垂直于弦的直徑兩課時(shí)

1、九年級(jí)數(shù)學(xué)組九年級(jí)數(shù)學(xué)組問(wèn)題問(wèn)題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國(guó)隋代建造的石多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋拱橋, , 是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弧的中點(diǎn)到弦的距離弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CD，使，

2、使CDAB，垂足為，垂足為E（1）圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？）圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和??？為什么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？OABCDE（1）是軸對(duì)稱圖形直徑）是軸對(duì)稱圖形直徑CD所在的所在的直線是它的對(duì)稱軸直線是它的對(duì)稱軸（2） 線段：線段： AE=BE弧?。篈CBC，ADBD說(shuō)理說(shuō)理如圖如圖連接連接OA,OB,OA,OB,OABCDE則則OA=OB.在在RtOAE和和RtOBE中中,OA=OB，OE=OE，RtOAE RtOBE.AE=BE.點(diǎn)點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于CD對(duì)稱對(duì)稱. O關(guān)于直徑關(guān)于直徑

3、CD對(duì)稱對(duì)稱,當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)對(duì)折時(shí),點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑平分弦平分弦，并且，并且平分平分弦所對(duì)弦所對(duì)的兩條的兩條弧弧。ABCDMOCDABCD是直徑是直徑AM=BMAC=BCAD=BD深入理解深入理解EDCOABOBCADDOBCAOBAC垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：CDCD過(guò)圓心過(guò)圓心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD.AEBO注意：注意：圓心到弦的距離，半徑圓心到弦的距離，半徑，弦的一半弦的一半構(gòu)成直角

4、三角形直角三角形，便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形去解決例題講解例題講解例題講解例題講解1，如圖，如圖，AB是是 O的一條弦，的一條弦，P是是AB上上一點(diǎn)，一點(diǎn)，AB=10厘米，厘米，PB=4厘米，厘米，OP=5厘米，求厘米，求 O的半徑的半徑練習(xí)練習(xí)2：已知：如圖，在以：已知：如圖，在以O(shè)為圓心的為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓交小圓于于C，D兩點(diǎn)。兩點(diǎn)。求證：求證：ACBD。E.ACDBO5 5個(gè)命題：個(gè)命題： 過(guò)圓心；過(guò)圓心； 垂直于弦；垂直于弦； 平分弦；平分弦； 平分弦所對(duì)平分弦所對(duì)優(yōu)弧優(yōu)弧； 平分弦所對(duì)的平分弦所對(duì)的劣弧劣弧。ABCDMO（不是直徑不是直徑）以

5、其中兩個(gè)命題為條件，以其中兩個(gè)命題為條件， 能推出其他命題能推出其他命題? ? 垂徑定理的推論垂徑定理的推論九九 年年 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) CDAB,AB是是 O的一條弦的一條弦,且且AE=BE.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E作直徑作直徑CD.O下圖是軸對(duì)稱圖形嗎下圖是軸對(duì)稱圖形嗎?如果是如果是,其對(duì)稱軸是什么其對(duì)稱軸是什么?你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說(shuō)說(shuō)你的與同伴說(shuō)說(shuō)你的想法和理由想法和理由發(fā)現(xiàn)圖中有發(fā)現(xiàn)圖中有:CD由由 CD是直徑是直徑 AE=BE可推得可推得AC=BC,AD=BD. EAB連接連接OA,OB,OA,OB,OABCDE則則OA=OB.在在OAE和和OBE中中,O

6、A=OB，OE=OE，AE=BEOAE OBE.AEO= BEO.CDAB O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CD對(duì)稱對(duì)稱,當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CD對(duì)折時(shí)對(duì)折時(shí),點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.平分平分弦（不是直徑）的直徑弦（不是直徑）的直徑垂直垂直于于弦弦, ,并且并且平分平分弦所對(duì)的兩條弦所對(duì)的兩條弧弧. .說(shuō)理說(shuō)理ABCDMO1.平分弦平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑，垂直于弦，的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。并且平分弦所對(duì)的兩條弧。垂徑定理的垂徑定理的推論：推論：AM=BM AB不是直徑不是直徑CD過(guò)圓心過(guò)圓心CDA

7、BAC=BCAD=BDABAB是是OO的一條弦的一條弦, ,且且ABAB與與CDCD互相垂互相垂直平分直平分. .能推出其他三個(gè)條件嗎？能推出其他三個(gè)條件嗎？OCD EABAE=BE AE=BE ABCDABCDCDCD過(guò)圓心過(guò)圓心AC =BCAC =BCAD = BDAD = BDABCDMO2.弦的垂直平分線弦的垂直平分線, 必過(guò)圓心，并且平分必過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧弦所對(duì)的兩條弧。垂徑定理的垂徑定理的推論：推論：AM=BM ABCDCD過(guò)圓心過(guò)圓心AC=BCAD=BD小結(jié)：小結(jié)：5 5個(gè)命題：個(gè)命題： 過(guò)圓心；過(guò)圓心； 垂直于弦；垂直于弦； 平分弦（平分弦（不是直徑不是直徑）；）

8、； 平分弦所對(duì)平分弦所對(duì)優(yōu)弧優(yōu)?。?平分弦所對(duì)的平分弦所對(duì)的劣弧劣弧。 以其中兩個(gè)命題為條件，以其中兩個(gè)命題為條件， 能推出其他命題。能推出其他命題。例題：例題：平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦。平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦。平分弦的直徑必垂直弦。平分弦的直徑必垂直弦。弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線，垂直于弦，弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線，垂直于弦，并且經(jīng)過(guò)圓心。并且經(jīng)過(guò)圓心。弦的垂直平分線必經(jīng)過(guò)這個(gè)圓的圓心。弦的垂直平分線必經(jīng)過(guò)這個(gè)圓的圓心。1 1、判斷下列命題的正誤：、判斷下列命題的正誤：例題：例題：2、如圖，如圖，AB是半圓的直徑，是半圓的直徑，O是圓心是圓心，C是半圓上一點(diǎn)是半圓上一點(diǎn)，D是弦是弦AC的

9、中點(diǎn)的中點(diǎn)，OD交弧交弧AC于于E，若若AC=8cm，DE=2cm，則則OD的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為_cm。?B?A?C?E?D?O 3.3.你能你能破鏡重破鏡重圓圓嗎？嗎？ABACmnO 作弦作弦ABABACAC及它們的垂直平及它們的垂直平分線分線mmn n，交于，交于OO點(diǎn)；以點(diǎn)；以O(shè)O為圓為圓心，心，OAOA為半徑作圓。為半徑作圓。例題：例題：破鏡重破鏡重圓圓ABCmnO 弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心, ,并且平分弦所對(duì)并且平分弦所對(duì)的兩條弧。的兩條弧。 作圖依據(jù)：CDABEFG 練習(xí)：練習(xí)：1.1.求作弧求作弧ABAB的四等分點(diǎn)。的四等分點(diǎn)。 mnE練習(xí)：練習(xí)：3、如圖所示，矩形如

10、圖所示，矩形ABCD與圓心在與圓心在AB上上的的 O交于點(diǎn)交于點(diǎn)G、B、F、E，GB=8，AG=1，DE=2，則，則EF= 。解得：解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題解決求趙州橋拱半徑的問(wèn)題在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，,7.184.372121ABADOD=OCCD=R7.2在圖中在圖中如圖，用如圖，用 表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè) 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O O，半徑為半徑為R R經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O O 作弦作弦AB AB 的垂線的垂線OCOC，D D為垂足，為垂足，OCOC與與AB AB 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)D D，根據(jù)前面的結(jié)論，根據(jù)前面的結(jié)論，D D 是是AB AB 的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，C C是是 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD CD 就是拱高就是拱高ABABAB小結(jié)小結(jié): 解決弦時(shí)常用的輔助線：解決弦時(shí)常用的輔助線：過(guò)圓心作弦的垂線、連半徑等構(gòu)造直角三角形，過(guò)圓心作弦的垂線、連半徑等構(gòu)造直角三角形，根據(jù)垂徑定理、勾股定理可解決：弦長(zhǎng)、半徑、根據(jù)垂徑定理、勾股定理可解決：弦長(zhǎng)、半徑、弦心距、