求二面角的基本方法

1、 求二面角的基本方法定義法與法向量法 一、 在所給立體圖形中直接尋找：看是否有二面角的平面角；尋找平面角的主要依據(jù)是根據(jù)二面角的平面角的主要特征頂點(diǎn)在棱上，角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)且都與棱垂直（或角所在平面垂直于棱）。例1 如圖1,在三棱錐SABC中,SA底面ABC,ABBCDE垂直平分SC,且分別交AC、SC于D、E.又SAAB,SBBC.求以BD為棱,以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù).解析 由于SBBC,且E是SC的中點(diǎn),因此BE是等腰三角形SBC底邊SC的中線,所以SCBE. 又已知SCDE,BEDEE,SC面BDE,SCBD.又SA底面ABC,BD在底面ABC上,SABD.而SCS

2、AS,BD面SAC.DE面SAC面BDE,DC面SAC面BDC,BDDE,BDDC. EDC是所求的二面角的平面角.SA底面ABC,SAAB,SAAC.設(shè)SAa,又因?yàn)锳BBC, ACS30.又DESC, 所以EDC60°即所求的二面角等于60°.二根據(jù)定義作出平面角：主要有兩種作法，一是對(duì)于具有某種對(duì)稱性立體圖形，可以考慮利用定義，在棱上選擇一點(diǎn)作棱的垂面，與兩個(gè)半平面的交線所構(gòu)成的角即為平面角；二是在其中一個(gè)半平面內(nèi)選擇一點(diǎn)向另一個(gè)半平面引垂線（垂足為），過向棱引垂線（垂足為），由三垂線定理可知，則即為平面角（或其補(bǔ)角）。例2 如圖2，正三角形ABC的邊長為3，過其中心

3、G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于、將沿折起到的位置，使點(diǎn)在平面上的射影恰是線段BC的中點(diǎn)M求：二面角的大小。解析 連接AM，A1G，G是正三角形ABC的中心，且M為BC的中點(diǎn)，A，G，M三點(diǎn)共線，AMBC(圖3) B1C1BC，B1C1AM于G，即GMB1C1，GA1B1C1，A1GM是二面角A1B1C1M的平面角點(diǎn)A1在平面BB1C1C上的射影為M，A1MMG，A1MG=90°。在RtA1GM中，由A1G=AG=2GM得A1GM=60°，即二面角A1B1C1M的大小是60°。對(duì)于“無棱”二面角（即棱未明顯給出）的常規(guī)求法是：先找（或作）出棱，再找（或作）出

4、平面角后求解，還可考慮使用射影面積公式，這里給出下述兩例：例3 如圖4，在底面是直角梯形的四棱錐ABCD中，°，面ABCD， SAAB，求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值解析 延長BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角的棱。，面ABCD，得面SEB面EBC，EB是交線. 又，面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，CS， 所以是所求二面角的平面角。，即所求二面角的正切值為。例4 如圖5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,EBB1，截面A1EC 側(cè)面AC1.若AA1=A1B1;求平面A1EC與平面A1B1C1所成二面角(銳角)的度數(shù). 解析 本題考慮常規(guī)解法可作出棱后找平面角（為，解略），這里使用公式：在底面上的射影為，設(shè)AA1=A1B1=a，易算得于是=三、法向量法求二面角是近些年來高考經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容,要求考生能盡快分析出空間線面關(guān)系,準(zhǔn)確作出二面角的平面角;未給出二面角棱的，要先作出棱,后找平面角再計(jì)算,這些都需要很強(qiáng)的空間想象能力與靈活轉(zhuǎn)化能力,一般考生難以完成;而應(yīng)用法向量來解決,只需求兩半平面法向量的夾角,用公式即可.這樣,避免了空間線線、線面、面面關(guān)系的抽象分析，從