2018-2019學年人教A版貴州省黔東南州凱里一中高二第二學期期中(理科)數(shù)學試卷含解析

1、2018-2019學年高二第二學期期中數(shù)學試卷（理科）、選擇題1.已知集合 A=x|0wxw3, B=K右 y) ly-Vi+-D ,則 aab=()A. x|1<x< 3B. x|1<x< 3C. ?2 .已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)2+411-i位于復平面內第幾象限（A.第一象限C.第三象限D. x|x>0)D.第四象限3 .已知 cosx =,貝U cos2x=()A.8B.一瓦C.D.4 .已知某四棱錐的三視圖如圖所示，正視圖和側視圖是全等的等腰直角三角形，則該四棱錐的最長棱與底面所成角的正切值為（5 .如圖程序框圖輸出的y=4,則輸入x的所有取值為（A. -

2、 2 或 2B. 4 或 2C. - 2或 4 或 2 D. - 2 或 46 .已知等差數(shù)列an,且a4, a8是方程x2-12x+20 = 0的兩根，Sn是數(shù)列an的前n項和,則Sii的值為（A. 110B. 66C. 44D. 337,已知圓C： x2+y2-4x-5=0,過點A(。，2舍)作圓C的切線，其中一個切點為B,則|AB|的長度為(8. 5C.D. 48.的圖象大致為(函數(shù)f (x)=A.C.0的展開式中)9.x2的系數(shù)為A. - 5B. 5C. 35D. - 9010 .在區(qū)間01上任意取兩個實數(shù)x、y,則y>x的概率為D.11 .已知 ABC的三個頂點落在半徑為R的球

3、O的表面上,三角形有一個角為且其對邊長為3,球心。到4ABC所在的平面的距離恰好等于半徑R的一半，點P為球面上任意一點，則P - ABC三棱錐的體積的最大值為(A；：B.12.已知橢圓22震 yc： 1, a>b> 0, F1 產b,F2分別為橢圓的左右焦點，若橢圓C上存在點P (Xo, y0)(x0>0)使得/ PFiF2=60° ,則橢圓的離心率的取值范圍為()A.券n 1) B. (0,喙 C, -n 1) D.0、填空題13 .已知不共線的非零向量 7, 3 若Z-27與2彳十人%平行，則實數(shù) 入的值為.'戈>工14 .實數(shù)x, y滿足約束條件

4、：y>1,則z=J的取值范圍為 .X" 1、區(qū)刊-三(015 .函數(shù)f (k) =2E：口(2n)在區(qū)間0, 1的單調增區(qū)間為 .,f (1-A K)- f (1),16 .已知函數(shù) f (x)滿足：f (x) = - f (4-x)，且 limA=-4,當 0VZlxf 口 AXxv2時，f (x) =axlnx+x,則函數(shù)f (x)在點(3, f (3)的切線方程為 .三、解答題(共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17 .已知2cos*), b=(cosx) cosk) , f G)=Z-bTG ER) .(1)求函數(shù)f (x)的最大值，及此時

5、x的取值；(2)在三角形ABC中角的對邊A, B, C分別為a, b, c,若f (B) =1, c= 1, b=Q , 求三角形ABC的面積.18 .已知數(shù)列an滿足 an+1 = an+1,且 a+a3=4.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設%二 j ,記bn的前項和為Sn,證明：Sn<2.19 .如圖多面體 ABC - A1B1C1, Z ABC = 120° ,棱 AA1, BBi, CC1 垂直平面 ABC,且 CC1 =2BBi= 2BC = 2AB = 4AAi .(1)證明：BiCXAiCi.(2)求直線ABi與平面AiBiCi所成角的正弦值.B20 .為了了

6、解學生考試時的緊張程度，現(xiàn)對 100名同學進行評估，打分區(qū)間為50, 100,得到頻率分布直方圖如下，其中 a, b, c成等差數(shù)列，且 a=0.01.(1)求b, c的值；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從緊張度值在60, 70) , 70, 80)中共抽取5名同學，再從這5名同學中隨機抽取 2人，求至少有一名同學是緊張度值在60, 70)的概率.60,015()5060708090案提或應小)一JH2 ,2b21 .已知橢圓C： T H7=1, a>b> 0, Fi, F2分別為橢圓的左右焦點，離心率 m一7不，上頂點P(Q,后.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在過點 F2且斜率不為

7、0的直線l交橢圓于M,N兩點，且|MN|=4|F2N|滿足, 若存在，求出該直線方程，若不存在，請說明理由.22 .已知函數(shù) f (x) = xlnx .(1)求f ( x)的單調區(qū)間；(2)設F(H)=f(T)T，證明：F (x)只有一個極值點x°,且2<尸(工、選擇題：共12個小題，每小題 5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合 a=x|owxw3,M y)|y=V!+lj,則 aab=()A. x|1WxW 3B. x|1<x< 3C. ?D. x|x>0【分析】集合 A是數(shù)集，集合B是點集，從而 AH B是空集

8、.解：.集合 A = x|0<x< 3是數(shù)集,B=¥）Iy=心五川是點集,故選：C.2.已知i是虛數(shù)單位，則復數(shù)2+41位于復平面內第幾象限（A.第一象限C.第三象限D.第四象限【分析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.解：，上一1-1(IT )(1 + i)3.已知 cosx =,貝U cos2x=()A.2_3B.C.D.【分析】利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡所求即可求值.2-1解：cosx=/. cos2x = 2cos2x 1 = 2 x故選：c.4 .已知某四棱錐的三視圖如圖所示，正視圖和側視圖是全等的等腰直角三角形，則該四棱錐的最長棱與底面所成角的正切值

9、為（【分析】首先把三視圖轉換為幾何體，進一步求出線面夾角.D.解：首先把三視圖轉換為幾何體，該幾何體為四棱錐體.如圖所示:設等腰三角形的棱長為a,該幾何體的最長棱長為 AE,與底面的夾角為/EAC,所以 tan / EAC =故選：C.5 .如圖程序框圖輸出的y=4,則輸入X的所有取值為（）A. - 2 或 2B. 4 或 2C. - 2或 4 或 2 D. - 2 或 4r s堂i【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是計算并輸出y=的值，由已知分類討論即可得答案.x 乂）1解：由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是計算并輸出y=， 0 的值，x2 x<l輸出結果為y=4, 一或

10、之，解得x= 4或-2.故選：D.6.已知等差數(shù)列an,且a4, a8是方程x2T2x+20 = 0的兩根，Sn是數(shù)列an的前n項和，則Sii的值為（）A. 110B. 66C. 44D. 33【分析】等差數(shù)列an,且a4, a8是方程x2T2x+20 = 0的兩根，可得：a4+a8= 12 = ai + aii .再 利用求和公式即可得出.解：.等差數(shù)列an,且a4, a8是方程x2-I2x+20 = 0的兩根，, , a4+a8= I2= ai+aii.nt Lix貝U Sii = ii x 6 = 66.2故選：B.7,已知圓C： x2+y2-4x- 5=0,過點|A（0，2d5）作圓C

11、的切線，其中一個切點為B,則|AB|的長度為（）A. V?B. 5C, 25D, 4【分析】由圓的方程求得圓心坐標與半徑，再由兩點間的距離公式求得|AC|,由勾股定理得答案.解：化圓 C： x，y24x5=0 為（x2） 2+y2 = 9,則圓心坐標為C （2, 0）,半徑為3.如圖，|AC|=抄+>2e） -lABl= 7 |AC |2-9-167-故選：A.【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和對稱性，利用極限思想進行判斷排除即可.解：函數(shù)的定義域為x|xW0,f ( - x) =2-= f (x),則函數(shù)f (x)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，排除 A,當 x一+8, f (x) 一+00排除

12、C, D,故選：B.9 . £14)(卜囂)6的展開式中x2的系數(shù)為()A. - 5B.5C. 35D. - 90【分析】先求(1-x) 6展開式的通項，再與 1+工相結合即可求解.X解：由(1- x) 6展開式的通項為：Tr+1= (- 1) r*xr得：（1d）（1- x）6展開式中x2的系數(shù)為（-1）除（-1）叱k5,10 .在區(qū)間0, 1上任意取兩個實數(shù)x、v,則y>x的概率為（）A.B 1 BYD.【分析】由題意畫出圖形， 求出正方形與陰影部分的面積，再由測度比是面積比得答案.解：由題意可得,其區(qū)域為邊長為 1的正方形，面積為1.1而組成的平面區(qū)域如圖所示的陰影部分,

13、由測度比是面積比，可得y>x的概率為P=S正方形故選：A.邊長為3,球心。到4ABC所在的平面的距離恰好等于半徑R的一半，點P為球面上任11.已知 ABC的三個頂點落在半徑為 R的球0的表面上，三角形有一個角為且其對意一點，則P - ABC三棱錐的體積的最大值為（： )9V3 C丁【分析】設4 ABC外接圓的圓心為O1,則R00平面 ABC ,從而 OO1= ,ABC外接圓的半徑為r由正弦定理得:由球的截面性質得:r2=00J+2=吟）2+3,解得R= 2,點P到平面ABC的距離的最大值為：R+001=3,當三棱錐 P-ABC的底面積最大，高最大時，其體積最大，由此能求出三棱錐P-ABC

14、的體積的最大值.-OOl=-2解：設 ABC外接圓的圓心為 。1,則OO1,平面ABC,TTT由正弦定理得:由球的截面性質得：R2=OO/+r2=（£），3,解得R=2,點P到平面ABC的距離的最大值為：R+OOi = 3,在4ABC中，由余弦定理得:32= a2+b2- 2abcosC= a2+b2- ab >2ab- ab= ab,當且僅當a=b=3時，等號成立，（ab ) max= 9 ,-.r-i-i.當且僅當a=b=3時，取等號，當三棱錐P - ABC的底面積最大，局最大時，其體積最大，二三棱錐P - ABC的體積的最大值為 Vp abcX 2工3 X M =色7 .

15、344故選：C.2212.已知橢圓* 上彳5=,，a>b>0, Fi, F2分別為橢圓的左右焦點，若橢圓a b點P （xo, yo） （xo>0）使得/ PFiF2=60° ,則橢圓的離心率的取值范圍為（A. i） B,（0，- C,二,1） D. MC上存在)2【分析】利用已知條件，列出b、c關系，然后轉化求解橢圓的離心率即可.設4ABC外接圓的半徑為r, AB = c=3, / C =22解：橢圓C：三7丹 =L a>b>0, F1, F2分別為橢圓的左右焦點，若橢圓 C上存在 a t/點 P(X0, yo) (xo>0)使得/ PF1F2=6

16、0° ,則即 b2A3c2, c可得：a2 > 4c2,所以e-： 一故選：D.二、填空題(每題 5分，茜分20分，將答案填在答題紙上)13 .已知不共線的非零向量 II耳，若Z-2吊與21十人%平行，則實數(shù) 入的值為 -4 .【分析】根據平面向量的共線定理，列方程求出入的值.解：由題意知，若7與2： +%石平行，則 1 X 入-(-2) X 2= 0,解得入=-4.故答案為：-4.14 .實數(shù)X, y滿足約束條件：4 y>1,則2=言 的取值范圍為61 .、又叮-三0【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，禾I用線性規(guī)劃的知識即可得到結論.解：作出約束條件表示的平面區(qū)域，如

17、圖陰影部分所示；yz=£H可看作陰影區(qū)域內的點 M (x, y)和P (1,0)連線的斜率，由可行域可知 A (1, 1) , B (2, 1),I i-ol計算PB的斜率為kpB = K=1, PA的斜率不存在； < -L所以z的取值范圍是z>1.故答案為：z> 1.15.函數(shù)f (甚)=2sin (2江元-丁)在區(qū)間0, 1的單調增區(qū)間為【分析】求出角的范圍，利用換元法結合復合函數(shù)的單調性轉化求解即可.解：0<x<1,0< 2 7tx< 2 Tt,設 t = 2 tix+6,則函數(shù)y=2sint在67T兀 2 冰+6兀13n w63Kw

18、2 7tx+6兀+一6上為增函數(shù),即f (x)在區(qū)間0, 1的單調增區(qū)間為60,點和，得 0W x或菖w xW 112故答案為：0,營和£ 116.已知函數(shù)f (x)滿足：f (x) = - flimf (1-A K)-f (1)x<2 時，f (x) =axlnx+x,則函數(shù) f(x)在點(3, f (3)的切線方程為4x y 13【分析】由f (x) = - f (4-x),可得f (x)的圖象關于(2, 0)對稱，運用導數(shù)的定義可得f' (1) =4,求得f (x)在(02)的導數(shù)，可得 a = 3, f (x) =3xlnx+x, (0<x<2),由

19、對稱性求得 f (x)在(2,4)的解析式，求得導數(shù)，可得函數(shù)f (x)在點(3, f (3)的切線斜率和切點，由點斜式方程可得所求切線的方程.解：函數(shù) f (x)滿足：f (x) = - f (4 - x),即f (x) +f (4-x) = 0,可得f (x)的圖象關于(2, 0)對稱,lim=-4可得-Tin fCD-fCl-Ax)si Ax(1) = - 4,即 f' ( 1) = 4,當 0vxv2 時，f(x)= axlnx +x,可得 f' ( x) = a (1+lnx ) +1,則 f' (1) = a+1 = 4,可得 a= 3,貝U f (x)=

20、3xlnx +x,( 0v xv 2),令 2vxv4,可得 0v4x<2,貝 U f (4x)= 3 (4 x)In (4x) +4 - x,由 f(x) = f(4 x),可得 f(x) = 3(4 x) In (4x) 4+x,(2vxv 4),貝U f' ( x) = 3 In (4 x) 1+1 = 4+3ln (4 x),則 f' (3) =4, f (3) = - 1 ,則函數(shù)f (x)在點(3, f (3)的切線方程為 y- (- 1) =4 (x-3),即為 4x y 13 = 0,故答案為：4x - y - 13=0.三、解答題(共6小題，共70分.解

21、答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17.已知就三(2必同 nx, Zees*), b=(E三苫，cosk) , f G)=Z-bTG CR) .(1)求函數(shù)f (x)的最大值，及此時 x的取值；(2)在三角形ABC中角的對邊 A, B, C分別為a, b, c,若f (B) =1, c= 1, b=，§， 求三角形ABC的面積.【分析】(1) f (x) = 2x/3sinxcosx+2cos2x - 1,再利用倍角公式、和差公式即可得出f(x),進而得出最大值及其取得最大值時的x的集合.7T I(2) f (B) =1,可得2sin (2B+) = 1, BC (0,兀)，解

22、得B.再利用余弦定理可得a,利用三角形面積計算公式即可得出.解：(1) f (x) = 2sinxcosx+2cos2x- 1 =V3sin2x+cos2x= 2sin (2x+?-).兀XTT冗可得 f (x)的最大值為 2,當 sin (2x+)=1, gp 2x+= 2k7t+,解得 x= + kTt,&620kCZ.H I.xx|x = -+kTt, k&時，函數(shù) f (x)取得最大值 2.oJUTV 5 冗(2) f (B) =1, 2sin (2B+-) =1, BC ( 0,兀)，解得 2B+一 廿一，解得 B =66&KTc= 1, b=C,.1.b2=

23、a2+c2-2accosB,即 3=a2+1 - 2axy,解得 a=2.三角形 ABC 的面積 S=yX ix sx stiry=y-.18.已知數(shù)列an滿足 an+1 = an+1,且 a+a3=4.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設匕心" 萬，記bn的前項和為Sn,證明：Snv2. an【分析】第(1)題由an+1 = an + 1,可發(fā)現(xiàn)數(shù)列an是以1為公差的等差數(shù)列，然后根據等差數(shù)列的通項公式可列出關于首項ai的方程，解出ai的值，即可得到數(shù)列an的通項公式；第(2)題先根據第(1)題的結果計算出數(shù)列bn的通項公式，求前項和Sn時運用放縮法，以及裂項相消法即可證明Sn&l

24、t;2.【解答】(1)解：依題意，由an+1 =數(shù)列an是以1為公差的等差數(shù)列.設等差數(shù)列an的公差為d,則d=1.a+a3= 2a1+2d = 2a1+2= 4,解得a1= 1.，數(shù)列an的通項公式為 an= 1+1x(2)證明：由(1)知，-2=. .當 n = 1 時，S = b = 1.當n>2時，Sn = b1+b2+bn一一1 “ 1 11 1X2 2X3(n-l)ni(1 力 +(2飛)+ Jan + 1 ,可知n- 1) = n, n CN* .12， nJ以1，2.故得證.19.如圖多面體 ABC - A1B1C1, /ABC=120° ,棱 AA1, BB1

25、, CC1 垂直平面 ABC,且 CC1=2BB1= 2BC = 2AB = 4AA1.(1)證明：BiC±AiCi.(2)求直線ABi與平面AiBiCi所成角的正弦值.B【分析】(i)作BBi, CCi的中點分別為E, F ,連接AiE, BiF, AiC,設CCi = 4,可 222證,即 AiBiXBiC,同理可得，BiCXBiCi,即可證 BiC,平面AiBiCi,則問題得證；(2)建立空間直角坐標系，。為AC的中點，可求得平面AiBiCi的一個法向量為益“二岳，L 2),結合畫二日3 1，幻及向量夾角公式可得解.解：(i)證明：作 BBi, CCi的中點分別為 E, F,連

26、接AiE, BiF , AiC,設CCi=4, 則 AiE=2, BiE = i ,故卜遇回則AC=/百，B R=2亞在AiBiC 中，AjBpVs,BC=2a,A1C2 = A1B1即 AiBiXBiC,同理可得，BiC± BiCi,又 AiBin BiCi=Bi,，BiC，平面 AiBiCi,又 AiCi在平面AiBiCi內，BiCXAiCi;(2)如圖建立空間直角坐標系，。為AC的中點，則 1 0 * 0)， h ("Vs)1)，B(O，1，2/，C 0， 4),設平面AiBiCi的一個法向量為需Q，6, C), 又冷遇二（出，1），AC二（2«, 0，3）

27、m* A B廣百雙北十c二0r k,不妨取 m=(-V3，1, 2)m2C =2/白+3C二0又.；：-直線 ABi 與平面 AiBiCi 所成角 a 的sin仃=|cos<mf AB 直線ABi與平面AiBiCi所成角的正弦值為 .420.為了了解學生考試時的緊張程度，現(xiàn)對100名同學進行評估，打分區(qū)間為得到頻率分布直方圖如下，其中a, b,c成等差數(shù)列，且 a=0.01.(1)求b, c的值;（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從緊張度值在60, 70) , 70, 80)中共抽取從這5名同學中隨機抽取 2人，求至少有一名同學是緊張度值在60, 70）50, i00,5名同學，再 的概率.b,

28、 c的值.【分析】（i）根據頻率分布直方圖的縱坐標和等差數(shù)列的性質即可求出(2)先利用分層抽樣可得從60, 70)中抽取2人，表示為A, B,從70, 80)中抽取3 人，分別為C, D, E,再根據概率公式即可求出.解：(1)設公差為 d,則 b=a+d, c= a+2d,由(0.01+0.015+0.01+d+0.025+0.01+2d) X 10= 1,解得 d= 0.01,.b=0.02, c= 0.03,(2)由(1)可得60, 70) , 70, 80)的人數(shù)分別為 20, 30,利用分層抽樣可得從60, 70)中抽取2人，表示為A, B,從70, 80)中抽取3人，分 別為C,

29、D, E,從這5名同學中隨機抽取 2人，共有10種，分別為 AB, AC, AD , AE, BC , BD, BE,CD, CE, DE ,其中來自60, 70)的有共有7種，分別為 AB, AC, AD, AE , BC, BD, BE, 故至少有一名同學是緊張度值在60, 70)的概率為 力.F / 1121 .已知橢圓TH一a>b>0, F1, F2分別為橢圓的左右焦點，離心率 曰二f ,上 a b已頂點后.(1)求橢圓的方程；(2)是否存在過點 F2且斜率不為0的直線l交橢圓于M,N兩點，且|MN|=4|F2N|滿足， 若存在，求出該直線方程，若不存在，請說明理由.【分析

30、】(1)運用橢圓的離心率公式和P在橢圓上，結合a, b, c的關系，解方程可得a, b, c,進而得到橢圓方程；(2)假設存在這樣的直線l,使得|MN|=4|F2N|.設直線l的方程為x= my+1,聯(lián)立橢圓 方程，消去x,可得y的二次方程，運用韋達定理，結合向量共線的坐標表示，聯(lián)立方 程組，解方程，即可判斷存在性.解：(1)由題意可得 b = J§, e=-="1-,且 a2 - b2= c2,解得a=2, c= 1, b=N,則橢圓的方程為 萬_+11=1；(2)假設存在過點 F2且斜率不為0的直線l交橢圓于 M, N兩點，且|MN|=4|F2N|.22由F2 (1, 0),設直線l的方程為x=my+1,聯(lián)立橢圓方程 ：+, =1,可得(4+3m2) y2+6my9=0,設 M (x1，y1), N (x2, y2),可得 y1+y2=一6nl4+3 m2，yy2=一由 |MN