2017-2018期末隨機過程試題與答案

1、WORD格式隨機過程期末考試卷1設(shè)隨機變量 X 服從參數(shù)為的泊松分布，那么X 的特征函數(shù)為。2設(shè)隨機過程X(t)=Acos(t+),-t其中為正常數(shù)， A 和是相互獨立的隨機變量，且A 和服從在區(qū)間0,1 上的均勻分布，那么X(t) 的數(shù)學期望為。3強度為 的泊松過程的點間間距是相互獨立的隨機變量，且服從均值為的同一指數(shù)分布。4設(shè) Wn ,n1 是與泊松過程X(t),t0 對應的一個等待時間序列，那么Wn服從分布。5袋中放有一個白球，兩個紅球，每隔單位時間從袋中任取一球，取后放回，對每一個確定的 t對應隨機變量 X (t )t ,如果 t時取得紅球，那么 這個隨機過3et ,如果 t時取得白球

2、程的狀態(tài)空間。6 設(shè)馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=(pij ) ， n 步轉(zhuǎn)移矩陣 P(n)(pij(n) ) ，二者之間的關(guān)系為。7設(shè) X n ,n0為馬氏鏈，狀態(tài)空間 I ，初始概率 pi P(X 0 =i) ，絕對概率pj (n)P X nj ， n 步轉(zhuǎn)移概率 pij(n)，三者之間的關(guān)系為。8 設(shè) X (t ), t0是 泊 松 過 程 ， 且 對 于 任 意 t2 t10那么PX(5) 6|X(3)4 _9更新方程 KtH tts dFs 解的一般形式為K t。010記EXn , 對一切 a0，當 t時， Mt +a M t。得 分評卷 人二、證明題本大題共4 道小題，每題 8 分，

3、共 32 分1. 設(shè) A,B,C 為三個隨機事件，證明條件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB) 。2.設(shè) X t),t0是獨立增量過程, 且X證明X t),t0是一個馬爾科夫 (0)=0,(過程。3. 設(shè) X n ,n 0 為馬爾科夫鏈，狀態(tài)空間為I ，那么對任意整數(shù)n0,1 l n 和i, j I ，n步轉(zhuǎn)移概率pij(n)pik(l)p(nkj-l)，稱此式為切普曼科爾莫哥洛夫方程，k I證明并說明其意義。專業(yè)資料整理WORD格式共6頁第1頁共6頁第2頁專業(yè)資料整理WORD格式4. 設(shè) N(t),t0是強度為的泊松過程， Yk ,k=1,2,是一列獨立同分布隨機變N(

4、t)量，且與 N(t),t0 獨立，令X(t)=Yk , t 0 ，證明：假設(shè)E(Y12 )，那么2. 設(shè)顧客以每分鐘 2 人的速率到達，顧客流為泊松流，求在2 分鐘內(nèi)到達的顧k=1客不超過 3 人的概率。E X(t)tEY1。得 分 評卷 人 三、計算題本大題共4 道小題，每題 8 分，共 32 分3. 設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān)，而與過去的天氣無關(guān)。又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為；規(guī)定有雨天氣為1/ 32 / 30狀態(tài) 0，無雨天氣為狀態(tài)1。設(shè)0.7,0.4 ，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。1. 設(shè)齊次馬氏鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P1/ 302/ 3，求

5、其平穩(wěn)分布。01 / 32/ 3專業(yè)資料整理WORD格式共6頁第3頁共6頁第4頁專業(yè)資料整理WORD格式得 分評卷 人四、簡答題此題6 分簡述指數(shù)分布的無記憶性與馬爾科夫鏈的無后效性的關(guān)系。4. 設(shè)有四個狀態(tài) I= 0，1，2，3 的馬氏鏈，它的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣1100221100P= 22111144440001畫出狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖；對狀態(tài)進展分類；對狀態(tài)空間I 進展分解。專業(yè)資料整理WORD格式共6頁第5頁共6頁第6頁專業(yè)資料整理WORD格式一填空題1為e(eit -1) 。21(sin(t+1)-sint)。 123451 t, 2 t,;e,e2。 6 P(n)Pn。7pj(n)pi pij

6、(n)。33i I818e69。KtH ttKt s dM s10.a0二證明題1.證明：左邊 = P(ABC)P(ABC)P(AB)P(C AB)P(B右邊P(A)P(AB)P(A)A) =2.證明：當0t1 t2t nt 時，P(X(t)x X(t 1 )=x1,X(t 2 )=x 2 , X(t n )=x n ) =P(X(t)-X(t n )x-x nX(t 1 )-X(0)=x 1,X(t 2 )-X(0)=x 2 ,X(t n )-X(0)=x n ) =P(X(t)-X(t n )x-x n ) ，又因為P(X(t)x X(t n )=x n )= P(X(t)-X(t n )

7、x-x n X(t n )=x n ) =P(X(t)-X(t n )x-x n ) ，故P(X(t)x X(t 1 )=x1,X(t 2 )=x 2 , X(t n )=x n ) = P(X(t)x X(t n )=x n )3.證明：Pij(n)P X(n)=j X(0)=iP X(n)=j, X(l)=k X(0)=i=k IP X(n)=j,X(l)=k X(0)=ik I=P X(l)=k X(0)=iP X(n)=j X(l)=k,X(0)=i =Pik(l) Pkj(n-l)，其意義為 n 步轉(zhuǎn)k I移概率可以用較低步數(shù)的轉(zhuǎn)移概率來表示。4.證明：由條件期望的性質(zhì) EX(t)E

8、 E X(t) N(t)，而N(t)EX(t) N(t)n EYiN(t)ni=1= Enn = En= nE(Y1 ) ，所以 E X(t)Yi N(t)YitE Y1。i=1i=1三計算題每題10 分，共 50 分1. 解：11112332211333解方程組P 和i 1 ，即32223331231解得 11 ,22 ,34，故平穩(wěn)分布為( 1,2,4)7777772.解：設(shè)N(t),t0 是顧客到達數(shù)的泊松過程，2 ，故 P N(2)=k(4) ke-4，那么k!P N(2) 3P N(2)=0 +P N(2)=1 +P N(2)=2+P N(2)=3e-44e-48e-432 e-471 e-433專業(yè)資料整理WORD格式共6頁第7頁共6頁第8頁專業(yè)資料整理WORD格式3.解：由題設(shè)條件，得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P=p00p010.70.3p10p110.4，于是0.6P(2)0.610.39P(4)P(2) P(2)0.57490.4251PP=，四步轉(zhuǎn)移概率矩陣為0.5668，從0.520.480.4332而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率為P00(4)0.5749。4.解： 1圖略；2p331,而p30， p31，p32均為零，所以狀態(tài) 3 構(gòu)成一個閉集，它是吸收態(tài)，記 C1= 3 ；0，1 兩個狀態(tài)互通，且它們不能到達其它狀態(tài)，它們構(gòu)成一個閉集，記 C2 =