直線的參數(shù)方程

1、【教學(xué)論文、中學(xué)數(shù)學(xué)】學(xué)校：西安市慶安高級(jí)中學(xué)姓名： 杜曉紅 電話淺析直線參數(shù)方程的理解及其應(yīng)用 慶安高級(jí)中學(xué) 杜曉紅【內(nèi)容概要】直線的參數(shù)方程在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用非常廣泛。掌握直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和一般形式，理解參數(shù)t的幾何意義，并熟悉直線的參數(shù)方程與普通方程之間的互化，那么在利用直線的參數(shù)方程處理求線段的長(zhǎng)，求距離與中點(diǎn)有關(guān)等問題的時(shí)候有它獨(dú)到的優(yōu)勢(shì)?！娟P(guān)鍵詞】直線的參數(shù)方程，標(biāo)準(zhǔn)式，一般式，t的幾何意義，距離，中點(diǎn)，轉(zhuǎn)化?！菊摹恐本€的參數(shù)方程過點(diǎn)P0()，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是： （t為參數(shù)）設(shè)P() 為直線上任意一點(diǎn)，t表示有向線段的數(shù)量，即|t| 當(dāng)t

2、>0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的上方； 當(dāng)t0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P0重合； 當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的下方；一、 直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式與一般式的理解與轉(zhuǎn)化例1：已知直線過點(diǎn)M0（1，3），傾斜角為，判斷方程（t為參數(shù)）和方程（t為參數(shù)）是否為直線的參數(shù)方程？如果是直線的參數(shù)方程，指出方程中的參數(shù)t是否具有標(biāo)準(zhǔn)形式中參數(shù)t的幾何意義。解：由于以上兩個(gè)參數(shù)方程消去參數(shù)后，均可以得到直線的的普通方程，所以以上兩個(gè)方程都是直線的參數(shù)方程。其中（t為參數(shù)） cos =, sin=，是標(biāo)準(zhǔn)形式，參數(shù)t是有向線段的數(shù)量。而方程是非標(biāo)準(zhǔn)形式，參數(shù)t不具有上述的幾何意義。點(diǎn)撥：直線的參數(shù)方程不唯一，對(duì)于給定的參數(shù)方程

3、能辨別其標(biāo)準(zhǔn)形式，會(huì)利用參數(shù)t 的幾何意義解決有關(guān)問題。探究：直線的參數(shù)方程如何化為標(biāo)準(zhǔn)形式？ 令t¢= 得到直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式（t¢為參數(shù)）， t¢的幾何意義是有向線段的數(shù)量。結(jié)論：一般地，對(duì)于傾斜角為、過點(diǎn)M0()直線參數(shù)方程的一般式為： （t為參數(shù)）， 斜率為（1）當(dāng)1時(shí)，我們稱其為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式，則t的幾何意義是有向線段的數(shù)量； （2）當(dāng)1時(shí)，我們稱其為直線參數(shù)方程的一般式，則t不具有上述的幾何意義；可化為 令t¢=則可得到標(biāo)準(zhǔn)式 （t¢為參數(shù)）， t¢的幾何意義是有向線段的數(shù)量。二、利用t的幾何意義求定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距

4、離例2：寫出經(jīng)過點(diǎn)M0（2，3），傾斜角為的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，并且求出直線上與點(diǎn)M0相距為2的點(diǎn)的坐標(biāo)。 解：直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為 即（t為參數(shù)）（1） 設(shè)直線上與已知點(diǎn)M0相距為2的點(diǎn)為M點(diǎn)，且M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t, 則| M0M|t| =2, t=±2 將t的值代入(1)式 當(dāng)t=2時(shí)，M點(diǎn)在 M0點(diǎn)的上方，其坐標(biāo)為（2，3）； 當(dāng)t=-2時(shí)，M點(diǎn)在 M0點(diǎn)的下方，其坐標(biāo)為（2，3）。點(diǎn)撥：若使用直線的普通方程利用兩點(diǎn)間的距離公式求M點(diǎn)的坐標(biāo)較麻煩， 而使用直線的參數(shù)方程，充分利用參數(shù)t的幾何意義求M點(diǎn)的坐標(biāo)較容易。例3：已知直線經(jīng)過點(diǎn)P（1,3）,傾斜角為， (1)求直線與直線

5、：的交點(diǎn)Q與P點(diǎn)的距離| PQ|； (2)求直線和圓16的兩個(gè)交點(diǎn)A，B與P點(diǎn)的距離之積；解：(1)直線經(jīng)過點(diǎn)P（1,3）,傾斜角為,直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為，即（t為參數(shù)）代入直線： 得 整理，解得t=4+2 t=4+2即為直線與直線的交點(diǎn)Q所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知：|t|=| PQ|,| PQ|=4+2.(2) 把直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入圓的方程16，得,整理得：t28t+12=0，=82-4×12>0,設(shè)此二次方程的兩個(gè)根為t1、t2 則t1t2=12，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，t1、t2 分別為直線和圓16的兩個(gè)交點(diǎn)A, B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，則|t1|

6、=| PA|,|t2|=| PB|,所以| PA|·| PB|=|t1 t2|=12。點(diǎn)撥：利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的參數(shù)t的幾何意義解決距離問題、距離的乘積（或商）的問題，比使用直線的普通方程，與另一曲線方程聯(lián)立先求得交點(diǎn)坐標(biāo)再利用兩點(diǎn)間的距離公式簡(jiǎn)便。三、巧用t的幾何意義解決直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)問題ABMP (2,0)y0例4：已知直線過點(diǎn)P（2，0），斜率為，直線 和拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,求：（1）P、M兩點(diǎn)間的距離|PM|； （2）M點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）線段AB的長(zhǎng)|AB|。解：(1)直線過點(diǎn)P（2，0），斜率為,設(shè)直線的傾斜角為，= cos =

7、, sin=直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為（t為參數(shù)）*因?yàn)橹本€和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程中，整理得 8t215t500 ， =152+4×8×50>0,設(shè)這個(gè)二次方程的兩個(gè)根為t1、t2，由韋達(dá)定理得 t1t2, t1t2 ，由M為線段AB的中點(diǎn)，根據(jù)t的幾何意義，得| PM| ；（2）中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t M=,將此值代入直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程*，M點(diǎn)的坐標(biāo)為 即 M（，）（3）|AB|t 2t 1 點(diǎn)撥：利用直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，在解決諸如直線上兩點(diǎn)間的距離、直線上某兩點(diǎn)的中點(diǎn)以及與此相關(guān)的一些問題時(shí)，比用直線的普通方程來解決顯得比較靈活和簡(jiǎn)捷。結(jié)論：（1）A、B兩點(diǎn)之間的距離為，特別地，A、B兩點(diǎn)到直線恒過的定點(diǎn)M0()的距離分別為；（2）A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為。 高中階段在必修和選修中分別學(xué)習(xí)了直線的方程和圓錐曲線的內(nèi)容，它們都是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，若將兩者結(jié)合起來，復(fù)雜的推理和大量的運(yùn)算更使學(xué)生望而生畏。而在本文中我們通過探究直線方程的另一種形式參數(shù)式，利用 t 的幾何意義，則可以使問題的解決變得簡(jiǎn)單有趣了，而且可以讓學(xué)生從一個(gè)嶄新的角度去認(rèn)識(shí)這些問題，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，拓展學(xué)生的思維能力，教師在教學(xué)過程中對(duì)直線的參數(shù)方程作適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充與滲透，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)視野的拓展，探索能力的培養(yǎng)