小學(xué)數(shù)學(xué)人教新版六年級上冊奧數(shù)系列講座：勾股定理(含答案解析)

1、小學(xué)數(shù)學(xué)人教新版六年級上冊實用資料勾股定理內(nèi)容概述1.勾股定理（畢達哥拉斯定理）：直角三角形中的兩直角邊平方后的和等于斜邊的平方.i公元前500年古希臘的畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了勾股定理后，曾宰牛百頭，廣設(shè)盛筵以示慶賀.2.公元前11世紀的周髀算經(jīng)中提到 外半卿一矩，環(huán)而共盤.得成三、四、五.：故折矩，以為句廣三，股修四、徑修五.既方之b.卦華之厚環(huán)而共窕三國時期的趙爽注解道：句股各自乘，并之為弦實，開方除之，即弦.案：弦圖又可以句股相乘 為朱實二，倍之為朱實四，以句股之差自相乘為中黃實，加差之，亦成弦實.u外羋之.其中解釋到：短面曰句，長面I I ELUOiM T0AMSSLacxn中國相等晞西學(xué)與

2、集睡料學(xué)秘史網(wǎng)漢朝張蒼、狄昌壽整理的九章算術(shù)第九卷為句股 日股，相與結(jié)角曰弦.句短其股，股短其弦.句股各自乘，并，而開方除之，即弦.中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院的徽標（右圖所示）采用的就是趙爽的弦圖.2002年在北京舉行的國際數(shù)學(xué)家大會的徽標也是弦圖.如下，在弦圖中有 甌邊形efgh1 (S矩形 ABCDS巨形 MNPQ SvCDGS/ADGS/CDE273.伽菲爾德證法：美國第20任總統(tǒng)伽菲爾德對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，在還是中學(xué)教師時曾給出一種勾股定理的證明方法:梯形面積=1(上底+下底)*高21=(a+b) x (a+b)2=-(a+b) 2；2三個直角三角形的面積和 =-ab+ ab+ c

3、2； 222梯形面積二三個直角三角形面積和.(a+b) 2= ab+ab+ c2,所以 a2+b2=c2.2222,簡敘如下：ABC的三邊長.連接圖中的虛線段4.公元前3世紀的歐幾里得在幾何原本中給出一種證明 如圖，作出三個正方形，它們的邊長分別為直角三角形對應(yīng)的點；過 C作CK平行于AF,交AB FG分別于J、K點.11 -_1勿證 AF8 BAE，有 Svfac- AF.FK=- S矩形 afkj，S/bae- EA.CA=S正方形 acde222以S矩形AFKJ易證(： Be AHB/A 有 SVCBG11BG.KG/SE方形 ACDE ；cc1S巨形 KGBJ , SVHBA二 BH.

4、IH- Sg方形 cbhI , 所2以S矩形KGBJS正方形CBHI .而S正方形 AFGBS巨形AFKJS巨形KGBJS正方形ACBE S正方形CBHI 即有 AE2=AC+CE2.5.勾股數(shù)組：a=u 2-v 2,b=2uv,c=u 2+v2如果a、6、c可以如此表達，那么a、b、c稱之為勾股 數(shù)組，有 a2+b2=c2.如:u=2,v=l 時 a=3,b=4,c=5 ; u=7,v=6 時 a=13,b=84,c=85 .當(dāng)然將已知的勾股數(shù)組內(nèi)每個數(shù)都同時擴大若干倍得到的新的一組數(shù)還是勾股數(shù)組.典型問題2.智能機器貓從平面上的O點出發(fā).按下列規(guī)律行走：由O向東走12厘米到Ai,由Ai向北

5、走 24厘米到A2,由A2向西走36厘米到外，由A3向南走48厘米到A4,由A向東走60厘米到A5,問：智能機器貓到達 A6點與O點的距離是多少厘米？【分析與解】如右圖所示，當(dāng)智能機器貓到達 A6點時，相對。點，向東走了 12-36+60=36厘米，向北走了 24-48+72=48厘米.有 OA2 =362+482,即 OA=60.所以,A6點到。點的距離為60厘米.4.如圖32-3所示，直角三角形PQR勺兩個直角邊分別為 5厘米,9厘米問下圖中3個正方形面積之和比4個三角形面積之和大多少？【分析與解】 如右圖，延長AR,DQ,過E,F分別作AR,DQ的平彳亍線，在正方形EFRCrt交成四個全

6、等的直角三角形和一個小正方形GHMN四個全等的直角三角形面積之和與四個白色的三角形面積之和相等.小正方形HGNM勺邊長為9-5=4厘米，所以面積為16平方厘米，而另 外兩個正方形 ABPR CDQR1的面積分別為 25,81 .所以原圖中3個正方 形面積之和比4個三角形面積之和大 25+81+16=122平方厘米.6.若把邊長為1的正方形ABCD的四個角剪掉，得一四邊形 ABCD,試問 怎樣剪，才能使剩下的圖形仍為正方形 ，且剩下圖形的面積為原來正方形_5 一面積的5,請說明理由.（寫出證明及計算過程）9【分析與解】如左圖所示，我們知道利用弦圖，可是弦圖怎么利用？設(shè)構(gòu)造出的弦圖中最小 正方形的

7、面積為x最大正方形面積為1,那么有剩下的正方形面積為(x+1)= 5 ,所以 x= .299那么，最小正方形的邊長為 .由于是四角對稱的剪3去,所以有 AD=DC=CB=BA= ,AAi =BB=CC=DD=-33證明及計算過程略.8.有5個長方形，它們的長和寬都是整數(shù)，且5個長和5個寬恰好是110這10個整數(shù)；現(xiàn)在用這5個長方形拼成1個大正方形，那么，大正方形面積的最小值為多少 ？【分析與解】注意到,5個長、寬均不相等的長方形拼成一個正方形，只有一種拼法.(如右圖所示，由弦圖聯(lián)想到).A B、C D中必有一個長方形的一邊長為10,不妨設(shè)為A,那么顯然不能組成邊長為10的正方形；如果能夠組成邊

8、長為 11的正方形，那么有11=10+1=9+2=8+3=7+4=6+5，那么大正方形的四邊必須是為11,則剩下的兩個數(shù)，它們的和為11,為中問陰影部分的長、寬和；評注：如果能夠組成邊長為12的正方形，那么有12=10+2=9+3=8+4=7+5，剩下1、6試填不滿足.對于邊長為13的正方形，注意到13=10+3=9+4=8+5=7+6，剩下1、2,有見下圖情形，滿足.10.園林小路，曲徑通幽.如圖32-7所示，小路由白色正方形石板和青、紅兩色的三角形石板 鋪成.問：內(nèi)圈三角形石板的總面積大，還是外圈三角形的總面積大？請說明理由.B32-7【分析與解】如圖，我們?nèi)我獬槌鰞蓧K相鄰的白色正方形石板，及它們所夾成的青、 紅兩色的三角形石板，如圖所示 .圖中有/ CDB吆ADG=180如果,將 CDE時針旋轉(zhuǎn)900，得 C DG .有A、D、C在同一條直線上，且 C DG與 ADG等底向局,所以