隱函數(shù)的求導(dǎo)方法總結(jié)

1、. 河北地質(zhì)大學(xué)課 程 設(shè) 計(jì)（論文） 題 目：隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法 學(xué) 院：信息工程學(xué)院 專業(yè)名稱：電子信息類 小組成員：史秀麗 角子威 季小琪 2016年05月27日.摘要3一隱函數(shù)的概念3二隱函數(shù)求偏導(dǎo)31.隱函數(shù)存在定理1 32.隱函數(shù)存在定理2 33.隱函數(shù)存在定理33三. 隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法31.公式法32.直接法33.全微分法3參考文獻(xiàn)3摘要 本文討論了一元隱函數(shù)，多元隱函數(shù)的存在條件及相關(guān)結(jié)論，總結(jié)出隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法和全微分法等方法和相應(yīng)實(shí)例，目的是更好的計(jì)算隱函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)鍵字：隱函數(shù) 偏導(dǎo)數(shù) 方法一隱函數(shù)的概念 一般地，如果變量滿足方程，在一定條件下，當(dāng)取某區(qū)間的任一值時(shí)，相

2、應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的值存在，那么就說方程在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)。例如，方程表示一個(gè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)變量在內(nèi)取值時(shí)，變量有確定的值與其對(duì)應(yīng)。如。 二隱函數(shù)求偏導(dǎo) 1.隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)在P（x。，y。）在某一領(lǐng)域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則方程在點(diǎn)（x。，y。）的某一領(lǐng)域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，并有。 例1:驗(yàn)證方程-=0在點(diǎn)（1,1）的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)y=1的隱函數(shù)y=，并求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在x=1處的值。 解 令=-,則 =2x，=-2y，=0，=-20由定理1可知，方程-=0在點(diǎn)（1,1）的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)連續(xù)可

3、導(dǎo)的隱函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，y=1的隱函數(shù)為y=x，且有= 故 =12.隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且=0，則方程在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它滿足條件并有。例2：設(shè)函數(shù)由方程所確定，求解：設(shè)則（將x，y當(dāng)常數(shù)，對(duì)z求偏導(dǎo)）（將x，y當(dāng)做常數(shù)，對(duì)y求偏導(dǎo)）根據(jù)定理2： 3.隱函數(shù)存在定理3 設(shè)、在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比(Jacobi)）在點(diǎn)不等于零，則方程組在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),它們滿足條件，并有 例3：設(shè)，求 解： 由定理3可求 則 同上

4、可求得 三. 隱函數(shù)求偏導(dǎo)的方法 1.公式法：即將方程中所有非零項(xiàng)移到等式一邊，并將其設(shè)為函數(shù)F,注意應(yīng)將x,y,z看作獨(dú)立變量，對(duì)F(x,y,z)=0分別求導(dǎo)，利用公式-,-。類型條件公式類型條件公式 ，2.直接法：分別將F(x,y,z)=0兩邊同時(shí)對(duì)x,y看作獨(dú)立變量，z是x,y的函數(shù)，得到含的兩個(gè)方程，解方程可求出.3.全微分法：利用微分形式的不變性，對(duì)所給方程兩邊求微分，整理成則的系數(shù)便是，在求全微分時(shí)，應(yīng)看做自變量. 例1.已知，求. 解. 方法一： 令- 則 所以 上式再對(duì)x求導(dǎo)得 方法二： 方程兩端分別對(duì)x求導(dǎo)得 方法三： 方程，兩端分別求微分得 利用全微分不定性，上式化為 由全微分運(yùn)算法則計(jì)算并化簡(jiǎn)得 參考文獻(xiàn)【1】同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第七版下冊(cè)【M】 北京：高等教育出版社，2014.7【2】段生貴，曹南斌.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)【M】 成都：電子科技大學(xué)出版社，2014.8【3】邵燕南.高等數(shù)學(xué)【M】 北京：高等教育出版社，2014.7【4】王順