空間幾何體的表面積與體積公式大全

1、空間幾何體的表面積與體積公式大全一、 全（表）面積（含側(cè)面積）1、 柱體 棱柱 圓柱2、 錐體 棱錐： 圓錐：3、 臺(tái)體 棱臺(tái)： 圓臺(tái)：4、 球體 球： 球冠：略 球缺：略二、 體積1、 柱體 棱柱 圓柱2、 錐體 棱錐 圓錐3、 臺(tái)體 棱臺(tái) 圓臺(tái)4、 球體 球： 球冠：略 球缺：略說(shuō)明：棱錐、棱臺(tái)計(jì)算側(cè)面積時(shí)使用側(cè)面的斜高計(jì)算；而圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積計(jì)算時(shí)使用母線計(jì)算。三、 拓展提高1、 祖暅原理：（祖暅：祖沖之的兒子） 夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，如果它們?cè)谌我飧叨壬系钠叫薪孛婷娣e都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。 最早推導(dǎo)出球體體積的祖沖之父子便是運(yùn)用這個(gè)原理實(shí)現(xiàn)的。2、 阿基米德原

2、理：（圓柱容球）圓柱容球原理：在一個(gè)高和底面直徑都是的圓柱形容器內(nèi)裝一個(gè)最大的球體，則該球體的全面積等于圓柱的側(cè)面積，體積等于圓柱體積的。分析：圓柱體積： 圓柱側(cè)面積：因此：球體體積： 球體表面積：通過(guò)上述分析，我們可以得到一個(gè)很重要的關(guān)系（如圖） + =即底面直徑和高相等的圓柱體積等于與它等底等高的圓錐與同直徑的球體積之和3、 臺(tái)體體積公式公式： 證明：如圖過(guò)臺(tái)體的上下兩底面中心連線的縱切面為梯形。延長(zhǎng)兩側(cè)棱相交于一點(diǎn)。設(shè)臺(tái)體上底面積為，下底面積為高為。易知：，設(shè)，則由相似三角形的性質(zhì)得：即：(相似比等于面積比的算術(shù)平方根) 整理得：又因?yàn)榕_(tái)體的體積=大錐體體積小錐體體積代入：得：即：4、

3、球體體積公式推導(dǎo)分析：將半球平行分成相同高度的若干層（），越大，每一層越近似于圓柱，時(shí)，每一層都可以看作是一個(gè)圓柱。這些圓柱的高為，則：每個(gè)圓柱的體積=半球的體積等于這些圓柱的體積之和。半球體積為：=當(dāng)時(shí)，球體積為：5、 球體表面積公式推導(dǎo)分析：球體可以切割成若干（）近似棱錐，當(dāng)時(shí)，這些棱錐的高為球體半徑，底面積為球面面積的，則每一個(gè)棱錐的體積，則所有的小棱錐體積之和為球體體積。即有：6、 正六面體（正方體）與正四面體（1） 體積關(guān)系如圖：正方體切下四個(gè)三棱錐后，剩下的部分為正四面體設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則其體積為：四個(gè)角上切下的每一個(gè)三棱錐體積為：中間剩下的正四面體的體積為：這樣一個(gè)正方體可以分成

4、四個(gè)三棱錐與中間一個(gè)正四面體即：（2） 外接球正方體與其體內(nèi)最大的正四面體有相同的外接球。（理由：過(guò)不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)球。）正方體與其體內(nèi)最大的正面體有四個(gè)公共頂點(diǎn)。所以它們共球?；仡櫍?兩點(diǎn)定線 三點(diǎn)定面 三點(diǎn)定圓 四點(diǎn)定球如圖： (a)正方體的體對(duì)角線=球直徑(b)正四面體的外接球半徑=高(c)正四面體的棱長(zhǎng)=正方體棱長(zhǎng)(d)正方體體積：正四面體體積=3：1(e)正方體外接球半徑與正四面體外接球半徑相等（3） 正方體的內(nèi)切球與正四面體的關(guān)系 （a） 正方體內(nèi)切球直徑=正方體棱長(zhǎng)（b） 正方體內(nèi)切球與正四面體的四條棱相切。（c） 與正四面體四條棱相切的球半徑=正方體棱長(zhǎng)的一半（d） 設(shè)正四

5、面體棱長(zhǎng)為，則與其棱都相切的球半徑為有：7、 利用祖暅原理推導(dǎo)球體體積。構(gòu)造一個(gè)幾何體，使其截面與半球截面處處相等，根據(jù)祖暅原理可得兩物體體積相等。證明：作如下構(gòu)造：在底面半徑和高都是的圓柱內(nèi)挖去一個(gè)與圓柱等底等高的圓錐。如圖：在半球和挖去圓錐后的組合體的相同截面上作研究，設(shè)圓柱和半球底面半徑均為，截面高度均為，倒圓錐的截面半徑為，半球截面半徑為，則：挖去圓錐后的組合體的截面為：半球截面面積為：倒圓錐的底面半徑與高相等，由相似三角形易得：在半球內(nèi)，由勾股定理易得： 即：，也就是說(shuō)：半球與挖去倒圓錐后有圓柱在相同的高度上有相同的截面。由祖暅原理可得：所以半球體積：即，球體體積：8、 正方體與球（

6、1） 正方體的內(nèi)切球 正方體的棱長(zhǎng)球體的直徑 （2） 正方體的外接球 正方體的體對(duì)角線球體的直徑 （3） 規(guī)律：正方體的內(nèi)切球與外接球的球心為同一點(diǎn)；正方體的內(nèi)切球與外接球的球心在體對(duì)角線上；正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之比為：正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為：1：3正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為：1：3正方體外接球半徑、正方體棱長(zhǎng)、內(nèi)切球半徑比為：:2：正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球體積比為：正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球表面積比為：9、 正四面體與球（1）正四面體的內(nèi)切球 解題關(guān)鍵：利用體積關(guān)系思考 內(nèi)切球的球心到各個(gè)面的距離相等，球心與各頂點(diǎn)的連線恰好把一個(gè)正四面體分成四個(gè)三

7、棱錐，每個(gè)三棱錐的底面為原正四面體的底面，高為內(nèi)切球的半徑。利用體積關(guān)系得：所以：，其中為正四面體的高。由相關(guān)計(jì)算得：即：（2）正四面體的外接球 外接球的半徑= （3）規(guī)律：正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心為同一點(diǎn)；正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心在高線上；正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之和等于高；正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比等于1：3正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為：1：27正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為：1：9正四面體外接球半徑、正四面體棱長(zhǎng)、內(nèi)切球半徑比為：:12：正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球體積比為：正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球表面積比為：10、 圓柱與球（1）圓柱容球

8、（阿基米德圓柱容球模型） 圓柱高=底面直徑=球的直徑 球體體積=圓柱體積 球面面積=圓柱側(cè)面積（2）球容圓柱 球體直徑、圓柱的高、圓柱底面直徑構(gòu)成直角三角形。 設(shè)球體半徑為，圓柱高為，底面半徑為則有： 即：四、 方法總結(jié)下面舉例說(shuō)明立體幾何的學(xué)習(xí)方法例：已知正四面體的棱長(zhǎng)為，求它的內(nèi)切球和外接球的半徑 EFOCDBA思路：先分析球心的位置。因?yàn)檎拿骟w是特殊的四面體，顯然內(nèi)切球與外接球的球心是重合的。且是正四面體的高線交點(diǎn)。再分析球心與一些特殊的點(diǎn)、線、面的位置、數(shù)量關(guān)系。在內(nèi)切球這種情況下，球心垂直于每一個(gè)面，且到每一個(gè)面的距離相等；在外接球這種情況下，球心到每個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。方法1：展平

9、分析：（最重要的方法）如圖：取立體圖形中的關(guān)鍵平面圖形進(jìn)行分析！連接DO并延長(zhǎng)交平面ABC于點(diǎn)G，連接GBACDEGO連接D并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，則A、G、E 三點(diǎn)共線。在平面AED中，由相似知識(shí)可得： 且 GODOA 即： 方法2：體積分析：（最靈活的方法）如圖：設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為，連接AO、BO、CO、DO，則正四面體被分成四個(gè)完全一樣的三棱錐。設(shè)內(nèi)切球半徑為，正四面體的棱長(zhǎng)為則正面四體的高為：ABBOODC則：4個(gè)完全一樣的三棱錐體積=正四面體體積有： 方法3：方程分析：（最常見(jiàn)的做法）如圖：BACDO顯然AO、DO是外接球半徑，O是內(nèi)切球半徑。在RtDO中，由勾股寫(xiě)得可得以

10、下方程：其中：代入方程解得：、方法4：補(bǔ)形分析（最巧妙的思考）把正四面體補(bǔ)成正方體進(jìn)行分析。如圖：此時(shí)，正四面體與正方體有共同的外接球。正四面體的棱長(zhǎng)為，則正方體棱長(zhǎng)為：正方體的外接球直徑為其體對(duì)角線 正四面體的外接球半徑為：內(nèi)切球半徑為：方法5：坐標(biāo)分析（最意外的解法）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則A（0，0，），B（0， ，0），C（，0），D（，0），設(shè)球心位置為O（，）由得：即：=解得：， ，即：，主要方法：一、 統(tǒng)一思想1、 公式的統(tǒng)一對(duì)于每個(gè)幾何形體的面積與體積公式，我們很想找出一個(gè)萬(wàn)能公式全部適用于所有形體，但是這只是一個(gè)理想狀況，實(shí)際上不可能，最多只可能適用于一部分而已。即使

11、是這樣，也只減小我們對(duì)公式的記憶難度，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的靈活性。（1） 梯形的面積公式：，同樣適用于三角形、平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形、扇形的面積計(jì)算。只是在使用時(shí)作微調(diào)而已。在分析三角形時(shí)，上底變?yōu)?；分析長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形時(shí)，上下底變成一樣；在分析扇形時(shí)，上底變?yōu)?，下底變成弧長(zhǎng)，高為半徑。（2） 臺(tái)體的側(cè)面積公式：，同樣適用于圓柱、棱柱、圓錐、棱錐、球的側(cè)面積計(jì)算。只是在使用時(shí)作微調(diào)而已。在分析圓柱、棱柱時(shí)，上下底周長(zhǎng)變成一樣；在分析棱錐時(shí)，上底周長(zhǎng)變?yōu)?；在分析圓錐時(shí)，上底周長(zhǎng)變?yōu)?，斜高變成母線；在分析球體的面積時(shí)，上下底都取最大圓的周長(zhǎng)，高取直徑，即：（3） 臺(tái)體的體積公式：，同樣

12、適用于圓柱、棱柱、圓錐、棱錐、球的體積計(jì)算。只是在使用時(shí)作微調(diào)而已。在分析圓柱、棱柱時(shí)，上下底面積變成一樣；在分析棱錐時(shí)，上底面積變?yōu)?；在分析圓錐時(shí)，上底面積變?yōu)?；在分析球體的體積時(shí)，上底面積取0，下底取最大圓面積的2倍，高取直徑，即：2、 字母的統(tǒng)一在進(jìn)行分析時(shí)，一般要把字母統(tǒng)一，這樣便于進(jìn)行比較！3、 關(guān)系的統(tǒng)一注意相似的關(guān)系：面積比等于相似比的平方，體積比等于相似比的立方。球體、正方體、正多面體相似！二、 轉(zhuǎn)換思想1、 平面與立體的轉(zhuǎn)換這是立體幾何的一種重要思想，即把立體的問(wèn)題交給平面來(lái)解決。但是要在特殊的面中進(jìn)行，有時(shí)還要把面與面的關(guān)系交給線與線來(lái)分析。如二面角的大小研究，通常會(huì)作垂直于兩面的交線的直線來(lái)分析。異面直線的有關(guān)系也要平移到同一面中研究。在立體與平面的轉(zhuǎn)換中平移是一種很實(shí)用的手段。通過(guò)平移不在同一平面內(nèi)的可轉(zhuǎn)換為同一平面內(nèi)，不垂直的可轉(zhuǎn)換為垂直來(lái)分析！2、 位置的轉(zhuǎn)換3、 形體的轉(zhuǎn)換三、 特殊思想1、 特殊點(diǎn)（1） 中點(diǎn)：特殊的線的中點(diǎn)是解題的鑰匙！特別要