山東省棗莊、滕州市2020屆高三第一學期期末考試數(shù)學試題及參考答案

1、2020 屆高三期末考試數(shù)學試題2020.1本試卷分第I卷和第n卷兩部分.滿分150分.考試用時120分鐘.考試結束后，將本試卷和答題卡一并 交回.注意事項：1 .答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上2 .回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3 .考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本大題共 8小題，每小題 5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合 題目要求的.1 .已知集合 A =x 1 &

2、lt;x E1,則 A| N =A.1B.0,1C.-1D.0, -12 .已知i是虛數(shù)單位，1+(a1)i0(aw R),復數(shù)z = a2i，則，= zA. 1B.5C. 5D. . 5553 .已知y = f (x)是R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x) = 2x,則當x>0時，f(x) =A. 2xB. -2xC. 2/D. 2 j24 .已知 a w R ,則 0 <a <1 是Vxe R, ax +2ax + 1 >0” 的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5 .已知向量 a =(1,1), b=(1,3), c=(2

3、,1),且(aIb)/ c,則九二A.3B.-3C. 1D.-776 .將曲線y = f (x)cos 2x上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移二個4單位長度，得到曲線 y =cos2x ,則f 土6A.1B.-1C. .3In x, x _ 1一 .7 .已知f (x)=/,若函數(shù)y = f (x) 1恰有一個零點，則實數(shù) k的取值范圍是f(2 -x) k,x ：1A. (1,二)B.1,二)C.(一二,1)D.(一二,18 .已知直線l1 ： kx + y =0 (kw R)與直線12 ： x-ky +2k 2 = 0相交于點A,點B是圓22(x+2)十(y+

4、3) =2上的動點，則|AB|的最大值為A. 3x 2B. 5,2C.5 2,2D. 3 2,2二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選又的得5分，部分選對的得 3分，有選錯的得0分.9 .某特長班有男生和女生各10人，統(tǒng)計他們的身高，其數(shù)據(jù)(單位：cm)如下面的莖葉圖所示，則下列結論正確的是男生女生18J9A.女生身高的極差為12C.女生身高的中位數(shù)為165B.男生身高的均值較大D.男生身高的方差較小10 .在平面直角坐標系 xOy中，拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l.設l與x軸的交點為K,P為C上異于O的

5、任意一點，P在l上的射影為E, ZEPF的外角平分線交x軸于點Q過O作QN _L PE于M過Q作QN _LPE交線段EP的延長線于點N則U1A. | PE H PF |B. |PF|=|QF| C. PN |=| MF |D. |PN|=|KF|11 .在正方體ABCD ABCQi中，N為底面ABCD勺中心，P為線段AD上的動點(不包括兩個端點)，M為線段AP的中點，則A.CMW PN是異面直線 B. CM . PNC.平面 PAN _L 平面 BDD1B1D.過P, A, C三點的正方體的截面一定是等腰梯形12 .如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的P點的距離是2kmi從P點沿海岸正東12k

6、m處有一個城鎮(zhèn).假設一個人駕駛的小船的平均速度為3km/h,步行的速度為5km/h,時間t （單位：h）表示他從小島到城鎮(zhèn)的時間，x （單位：km）表示此人將船停在海岸處距P點的距離.設u = 收 +4 + x, v = 7x2+4 - x ,則P城鎮(zhèn)'己工一-ri 12km小島A.函數(shù)v = f （u）為減函數(shù)B.15t -u -4v =32C.當x =1.5時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間最少D.當x = 4時，此人從小島到城鎮(zhèn)花費的時間不超過3h三、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分.13 .談祥柏先生是我國著名的數(shù)學科普作家，他寫的數(shù)學百草園、好玩的數(shù)學、故事中的數(shù)學等

7、書，題材廣泛、妙趣橫生，深受廣大讀者喜愛.下面我們一起來看好玩的數(shù)學中談老的一篇文章五分鐘內挑出埃及分數(shù)：文章首先告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分數(shù)（稱為埃及分數(shù)）.如用1 , 1 ，一 ，一 2 _1 1 111兩個埃及少數(shù) 一與的和表不 一等.從一,一，一，, ,這100個埃及分數(shù)中挑出不同的 3個，使得3 155234100 101它們的和為1,這三個分數(shù)是.（按照從大到小的順序排列）14 .在平面直角坐標系 xOy中，角a的頂點是O,始邊是x軸的非負半軸，0父口 c 2n，點（ nJiP 1十tan ,1 - tan I是口終邊上一點，則 二的值是.1212x2 y215 .已知

8、F為雙曲線C:下七=1 （a A0,b0）的右焦點，過F作C的漸近線的垂線 FD, D為垂足，且 a b|FD尸 |OF | （O為坐標原點），則 C的離心率為216.如圖，在三棱錐 P-ABC中，PA _L AB, PC -L BC ,AB _L BC, AB =2BC =2, PC =通，則 PA與平面ABC所成角的大小為 ;三棱錐P-ABC外接球的表面積是 .（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共 6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17 .（本小題滿分 10 分）.在 V3（bcosC a） = csin B ；2a 十=2）cs C ;bsn A=3/S

9、naA 'C2這三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應的問題在|_ABC中，內角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且滿足, b = 2J3, a + c = 4, 求ABC的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分18 .（本小題滿分12分）已知等比數(shù)列匕口滿足a1，a2,a3-4成等差數(shù)列，且a1a3= a4；等差數(shù)列bn的（n 1）log 2 an -刖n項和Sn = 2 n .求：2（1）an, bn ；（2）數(shù)列Qnbn 的前項和Tn.19 .（本小題滿分 12 分）如圖，在四棱錐 P-ABC珅，AD =2j3, AB=3, AP=J3,

10、AD/BC , AD _L 平k ”T 2 - L面 PAB /APB =90，點 E滿足 PE = PA +- PB.33（1）證明：PE _L DC ；（2）求二面角 A-PD-E的余弦值.20.（本小題滿分12分）2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商積極準備投入到“魅力城市”的建設之中.某投資公司準備在 2018年年初將四百萬元投資到三門峽下列兩個項目中的一個之中項目一：天坑院是黃土高原地域獨具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實物見證.現(xiàn)準備投資建設20個天坑院，每個天坑院投資0.2百萬元，假設每個天坑院是否盈利是相互獨

11、立的，據(jù)市場調研，到2020年底每個天坑院盈利的概率為p (0 < p <1),若盈利則盈利投資額的 40%否則盈利額為0.項目二：天鵝湖國家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū).據(jù)市場調研，投資到該項目上，到2020年底可能盈利投資額的 50%也可能虧損投資額的 30%且這兩種情況發(fā) 生的概率分別為 p和1 p .(1)若投資項目一，記 Xi為盈利的天坑院的個數(shù)，求 E(Xi)(用p表示)；(2)若投資項目二，記投資項目二的盈利為X2百萬元，求E(X2 )(用p表示)；(3)在(1) (2)兩個條件下，針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個項目，并說明理

12、由.21 .(本小題滿分12分)設中心在原點 Q焦點在x軸上的橢圓C過點AJ3i, F為C的右焦點，O F2的方程為x2 y2 -2 . 3x =04(1)求C的方程；(2)若直線l : y =k(x J3) (k >0)與。O相切，與。F交于M N兩點，與C交于P、Q兩點，其中 MP在第一象P記。O的面積為S(k),求(| NQ | | MP |) S(k)取最大值時，直線l的方程.22 .(本小題滿分12分)已知函數(shù)f (x) =ln(2x+a) (x>0,a>0),曲線y = f (x)在點(1,f (1)處的切線a,2在y軸上的截距為ln3-1.(1)求 a；2x(2

13、)討論函數(shù) g(x) = f (x) -2x (x >0)和 h(x) = f (x) (x>0)的單調性；2x 12.5-2n1 1(3)設 a1 = 一，an+ = f 3 ),求證： n < 2<0(n 之 2).52an2020屆高三期末考試數(shù)學試題參考答案及評分標準2020.1一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1-4 : BCDA5-8 : CDBC二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題 5分，共20分.9.AB10.ABD11.BCD12.AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.1 1 113.-2,3,6d / ji14.6

14、15.216 . 45,6二四、解答題：本題共6小題，共70分.17 .在橫線上填寫“73(b cosC -a) = csin B ”解：由正弦定理,得 .3(sin B cosCsin A) = sinC sin B .由 sin A =sin(B +C) =sin B cosC +cos Bsin C ,得 一 3 cosBsin C =sin C sin B .由 0cC <n ,得 sinC #0.所以-，3cosB =sin B . 2222又 cosB#0 (右 cosB=0,則 sinB=0,sin B+cos B=0 這與 sin B + cos B=1 矛盾)， 所以

15、tan B = -3.又 0<B<n,得 B=23由余弦定理及b=2，3,得(2 百)2 =a2 +c2 -2accos , 3即 12 =(a+c)2ac.將 a+c=4代入，解得 ac = 4.所以 SABC = acsin B = 4 = 3y 222在橫線上填寫“ 2a + c = 2bcosC ”解：由2a+c =2bcosC及正弦定理，得2sin A -，sin C = 2sin BcosC .又 sin A =sin(B +C) =sin B cosC +cos Bsin C ,所以有 2cosBsinC sinC =0.因為 CW (0,2 ,所以 sinC 00.

16、-_1_、從而有cosB =.又B = (0,冗)，22 二所以B = J3由余弦定理及b=2V3,得(2、3)2 =a2 c2 -2accos232即 12=(a+c) ac.將 a+c=4代入，解得ac = 4.11 v 3所以 S ABC acsin B 4 =.3.222在橫線上填寫“ bsin A =、3asin A-C ”2解：由正弦定理，得 sin B sin A = . 3 sin Asin - B2由0 < A <兀，得sin A 0日，所以 sin B =.馬cos B 2由二倍角公式，得 2sin BcosB = 3cosB 222B二，B _ . B3由 0

17、 < 一 < 一 ,得 cos一 o 0 ,所以 sin =22222B 二2 二所以一=即B =. 233由余弦定理及b=2，3,n._.222_2 二得(2、，3) =a c -2accos .3即 12 =(a +c)2 ac.將 a + c =4代入，解得ac = 4.所以 S ABC = _ acsin B = 4 - = 3 . 22218.解：(1)設aj的公比為q.因為ai, a2, a3 -闞成等差數(shù)列, 所以 2a2 =a +(% -ai ),即 2a2 =a3.a因為a2 #0 ,所以q =上=2.a2因為 a1 a3 = a4,所以 a1 =亙=q = 2.

18、a3因此 an = a1qn，= 2n.由題意，(n 1)l0g 2an 二 口2.22所以 b, =& =1 , b1 +b2 =S2 =3,從而 b2 =2 .所以bn)的公差 d =b2 bi = 21=1.所以 bn = b1 (n -1)d =1 (n -1) 1 = n .(2)令 Cn，則 g = n 2n.123n 1n因此 Tn =c1c2cn =1 22 23 2 (n1) 2 n 2 .又 2Tn =1 22 2 23 3 24 (n -1) 2n n 2n 1兩式相減得-Tn = 2 22 232n -n 2n 1n -2n 12 -2 2n1 -2n-；1n

19、1=2-2-n 2n -1-(1 - n) 22.所以 Tn =(n 一1)2n 1 2.19.(1)證明：在RtLPAB中，由勾股定理，得PB 二.AB2=AP2 二.32 -( ；,3)2 k/6.號 2 1 T 因為 PE =-PA+-PB, AB = PBPA,33r t r2T . 1f t t所以 PE AB = 1 PA + PB (PB-PA)133 J2r 1 r 1 =PA - PB PA PB 333 =-(.3)2 1 (、6)2 1 0333=0.所以PE _ AB ,所以PE = AB.因為AD _L平面PAB PE u平面PAB所以PE _ AD .又因為 PE

20、1 AB, ABP AD = A ,所以PE _L平面ABCD.又因為DC仁平面ABCD所以PE _ DC .一， ，2T 1 *(2)解法一：由 PE =PA+PB,得 EB=2AE. 33所以點E是靠近點A的線段AB的三等分點. ,1所以 AE = AB =1 .3分別以AB, AD所在方向為y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系 A-xyz.則 A(0,0,0), D(0,0, 2 ,3), E(0,1,0), P(2,1,0).設平面PDE勺法向量為m = (x1, y1, z1 ),m EP =0由 一m ED =0i 2x1 = 0，得 1.-y1 2 3z1 =0令4=

21、1 ,則 m = (0,2向,1)；設平面 APD勺法向量為 n =(x2,y2,z2 ), AP =(V2,1,0), AD =(0,0, 273),n AP =0由« T ,n AD =0fc12 x2 y2 = 02 屆=05=1,-、2,0 .設向量ml n的夾角為日2.26-2.6貝U cos i = = |m| |n|(2 .3)2 12;12 (- . 2)213所以二面角A _ PD _ E的余弦值為2叵.13一一 ,T 2 - iTT解法一：由 PE = PA + PB ,得 EB =2AE .33所以點E是靠近點A的線段AB的三等分點.1 所以 AE =1 AB

22、=1.3過E作EM _L AP ,垂足為M過M作MQ _L PD ,垂足為Q.因為AD _L平面PAB EM u平面PAB所以EM - AD.又 APA AD = A,所以EM _L平面PAD因為PD u平面PAD所以EM 1 PD.MQ _L PD, MQ A EM =M ,所以PD _L平面EQM.因為EQ u平面EQM所以EQ _L PD .所以/EOM就是二面角 A-PD-E的一個平面角1在 Rt|_ AEM 中,AE =1, cos/MAE =-j=1所以 MA =AE cos MAE =.在 RtLlPMQ 中，PM=PA MA=V3 sin QPM= sin DPAAD 232P

23、D 屈卮3所以 QM =PM sin. QPM2243. 5. 15在 RtLJEQM 中,忐焉"(旨=郎所以 cosdEQM Q QE所以二面角A-PD-E的余弦值為2-61320. (1)解：由題意 X1 B(20, p)則盈利的天坑院數(shù)的均值E X1 =20p.(2)若投資項目二，則 X2的分布列為X22-1.2PP1 -p盈利的均值 E X2 =2p -1.2(1- p) =3.2p-1.2.(3)若盈利，則每個天坑院盈利0.2父40%=0.08 (百萬元)，所以投資建設20個天坑院，盈利的均值為E(0.08X1 ) = 0.08E(X1 ) = 0.08父20P =1.6p

24、 (百萬元).22D 0.08X1 =0.082D X1 =0.082 20P(1 - p) = 0.128p(1 - p)D X2 =(2 -3.2p 1.2)2 p (-1.2-3.2p 1.2)2(1-p) =10.24 p(1-p)當 E (0.08X1 ) = E(X2 )時，1.6p =3.2p -1.2 ,一 3斛得p 二 一. 4D (0.08X1 )<D(X2 ).故選擇項目一.當 E (0.08X1 )>E(X2 )時，1.6p>3.2p -1.2 ,一 3斛得 0 :二 p :二一.4此時選擇項一當 E(0.08Xi )<E(X2 )時，1.6p

25、<3.2p1.2 ,解得 p >-.4此時選擇項二.備注：在E(0.08Xi , D(0.08Xi ), D (X2 )計算正確的前提下，若考慮投資風險，僅用 D(0.08Xi D(X2 ),確定選擇項目一.同樣給分!21.(本小題滿分12分)22(1)解：設C的方程為 與+ 22=1 (a >b>0).a2 b2，一 ，31由題設知:十=1a2 4b2因為。F的標準方程為(x J3)2+y2 =1 ,4所以F的坐標為(后0),半徑r = 1.2設左焦點為F1,則F1的坐標為(瓜 0).由橢圓定義，可得2a = AF1 + | AF | = (拘2 十七一0 f +j(

26、J3J3)2 十七 _0:由解得a =2, b =1.2所以C的方程為二 + y2 =1.4(2)由題設可知，M在C外，N在C內，P在OF內，Q在。F外，在直線l上的四點滿足| MP |=|MN | - | NP |, | NQ |=| PQ | - | NP .-2y2 =1由41y = k(x _ 3)所以(| NQ | - |MP |) S(k)=9 二 k24k2 1 k2 1消去 y 得(1 +4k2 )x2 -8s/3k2x +12k2 -4因為直線l過橢圓C內的右焦點F, 所以該方程的判別式 > 0恒成立.設 P Xi,yi , Q X2,y2由韋達定理，得8,3k212k

27、2 -4X1 ' X22 , X1X2 =2-.1 4k1 4k22=24 4k2 +4I PQ1= J(1 +k ) (% +X2 ) 4X1X2 = t Y -14k +1又因為。F的直徑| MN |=1,所以 | NQ | - |MP R PQ | - | NP | -(| MN | -|NP|)=| PQ | - | MN |=| PQ| -13-2.4k 1y = k(X -73)可化為 kX-y J3k = 0.因為l與。O相切，所以。O的半徑R= 15' , k2 1223 & k所以 S(k) = .R.k2 19二 k24k4 5k2 1214k2 -

28、 5k22V4k2 5 +5-.當且僅當4k21、2 ,即k ="時等號成立.k22因此，直線l2-的方程為y =(x -，3).222.解:(1)對 f(x)=ln(2x+a)求導，得 f'(x)=2x a因此 f，(1)=_2_ .又因為 f (1) = ln(2 +a), 2 a所以曲線y = f(x)在點(1,f (1)處的切線方程為rr22即 y =x ln(2 a).2 a2 a22由題忌，ln(2 a) 一 =ln 3 -.2 a 3顯然a =1,適合上式.人,2令中(a)=ln(2 +a) -(a>0),2 a12>0,求導得 (a)J2 a (2

29、 a)2因此邛(a)為增函數(shù)：故a =1是唯一解.2x(2)由(1)可知，g(x) =ln(2x+1) 2x (x>0), h(x) = ln(2x+1) -(x>0),2x 1一 ,24x因為 g (x) =-2 = <0,2x 1 2x 14x2(2x - 1)2所以g (x) = f (x) -2x (x > 0)為減函數(shù).因為 h (x)=2x 1 (2x 1)所以八能)="*)二(*>0)為增函數(shù).1 2x2 一一(3)證明：由 a1 = 一, an4r = f (an )=ln(2an +1 ),易得 an >0.55-2n 12n因此，當n之2時，an <2an 1 <22n Jan _2:二：二 2 a12n5 -2所以一2n1、< 2 成 乂 .an卜面證明：1- c-2 ：二 0 .an方法一：由(2)可知,h(x) = f(x)2x2x 1= ln(2x 1)2