數(shù)學(xué)模型--人在雨中奔跑速度與淋雨量的關(guān)系4

1、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程設(shè)計(jì)任務(wù)書題目雨中漫步學(xué)生姓名學(xué)號(hào)專業(yè)班級(jí)設(shè) 計(jì) 內(nèi) 容 與 要 求生活中的我們常常會(huì)遇到下雨而沒帶雨具的時(shí)刻，我們?cè)谀菚r(shí)會(huì) 有很多選擇，其中之一就是淋雨，往往好多人會(huì)在雨中快走或奔跑 而使自己身體淋雨量最小化，但往往很多人會(huì)感覺到淋雨量并不會(huì) 因?yàn)榭熳呋虮寂芏鴾p少多少，反而有時(shí)候淋雨量倒有所增加，淋雨 量和速度等有關(guān)參數(shù)的關(guān)系如何，是否人走得越快雨淋得越少，讓 我們假設(shè)一數(shù)學(xué)模型模擬計(jì)算真實(shí)情況。給定的降雨條件下，分別建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析人體在雨 中行走時(shí)淋雨多少與行走速度、降雨方向等因素的關(guān)系。具中文中 所涉及到的降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲

2、透、流失而在水面上積聚的水層深度，它可以直觀地表示降雨的多 少。淋雨量，是指人在雨中行走時(shí)全身所接收到得雨的體積，可表 示為單位時(shí)間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時(shí)間 的乘積。針對(duì)問題一，設(shè)降雨淋遍全身/、考慮雨的方向，經(jīng)簡化假設(shè)得人淋兩回積為前后左右及頭頂面積之和。針對(duì)問題二，雨迎面吹來，雨線方向與行走方向在同一平面，人淋雨面積為前方和頭頂血積之和。因各個(gè)方向上降雨速度分量不同，故分別計(jì)算頭頂和前方的淋雨量后相加即為總的淋雨量。據(jù)此可列出總淋雨量 W與行走速度v之間的函數(shù)關(guān)系。分析表明當(dāng)行走速度為vmax時(shí)，淋雨量最少。針對(duì)問題三，雨從背面吹來，雨線與行走方向在同一平面內(nèi)，人淋雨量

3、與人和雨相對(duì)速度有關(guān)。列出函數(shù)關(guān)系式分析并求解 。學(xué)生簽名起止時(shí)間摘要本文在給定的降雨條件下，分別建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，分析人體在雨中行走時(shí)淋雨多少與行走速度、降雨方向等因素的關(guān)系。其中文中所涉及到的降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失而在水面上積聚的水層深度，它可以直觀地表示降雨的多少。淋雨量，是指人在雨中行走時(shí)全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時(shí)間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時(shí)間的乘積。針對(duì)問題一，設(shè)降雨淋遍全身不考慮雨的方向，經(jīng)簡化假設(shè)得人淋雨面積為前后左右及頭頂面積之和。針對(duì)問題二，雨迎面吹來，雨線方向與行走方向在同一平面，人淋雨面積為前方和頭頂面積之和

4、。因各個(gè)方向上降雨速度分量不同，故分別計(jì)算頭頂和前方的淋雨量后相加即為總的淋雨量。據(jù)此可列出總淋雨量W 與行走速度v 之間的函數(shù)關(guān)系。分析表明當(dāng)行走速度為vmax 時(shí)，淋雨量最少。針對(duì)問題三，雨從背面吹來，雨線與行走方向在同一平面內(nèi)，人淋雨量與人和雨相對(duì)速度有關(guān)。列出函數(shù)關(guān)系式分析并求解。關(guān)鍵詞淋雨量；降雨的大??；降雨的方向（風(fēng)） ；路程的遠(yuǎn)近；行走的速度；雨滴下落的速度，角度；降雨強(qiáng)度；一、 問題重述生活中的我們常常會(huì)遇到下雨而沒帶雨具的時(shí)刻，我們?cè)谀菚r(shí)會(huì)有很多選擇，其中之一就是淋雨，往往好多人會(huì)在雨中快走或奔跑而使自己身體淋雨量最小化，但往往很多人會(huì)感覺到淋雨量并不會(huì)因?yàn)榭熳呋虮寂芏鴾p少多

5、少， 反而有時(shí)候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有關(guān)參數(shù)的關(guān)系如何，是否人走得越快雨淋得越少，讓我們假設(shè)一數(shù)學(xué)模型模擬計(jì)算真實(shí)情況。當(dāng)我們?cè)谟曛袕囊惶幯刂本€跑到另一處時(shí)，如果雨速為常數(shù)，走的時(shí)候身體的動(dòng)作的大小和暴露在雨中的面積大小影響著淋雨的多少，并且行走速度也同樣影響著淋雨量Q ，將人體簡化成一個(gè)長方體，高 a=1.5 米，寬 b=0.5 米，厚c=0.2m ,行走距離D ,雨速u，降雨量I ,行走速度為丫。1、 當(dāng)我們不考慮風(fēng)，即雨滴垂直下落時(shí)，淋雨量和人行走速度之間的關(guān)系？2、 當(dāng)雨滴從前方（斜的）下落時(shí)，即雨滴與人體的夾角為 ，建立總淋雨量與速度 v 及其它參數(shù)之間的關(guān)系，此時(shí)速度與

6、淋雨量的關(guān)系？3、 當(dāng)雨從人的背面吹來，即雨滴與人體的夾角為 ，建立總淋雨量與速度v 之間的關(guān)系？二、模型的假設(shè)與符號(hào)說明2.1 基本假設(shè)1、假設(shè)人行走的路線是直線；2、不考慮風(fēng)的方向（即假定前后左右都淋雨），這是一種較為理想的假設(shè)，主要 為了建模的方便，并且假設(shè)雨滴的速度為常數(shù)；3、為計(jì)算淋雨面積的方便，把人體表面積看成長方體，長用a表示，寬用b表示,厚度用c表示，且abc都是定值。2.2 符號(hào)說明a-長方體的長單位：米b-長方體的寬單位：米c-長方體的厚度 單位：米Q -淋雨量 單位：升v-人行走的速度 單位：米每秒D-路程 單位：米I -降雨強(qiáng)度 單位：厘米每小時(shí)P-雨滴的密度 單位：u

7、-雨滴下落的速度 單位：米每秒-雨迎面吹來時(shí)與人體的夾角-與從后面吹來與人體的夾角三、問題分析2.1 問題一分析當(dāng)雨滴垂直下落時(shí)（即沒有風(fēng)），此時(shí)只有頂部淋雨，淋雨量為Q淋雨面積降雨強(qiáng)度淋雨時(shí)間2.2 問題二分析雨迎面吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為9,如圖1所示。根據(jù)實(shí)際情況估計(jì)人體淋雨可分為頭頂和前后左右?guī)讉€(gè)方向上。雨迎面吹來時(shí)，由于雨 相對(duì)于人的速度有變化，因此人單位時(shí)間內(nèi)接收雨量變化，且與相對(duì)速度成正比。據(jù)此, 推算出前后側(cè)上單位時(shí)間接受雨量。同理，頭頂部位接雨量與雨速垂直于頭頂平面的分 速度成正比。分別計(jì)算出頭頂側(cè)與前后側(cè)單位時(shí)間接雨量，并分別乘以各自面積以及時(shí) 問

8、D,即得到頭頂及兩側(cè)淋雨的總量。在人體總的淋雨量 .據(jù)此可得Q與v之間關(guān)系。v2.3 問題三分析雨從背面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為%如圖2所示。左右方向上淋雨量為0o頭頂上單位時(shí)間內(nèi)接收雨的量與雨速垂直方向上的分量成正比，頭頂面積bc與時(shí)間的D以及單位時(shí)間內(nèi)接收雨的量之積。當(dāng)v usin時(shí)，前方不受雨， v后方向上單位時(shí)間內(nèi)淋雨量與人前進(jìn)方向上人相對(duì)于雨的速度（usinav）成正比，據(jù)此推算出后方向上總淋雨量；而當(dāng)v usin時(shí)，后方不受雨，由于人速已經(jīng)高于雨速，這時(shí)前面會(huì)向前撞上雨滴，即前方向上單位時(shí)間內(nèi)淋雨量與 v usin成正比，即這時(shí)前方淋雨量為人體前面積ab和跑步

9、時(shí)間D以及單位時(shí)間淋雨量之積。 v由此可計(jì)算出總的淋雨量?？偟牧苡炅慷埃ê螅┍沉苡炅?頂部淋雨量據(jù)此可得Q與v之間關(guān)系四、模型的建立與求解3.1 問題一的求解總述：當(dāng)雨滴垂直下落時(shí)（即沒有風(fēng)），此時(shí)只有頂部淋雨，淋雨量為Q淋雨面積降雨強(qiáng)度淋雨時(shí)間淋雨面積=bc降雨強(qiáng)度=pu淋雨時(shí)間=一vQ bcpu D v9,如圖1所示。根據(jù)3.2 問題二的求解雨迎面吹來，雨線方向與行走方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為 實(shí)際情況估計(jì)人體淋雨可分為頭頂和前左右?guī)讉€(gè)方向上。雨迎面吹來時(shí)，由于雨相對(duì)于 人的速度有變化，因此人單位時(shí)間內(nèi)接收雨量變化，且與相對(duì)速度成正比。據(jù)此，推算 出前后側(cè)上單位時(shí)間接受雨量。同理，頭

10、頂部位接雨量與雨速垂直于頭頂平面的分速度 成正比。分別計(jì)算出頭頂側(cè)與前側(cè)單位時(shí)間接雨量，并分別乘以各自面積以及時(shí)間 D,即得到頭頂及兩側(cè)淋雨的總量。 在人體總的 v淋雨量.據(jù)此可得Q與v之間關(guān)系。頂部淋雨量二淋雨面積 降雨強(qiáng)度淋雨時(shí)間=bcpucos gD前方淋雨量二淋雨面積降雨強(qiáng)度 淋雨時(shí)間D =bap(usin v)g v總淋雨量=頂部淋雨量+前方淋雨量八DDQbcpucosgbap(usinv)gvvbpDuccosa(u sin v)v3.3 問題三的求解雨從背面吹來，雨線與行走方向在同一平面內(nèi)且與人體夾角為a,如圖2所示。左右方向上淋雨量為00先考慮v usin的情形，也就是說人走的

11、速度慢于雨滴的水平分速度。這是雨滴淋在頂部和后背上,且淋在后背的雨量為：abp(usin v)gD v其頂部淋雨量為：bcpu cos gD所以總的淋雨量=后背淋雨量+頂部淋雨量D ,DQ abp(u sin v)g +bcpucos g vvbpD= uccos a(usin v)圖2當(dāng)v usin時(shí)，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨會(huì)沾到人的前面頂部淋雨量：bcpucos g前面淋雨量：abp(v usin )gD v總的淋雨量： Q bcpucos gD abp(v vusin)gD vbcpu cos所以Qabp(usingD abp(v usin vv)gD +bcpu cos v居

12、vgDvu sin >vu sin v五、結(jié)果表示與分析4.1問題一因?yàn)榧僭O(shè)人體表面積是定的，且降雨強(qiáng)度也是一定的，所以由Q bcpuR可以看出, v降雨強(qiáng)度Q只與人的行走速度v有關(guān)，且成反比，即人走得越快淋雨量越少。4.2問題二上式應(yīng)用了雨滴速度的分解及相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的概念，所以總的淋雨量bpD Q uccos a(usin v) vbpDuccos bpDausin bpDa v其中假設(shè)夾角 一定，淋雨量Q隨著v的變大而變小，即人走的越快淋雨量越少u sin >vv usinu sin v4.3問題三Q pbD (uccos )vbcpucos g abp(v usin )g vvabp(u sin v)gD+bcpucos gD此時(shí)表明：當(dāng)v usin時(shí)，Q pbD (uccos ),人僅僅只有頭頂被雨水淋了，意 v味著身體前后都沒被雨水淋到，當(dāng)人的速度低于 usin時(shí)，則由于雨水落在背上, 使得淋雨量增加；而人的速度大于usin時(shí)，人的前面亦要淋到雨；所以人以可能 的速度v usin走是最優(yōu)策略。六、模型評(píng)價(jià)通過對(duì)本題的分析求解，可知道人在雨中奔跑的淋雨量不僅與跑步速度有關(guān)，還與 雨線與人跑步方向的夾角，雨速以及人跑步速度等因素有關(guān)。本文忽略了降雨密度不均 勻，風(fēng)向不穩(wěn)定等次要因素，以便更好的對(duì)問題進(jìn)行分析和研究。但在實(shí)際問題中的限 制性因素遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過這些