些明白了。師傅認(rèn)為，這個(gè)問題應(yīng)先讓學(xué)生理解20÷5求的是段，再抓住點(diǎn)與段的區(qū)別，從而理解點(diǎn)與段的關(guān)系。）4. 清晰對(duì)植樹問題的認(rèn)識(shí)師：除了園林工人把樹種在點(diǎn)上，還有什么人把什么放在點(diǎn)上？生：工人把路燈放在點(diǎn)上。教師結(jié)合學(xué)生的回答畫了一幅草圖，并解釋這里把樹變成了路燈。生：紅綠燈，插旗子，樓房上的窗戶師：繼續(xù)說。說著說著，學(xué)生忽然悟出了道理。有個(gè)學(xué)生站起來說：老師，只要是平均分

5、的，都是放在點(diǎn)上！引導(dǎo)學(xué)生回頭看問題和問題：問題是什么問題？（平均分）問題是什么問題？（植樹問題）植樹問題用什么知識(shí)來解決？（平均分）小結(jié)：植樹問題是平均分的應(yīng)用。5. 在具體情境中領(lǐng)會(huì)平均分在植樹問題中的應(yīng)用情境1：問題中，園林工人領(lǐng)了5棵樹，到那里一看，發(fā)現(xiàn)路的盡頭有座房子。怎么辦？生：拆房子。（眾生笑）生：一頭不種。師：這個(gè)點(diǎn)不種了，那樹怎么辦？生：-1。情境2：一個(gè)小朋友領(lǐng)了5棵樹，種好了還我棵，這是為什么？生：兩頭都有房子，不種！小結(jié)：怎么植樹要看具體情況。追根溯源，用于非“常”討論時(shí)間，師傅先問了我們一個(gè)問題：植樹問題的源是什么？正是對(duì)這個(gè)問題的討論，以及師傅的解說，結(jié)合傳統(tǒng)教學(xué)、

6、我們的演繹、師傅的課堂，使我們對(duì)植樹問題有了更深刻的認(rèn)識(shí)。1.“模型”是植樹問題的源嗎在傳統(tǒng)教學(xué)中，一般把“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”三種類型的區(qū)分及相應(yīng)的計(jì)算方法看成是一種“模型”。為了達(dá)成知識(shí)目標(biāo)，教師往往帶領(lǐng)學(xué)生一一總結(jié)公式（甚至要求熟背），然后變化問題情境訓(xùn)練解題技能，讓學(xué)生牢固掌握并直接運(yùn)用。因而，絕大多數(shù)學(xué)生解決植樹問題時(shí)，首先想到用除法：路的總長÷間距棵數(shù)；其次看題中是否有“兩端種與不種”的明確提示語，以此決定是否加1或減1。然而，多數(shù)問題是隱藏提示語的，學(xué)生只能憑自我感覺決定是否加1或減1。如此就造成學(xué)生對(duì)三種計(jì)算方法的機(jī)械應(yīng)用，在解題錯(cuò)誤百出的同時(shí)也束縛

7、了學(xué)生的思維。由此可見，“模型”并非解決“植樹問題”的關(guān)鍵因素。2. 什么才是植樹問題的源“植樹問題”是研究“樹的棵數(shù)”與“兩樹之間間隔數(shù)”之間數(shù)量關(guān)系的問題，其實(shí)質(zhì)是研究點(diǎn)與段的問題。如何讓學(xué)生建立“點(diǎn)段”關(guān)系呢？我們的教學(xué),是把“植樹”這件事，根據(jù)“樹”與“間隔”所呈現(xiàn)出來的內(nèi)在規(guī)律，在簡化后得到一個(gè)抽象結(jié)構(gòu)點(diǎn)與段的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；用直觀圖理解“一一間隔排列”規(guī)律，學(xué)會(huì)用“一一對(duì)應(yīng)”的方法來分析兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系；研究具體的實(shí)際問題，得出燈籠與彩帶是“一一間隔排列”的，并能運(yùn)用規(guī)律分析它們之間的數(shù)量關(guān)系；再溝通不同情境間的內(nèi)在聯(lián)系，抽象出這類問題的共同本質(zhì)特征“一一間隔排列”，并進(jìn)一步鞏固

8、“一一對(duì)應(yīng)”的分析方法；最后運(yùn)用總結(jié)出的思想、方法解決簡單的實(shí)際問題。而師傅的教學(xué)，是直接從除法的意義入手，結(jié)合學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，從除法問題引申出植樹問題。通過“20米，每5米分一段，共分幾段”和“20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹”這兩題的比較分析，一來幫助學(xué)生理解這兩道題都是平均分，二來讓學(xué)生明白兩者的區(qū)別在于平均分是一段一段地分，而植樹是種在段與段之間的點(diǎn)上。進(jìn)而，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“植樹問題”只是除法意義在生活中的延伸，明白“植樹問題”其實(shí)只是點(diǎn)和段的問題。接下來，結(jié)合“植樹問題”的生活原型重點(diǎn)教學(xué)“兩端都種”的情形，并且著重溝通數(shù)學(xué)與生活原型之間的聯(lián)系，從而讓學(xué)生在深刻建構(gòu)“

9、兩端都種”的基礎(chǔ)上，順勢帶出另外兩種“植樹問題”模型，學(xué)以致用。從某種角度說，從找規(guī)律入手，讓學(xué)生體會(huì)規(guī)律的有用，很多課都可以達(dá)成。而對(duì)點(diǎn)和段的感悟，豐富了對(duì)平均分的認(rèn)識(shí)，離開了這節(jié)課，其他課很難實(shí)現(xiàn)，具有唯一性。3. 追根溯源，用于非“常”也就是說，師傅認(rèn)為：植樹問題的源是“平均分”與對(duì)平均分的應(yīng)用。平均分有兩種，一種是完全平均分，如8÷2；一種是不完全平均分，如9÷2。不完全平均分解決生活中的余數(shù)問題，完全平均分帶來段和點(diǎn)的問題。行程問題、工程問題、總價(jià)問題等都是研究段的；而植樹問題、鋸木頭問題都是研究平均分中點(diǎn)的問題?！爸矘鋯栴}”來自哪里？來自平均分，體現(xiàn)學(xué)以致用的價(jià)值。應(yīng)該說，“植樹問題”不是橫空出世的，正如下圖所示，是一點(diǎn)一點(diǎn)生長出來的。“植樹問題”的源，具體到上述兩個(gè)問題，就是：20米路，每5米一段，一共有幾段？（學(xué)）20米路，每5米種一棵樹，種幾棵？（用）學(xué)與用不一樣，學(xué)在“段”上，而用在“點(diǎn)”上，即求幾段是在學(xué)習(xí)平均分，而用在“植樹問題”中，則是對(duì)平均分這一知識(shí)的生活應(yīng)用。用師傅的話說，這叫“學(xué)以致用”。第二次“學(xué)以致用”是在三次情境設(shè)置中，即研究點(diǎn)比段多1（學(xué)），延伸至一頭種一頭不種，以及兩