初中數(shù)學競賽試卷(含答案)

1、全國初中數(shù)學競賽復賽試題題號一一三總分1-671213141516得分評卷人復查人答題時注意；1.用圓珠筆或鋼筆作答.2 .解答書寫時不要超過裝訂線.3 .草稿紙不上交.得分評卷人一、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分.以下每 小題均給出了代號為 A, B, C, D的四個選項，其中有且只有 一個選項是正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里.不填、多填或錯填均得零分）1. 一列動車組”高速列車和一列普通列車的車身長分別為80米與100米，它們相向行駛在平行的軌道上，若坐在高速列車上的旅客看見普通列車駛過窗口的時間是5秒，則坐在普通列車上的旅客看見高速列車駛過窗口的時間是（）(D)

2、4 秒(A) 7.5 秒(B) 6 秒(C) 5 秒2.3.將一張邊長分別為 a, b（a Ab）的矩形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合，則折痕的長為()b -2 2a 2 2(A) va +b(B) Va +bab(C) b7a2 -b2( D) aa2 -b2ab如圖，設正方體 ABCD-AiBiCiDi的棱長為1,黑、白兩個甲殼蟲同時從 A點出發(fā)，以相同的速度分別沿棱（第3題）向前爬行，黑甲殼蟲爬行的路線是AA1 -A1D1 一，白甲殼蟲爬行的路線是AB- BB1 一，并且都遵循如下規(guī)則：所爬行的第n + 2與第n條棱所在的直線必須是既不平行也不相交（其中 n是正整數(shù)）.那么當黑、白兩

3、個甲殼蟲各爬行完第2008條棱分別停止在所到的正方體頂點處時，它們之間的距離是（）（A） 0（B） 1（C）2（D） 334.設m, n是正整數(shù)，滿足 m+n>mn,給出以下四個結(jié)論： m, n都不等于1; m, n都不等于 2; m, n都大于1; m, n至少有一個等于 1 .其中正確 的結(jié)論是（）（A）（B）（C）（D）5.小明按如圖所示設計樹形圖，設計規(guī)則如下：第一層是一條與水平線垂直的線段，長度為1 ;第二層在第一層線段的前端作兩條與該線段均成120。的線段，長度為其一半;第三層按第二層的方法，在每一條線段的前端生成兩條線段；重復前面的作法作到第6.有 10 條不同的直線 y

4、=knX +bn (n = 1, 2, 3,，10),其中 k3 = k6 = kg ,b4 =b7 =bw =0 ,則這10條直線的交點個數(shù)最多有（）(A) 45 個(B) 40 個(C) 39 個(D) 31 個二、填空題（共6小題，每小題6分，滿分36分）評卷人17 .在平行四邊形 ABCD的邊AB和AD上分別取點E和F,使任=福3 AG . . 連結(jié)EF交對角線AC于G,則G的值是（第8題）AC8 .如圖所示，一個半徑為 J2的圓過一個半徑為 2的圓的圓心， 則圖中陰影部分的面積為 .,29 .已知 y= x +mx-6,當 1wmw 3 時，y v 0 恒成立，那么實數(shù) x的取值范圍

5、是 .10 .如圖是一個數(shù)的轉(zhuǎn)換器，每次輸入3個不為零的數(shù)，經(jīng)轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換后輸出3個新數(shù),1111規(guī)律如下：當輸入數(shù)分別為 x,y, z時，對應輸出的新數(shù)依次為 一十，一十x y z y z x 1那么當輸出的新數(shù)為-,31111-i ,，y z x z x y11.一一 . 6321.例如，輸入1, 2, 3,則輸出-,-,2.z x y5431一時，輸入的 3個數(shù)依次為.5輸入輸出 11x, v, z 轉(zhuǎn)換器 + x y + z11.10張卡片上分別寫有 0到9這10個數(shù)，先將它們從左到右排成一排，再采用交換相 鄰兩張卡片位置的方法對它們進行操作，規(guī)則如下：當相鄰兩張卡片左邊卡片上的數(shù)比右邊

6、卡片上的數(shù)大時，交換它們的位置，否則不進行交換.若規(guī)定將相鄰兩張卡片 交換一次位置稱為 1次操作，那么無論開始時這 10張卡片的排列順序如何，至多經(jīng) 過 次操作，就能將它們按從小到大的順序排列.12.設整數(shù)a使得關于x的一元二次方程5x2-5ax+26a143 = 0的兩個根都是整數(shù), 則a的值是.三、解答題(共4小題，滿分54分)13.(本題滿分12分)得分評卷人已知正三角形 ABC, AB = a,點P, Q分別從A, C兩點同時出發(fā)，以相同速度作直線運動，且點P沿射線AB方向運動，點Q沿射線BC方向運動.設AP的長為x,APCQ 的面積為S,(1)求S關于x的函數(shù)關系式；(2)當AP的長

7、為多少時？ 4PCQ的面積和4ABC的面積相等.14.（本題滿分12分）得分評卷人如圖，梯形 ABCD中，AD/BC, E為線段 AB上的點，且滿足 AE = AD, BE=BC,過E作EF / BC交CD于F,設P為線段 CD上任意一點，試說明PD PCAD BC2PFEF的理由.得分15.(本題滿分14分)評卷人設二次函數(shù) y = ax2 +bx+c(a >0,c>1),當 x = c 時，y = 0；當 0vxvc 時，y>0.(1)請比較ac和1的大小，并說明理由；(2)當 x>0 時，求證： - +-b- +c>0.x 2 x 1 x16.（本題滿分16

8、分）得分評卷人有7個人進行某項目的循環(huán)比賽，每兩個人恰好比賽一場，且沒有平局.如果其中有3個人X、Y、Z,比賽結(jié)果為 X勝Y, Y勝Z, Z勝X,那么我們稱 X、Y、Z構(gòu)成 一個“圈” .求這7個人的比賽中，“圈”的數(shù)目的最大值.全國初中數(shù)學競賽復賽試題參考答案、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分）G,則（第2題）AGb -：-2 2EF =2GE =2BC = .a b .ABa1 .答案：D解：處父5=4.1002 .答案：A解：如圖，設折痕 EF與對角線AC的交點為AC± EF, AG=CG, EG=FG .所以 AGEA ABC,得 _AG=GEAB BC '3

9、 .答案：C解：黑、白兩個甲殼蟲各爬行完3條棱時都到達點 Ci處，各爬行完6條棱時回到起點A.由2008=334 X 6+4 ,得黑、白甲殼蟲各爬行完第2008條棱后分別停止在點 C,Di處，距離為應.4 .答案：D解：由 m+n>mn,得（m1） （n 1） <1.因為 m, n 是正整數(shù)，所以（m1） （n1）=0,故m和n中至少有一個為 1.5 .答案：C1，如（n為奇數(shù)時）,解：設樹形圖第n層增加的高度為an,則an =2工（n為偶數(shù)時）.2n樹形圖第10層的最高點到水平線的距離為aa2a3a4a5a6a7a8a9. 4。.1111111111705=1=4 4 16 16

10、 64 64 256 256 1024 10246.答案：B解：由條件知，10條直線中至少有 3條直線平行，3條直線過原點.所以交點個數(shù)最多一，43有 1 3 3 4 6 =40.27.8.二、填空題（共6小題,答案：17解：如圖，在AD上取點連結(jié)BH交AC于O,又AOHscob,所以AG AG每小題6分，滿分.3H,使 AH =-AD4則AGAO所以AO AHCO CB3 Ao36分)AGAC AO CO A。1 =AO .34CO AO.3答案：2解：如圖,兩圓的公共弦恰為小圓的直徑，故陰影部分面積為半個小圓的面積減去大圓的一個弓形（所含圓心角為90。）的面積，1二（，.2）2-（1二24

11、2122 2 ) = 2.29.-333答案：-3 :二 x :二解：因為1 & mW 3,所以當x>0時,242x +mx 6 w x +3x 6由 y= x2 +3x -6 v 0,得 0w x<-333當x V 0時，x2+ mx -6 <x2 +x-6 ,由2y= x + x -6 < 0,得-3 v x v 0.入 1110.答案：一,31111一,1解：由一 十y z x 4 z x y 53(x + y +z) =xy +zx ,6( x y z)=xy yz zx.5（x+y+z） = yz+ zx . d將上述3式等號兩邊分別相加，得-，得 3

12、(x + y+z) = yz ,-，得 2(x + y + z)=zx,-，得(x + y + z) = xy .21111所以 x=y, z=2y.由此可解得 x=，y=，z=11.33211.答案：45的 將數(shù)最小的一張卡片調(diào)到最左邊，至多需要9次操作，將數(shù)次小的一張卡片調(diào)到左邊第2張，至多需要 8次操作，依此類推，至多經(jīng)過9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次操作，能將它們按從小到大的順序排列.另一方面，如果這 10張卡片開始時從左到右按從大到小的順序排列，則需要 45 次操作才能按從小到大的順序排列.12.答案：18L 25x -143 廣 x -134蕨石5x-65a蕨石39 4

13、蕨花a = x + 5 +為整數(shù)u 為整數(shù)a 為整數(shù),5x -265x -265x-265x - 26以 5x26 =±1,=3,±13,±39,解得 x=5 或 x = 13,所以 a=18.三、解答題（共4小題，滿分54分）13.(12 分)解：（1）當 0vxv a 時，作 PMXBQ （如圖 1）,則 PM =烏a-x),2CQ=AP=x,一,1所以 S =- CQ PM2x(a-x).4當 x= a 時，S = 0.當x>a時，同樣作 PMXBQ （如圖2）,則 PM (x-a),2一,1所以 S =- CQ PM 2_ V3O2(2)SAabc

14、= a .當 Ovxva 時，由x(a -x) = -a2,得 x2 - ax + a2 =0. 44因為b2 4ac = -3a2 <0 ,所以此方程無解._3、3 o oo當 x> a 時，由 x(x -a)=a，得 x -ax - a = 0 .44解得x=叵.x = T5a不合題意舍去，所以x-Ua, 222a 5a , 即當x=時，APCQ的面積和4ABC的面積相等.214. （12 分）解：如圖，過 D、F分別作 DM / AB交EF于M, FN / AB交BC于N,得平行四邊形ADME和平行四邊形BEFN.所以 FM=EF-AD, CN = BC- EF, DM=AE

15、=AD, FN=BE=BC.由 DMF s' FNC,得 FM- = -DM- 即CN FN 'AD BC 2所以二AD BC EF又因為DFDM FCFNDFADCFBC所以當點P在線段CF上時,PD PC PF DF CF - PF15. (14 分)AD BC AD BCPF PF f ADC =2PFAD BC AD BC EF同理，當點P在線段DF上時,PC PD _ 2PFBC AD EF所以PDJC二空 I AD BC EF解:(1)由題意可知2ac+bc +c = 0,b、> c .2a由，得b= - ac -1, 代入化簡，得ac<1.(2)證明：

16、當x>0時,所以y = a()2x+ b+c>0 -a a(十 一)2 bc-a()2a()2 bx二-a(x 1)2a>-a22(x 1) (x 2)( x 1)>0.16. (16 分)解：如圖1,若3個人A、B、的比賽結(jié)果構(gòu)成一個圈，則3個人勝負各一場，圖中表現(xiàn)為箭頭一進一出如圖2,若3個人A、B、C的比賽結(jié)果不能構(gòu)成一個圈，則3個人中必有1人勝兩場1人負二場，圖中表現(xiàn)為“箭頭二出”與“箭頭二進”如果我們把表示 3個人比賽結(jié)果的勝負圖中，角兩邊箭頭一進一出”的角稱為好角”，角兩邊“箭頭二出”或“箭頭二進”的角稱為壞角”，那么當比賽結(jié)果構(gòu)成圈時，圖中有3個好角”(圖

17、1),不構(gòu)成圈時有1個好角”、2個壞角”(圖2)。設某個人勝k (k=0,1,2,3,4,5,6)場，則他負(6-k)場，可產(chǎn)生k(6-k)個 好角k=0,1,2,3,4,5,6 時，k(6-k)=0, 5, 8, 9, 8, 5, 0,所以 k(6-k)<9,即每個人勝負構(gòu)成 的好角”不超過9個。再設7個人共構(gòu)成n個圈，則 好角”共有3n+(35-n)個。由 3n+(35-n) w9X7=63得 n<14另一方面：14個圈是可能的。不妨設7個人為A、B、C、D、E、F、G,讓他們按順時針圍著圓桌坐下，假如每人勝他左邊的 3人而負于他右邊的 3人，則含A的“圈”有(ABE), (A

18、CE), (ACF), (ADE), (ADF), (ADG)共 6個.6 7這時“圈”的數(shù)目共有 67=14.3圈”的數(shù)目不超過 14也可以用下面的方法說明：假如一次比賽后發(fā)現(xiàn)至少有 15個圈，不妨設含 A的“圈”數(shù)最多，則含A的“圈”數(shù)7.假設有s個人勝A而t個人負于A , s+t=6.由于對稱性不妨設 s< 3.(1)當s= 0時，t=6,沒有含A的“圈”；當s= 1時，t=5,含A的“圈”最多5個；所以當s=0或1時，含A的“圈”數(shù)<7.(2)若 s= 2,貝U t=4.不妨設B、C勝A,而D、E、F、G負于A,則只有當 D、E、F、G均勝B、C或D、E、F、G中只有一人負于 B、C中的一人時，才有含 A的“圈”數(shù)7.D、E、F、G均勝B、C,則含A的“圈”有8個；D、E、F、G最多構(gòu)成2個“圈”.故“圈”的總數(shù)目不超過 10.D、E、F、G中恰有一人負于 B、C中的一人，不妨設 B勝D,則含 A 的“圈”有 7 個；B 、 C、 D 可以構(gòu)成一個“圈”， D 、 E、 F、 G 間的