2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)卷(江蘇卷)含詳解

1、2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）本試卷分第I卷（填空題）和第II卷（解答題）兩部分.考生作答時，將答案答在答題卡上，在 本試卷上答題無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項：1 .答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，認(rèn)真核對條形碼上的 準(zhǔn)考證號、姓名，并將條形碼粘貼在指定位置上.2 .選擇題答案使用 2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號；非選 擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書寫，字體工整，筆跡清楚.3 .請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4 .保持卡面清潔，不折疊，不破

2、損.5 .作選考題時，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的標(biāo)號涂里 八、參考公式：1 -V Sh3樣本數(shù)據(jù)X1 , x2,，xn的標(biāo)準(zhǔn)差錐體體積公式s =jn(Xl -X)2 +(X2 X)2 +HI +(Xn -X)2其中X為樣本平均數(shù)柱體體積公式V =Sh其中S為底面面積，h為高其中S為底面面積、h為高球的表面積、體積公式243S = 4 tR2 , V = - tR33其中R為球的半徑一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.1 . f （x） = cos（ X -）最小正周期為g,其中缶0 ,則。=2 .一個骰子連續(xù)投 2次，點數(shù)和為4的概率 1 i3

3、. 表示為a+bi（a,b匚R）的形式，則a + b=1 -i4. A = X（x-1）2 0)的一條切線， 2則實數(shù)b的值為 9. 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形ABC的頂點分別為A(0,a), B(b,0),C(c,0)，點 P (0, p)在線段 AO 上(異于端點)，設(shè)a,b,c, p均為非零實數(shù)，直線 BP,CP分別h),現(xiàn)隨機(jī)地選擇 50位老人做調(diào)查,方程： () x +ray1 _! x+ fl_l y = 0,請你求 OF 的 “ cj Ip a)10.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:12 34 5 67 8 9 10o o o o o按照以上排列的規(guī)律，第n行(n之3)從左向右

4、的第*y2，一，一，11 . x,y,zuR ,x2y+3z = 0,屋的最小值為 xz3個數(shù)為22 x y12 .在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓一五十% =1(a b 0)的焦距為2,以。為圓心,a ba為半徑的圓,過點a- c,0作圓的兩切線互相垂直，則離心率 e=A交AC,AB于點E,F ,一同學(xué)已正確算的 OE的方程:13. 若 AB =2, AC = V2BC ,則 S&BC 的最大值 14. f (x) =ax3 -3x +1 對于 x w Li,i 總有 f (x)之 0成立，貝U a =二、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15. (14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy

5、中，以ox軸為始邊做兩個銳角c(,P ,它們的終邊分別與單位圓相交于 A、B兩點，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為(1)求 tan(u + P)的值；(2)求 a +2P 的值。CB =CD, AD _L BD ,且 E、F 分別是 AB、BD 的中點,16. (14分)在四面體ABCD中, 求證：(1)直線EF面ACD(2)面 EFCL面 BCD17. (14分)某地有三家工廠，分別位于矩形 ABCD的頂點A、B及CD的中點P處，已知AB=20 km, BC=10km,為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形 ABCD的區(qū)域上(含邊界)，且A、B與等距離 的一點。處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道 AO

6、、BO、OP,設(shè)排污管道的總長為 ykm。(1)按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：設(shè)/ BAO= 0 (rad),將y表示成。的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)OP=x(km),將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；B(2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短。218. (16分)設(shè)平面直角坐標(biāo)系 xoy中，設(shè)二次函數(shù) f(x)=x +2x + b(xW R)的圖像與兩坐標(biāo)軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C。求：(1)求實數(shù)b的取值范圍(2)求圓C的方程(3)問圓C是否經(jīng)過某定點(其坐標(biāo)與b無關(guān))？請證明你的結(jié)論。19. (16分)(1)設(shè)a1,a2,an是各項均不為零的等差數(shù)列(n

7、4),且公差d00,若將此數(shù)列 刪去某一項得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列：一 ,a1 ,當(dāng)n=4時，求 二的數(shù)值；求n的所有可能值；(2)求證：對于一個給定的正整數(shù)n(n4),存在一個各項及公差都不為零的等差數(shù)列6,b2,bn,其中任意三項(按原來順序)都不能組成等比數(shù)列。20. （16 分）若 f（x） =3、臼/（x） =2 3、知，xw R,P1, P2為常數(shù),且f （x）= f1（x）,f1（x） f2（x）f2（x）, f（x） f2（x）(1)求f(x) = f1(x)對所有實數(shù)x成立的充要條件(用 P1, P2表示)(2)設(shè) a,b為兩實數(shù)，a 2),證明：n(1 +x)n

8、/-1= kClx .kJ(2)對于正整數(shù)n3,求證：n Z (-1)kkC =0;k 1n(ii)工(-1)kk2C： =0；k 1n 1.2n 1 7(iii)工Cn =21k a k 1 n 1TT二，則切=5ji- -105【答案】102.若將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標(biāo)有拋擲兩次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和為【解析】本小題考查古典概型.基本事件31故P =上4的概率是+h/、1, 2, 3, 4, 5, 6個點的正方體玩具），先后 6X6個，點數(shù)和為 4的有（1,3）、（2,2）、（3,1）共3個,6 6 12【答案】124，一，1-3.若將復(fù)數(shù)一表示為a+bi（a,bw R,i是

9、虛數(shù)單位）的形式，則 a + b=1 -i、填空題：本大題共 1小題，每小題5分，共70分.一一 ， U、， 1.右函數(shù)y=cos（ccx） a0）最小正周期為 6 2-【解析】本小題考查三角函數(shù)的周期公式.T =co21 i 1 i【解析】本小題考查復(fù)數(shù)的除法運算. =i , a = 0, b=1,因此 a + b = 11-i 2, 一2_2_(x -1) 3x + 7 得 x -5x-60,4.若集合 A = x (x-1)2 0）的一條切線，則實數(shù) b的值是 2111-切線的求法.y =一，令一=一得x = 2 ,故切點（2, ln2）, xx 2代入直線方程，得，所以 b=ln2-1

10、.【答案】ln2-19 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)三角形 ABC的頂點分別為 A（0,a）, B（b,0）,C（c,0），點P（0, p）在線段 AO上的一點（異于端點），這里a,b,c, p均為非零實數(shù)，設(shè)直線 BP,CP分別與邊AC, AB交于點E, F ,某同學(xué)已正確求得直線 OE的方 程為1 J1 +色）=0，請你完成直線 OF的方程：lb c.J p a f1 1 1?。╝）x +y =0。=3,當(dāng)且僅當(dāng)4xz4xzx y12.在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓 一十七 =1(a AbA0)的焦距為2c, a b以。為圓心，a為半徑作圓M2 2,若過P ,0作圓M的兩條切線相

11、互垂直，則橢圓的離心率為 I c設(shè)切線 PA、PB互相垂直，又半徑 OA垂直于PA,所以 OAP是等腰直角三角形，故 a- = J2a ,解得e = c =返 ca 2【答案】-22BC = X ,貝U AC= J2x ,13.滿足條件AB =2,AC = J2BC的三角形ABC的面積的最大值【解析】本小題考查三角形面積公式、余弦定理以及函數(shù)思想.設(shè)1:.2根據(jù)面積公式得 S圖BC = AB M BC sin B = x,1 cos B ,根據(jù)余弦定理得2cosB=AB2 BCAC、4 X2-2X22AB BC4x4 -x24x，代入上式得【答案】44x2 2 _ 1128-(x2-12)I

12、4x )16.2x x 2.由三角形三邊關(guān)系有 解得2&-2x0顯然成立；當(dāng).,331x0 即 x =一1,1 】時，f (x )=ax -3x+1 0 可化為，a -x x設(shè)g(x)=/-4，則g(x)=31 24 x),所以g(x)在區(qū)間,加上單調(diào)遞增,在區(qū)間，x2 x3x42IL21上單倜遞減,因此 g (x 1ax = g . J = 4,從而a 4；當(dāng) xv 0 即一1,0 )時，f (x )=ax33x+1 0可化為 a E 烏一工，g (x )= 3產(chǎn))。 x xxg(x )在區(qū)間1,0 )上單調(diào)遞增，因此 g(x man =g(-1)=4，從而aw 4,綜上a =4二、解答題：

13、本大題共6小題，共90分。請在答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答,解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以銳角a, P ,它們的終邊分別交單位圓于A, B兩點的橫坐標(biāo)分別是(1)求 tan(a + P)的值; (2)求2 +2 P的值.,2102、, 55(1)問求tanQ十P)的值，運用正Ox軸為始邊作兩個A, B兩點.已知【試題解析】先由已知條件得、2cos =二,cos102,5 比，第5切的和角公式；第(2)問求a +2P的值，先求出tan(a +2P)的值，再根據(jù)范圍確定角的值。(1)由已知條件即三角函數(shù)的定義可知cos,cos;102.55因a為銳角

14、，故sina 0 ,從而sin工= 1 - cos7.210同理可得 sin - = ,1 -cos2 -因此:1tan: - 7, tan -2tan， tan :1 -tan ： |_tan :7 -2_1-7 12-3 1 tan(：21) =tanG ：)2_11-(-3)-二一：3 二 ,故0 3 +2 口 22一7r - Q又 0:二,0 ：二- 2從而由 tan(口 +2P) = 1 得 ot +2?=416.如圖，在四面體 ABCD中，CB=CD, AD _LBD ,點E, F分別是AB, BD的中點.求證：(1)直線 EF 面 ACD ;(2)平面 EFC _L 面 BCD.

15、【試題解析】 第1問根據(jù)線面平行關(guān)系的判定定理，在面ACD內(nèi)找一條直線和直線 EF平行即可，第2問，需在其中一個平面內(nèi)找一條直線和另一個面垂直，由線面垂直推出面面垂直?！緲?biāo)準(zhǔn)答案】證明：(1) .E,F分別是AB, BD的中點. EF 是4ABD 的中位線，EF/ AD , EF/ 0面 ACD AD=面 ACD 直線 EF/面 ACD(2) - AD BD EF/AD, . EF, BD, CB=CD , F 是BD 的中點，CFXBD又 EFA CF=F,.1.BDIW EFC BD二面 BCD，面 EFC J_W BCD17 .如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形 ABCD的兩個頂點 A,

16、B及CD的中點P處.AB=20km, BC = 10km.為了處理這三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形區(qū)域上(含邊界)且與A, B等距的一點。處，建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO,(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：(i)設(shè)/BAO=e (rad),將y表示成日的函數(shù)；(ii)設(shè)OP = x (km),將y表示成x的函數(shù)； (2)請你選用(1)中的一個函數(shù)關(guān)系確定污水處理廠的 置，使鋪設(shè)的污水管道的總長度最短?！窘馕觥勘拘☆}主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用.(I )由條件知 PQ垂直平分AB ,若/ BAO= 9 (rad)一 10OB =,又 OP= 1010tan 9 ,cos11010.所以 y

17、=OA+OB +OP =+1010tan日,cos U cos U20 -10sin所求函數(shù)關(guān)系式為y 二：cos若 OP=x(km),則 OQ = 10x,所以 OA =OB= J(10x)2+102 = Jx2 -20x + 200所求函數(shù)關(guān)系式為y =x 2 , x2 -20x 200 0MxM10(n)選擇函數(shù)模型，ycos2 Ucos2-10cos os 1-20-10sin? -sin 110 2sin 1-1人，一.1.二 .二令y =0得sin日=&,因為0 日z，所以9 =/當(dāng)日三1,工lW, y0 , y是日的增函數(shù)，所66 4以當(dāng)日=時，ymin =10+10，3。這時點

18、P位于線段AB的中垂線上，在矩形區(qū)域內(nèi)且距離 AB 6、由10、3 以xtlkm bo3218 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，記二次函數(shù)f (x) =x +2x + b ( x= R )與兩坐標(biāo)軸有三個交點.經(jīng)過三個交點的圓記為C.(1)求實數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)問圓C是否經(jīng)過定點(其坐標(biāo)與 b的無關(guān))？請證明你的結(jié)論.解：本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法.(I)令x = 0,得拋物線與y軸交點是(0, b)；令 f (x ) = x2 +2x +b =0 ,由題意 bw0 且 A 0,解得 b 1 且 bw0.(n)設(shè)所求圓的一般方程為x2 y2 Dx E

19、y F 0令y = 0得x2+Dx+F=0這與x2+2x+b=0是同一個方程，故D = 2,F=b .令x = 0得y2+Ey =0,此方程有一個根為 b,代入得出E=-b-1.所以圓C的方程為x2 + y2+2x(b+1)y+b = 0 .(出)圓C必過定點，證明如下：假設(shè)圓C過定點(x0,y0)(x0,y。不依賴于b),將該點的坐標(biāo)代入圓 C的方程， 22并變形為 x +y+2xy+b(1 y0) =0(*)為使(*)式對所有滿足b 4)項等差數(shù)列，且公差 d#0,若將此數(shù)列 刪去某一項后得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列.(i)當(dāng)n=4時，求亙的數(shù)值；d(ii)求n的所有可能值.(2)

20、求證：對于給定的正整數(shù) n (n4),存在一個各項及公差均不為零的等差數(shù)列b, bf bn,其中任意三項(按原來的順序)都不能組成等比數(shù)列.解：(1)當(dāng)n=4時，a1，a2,a3,a4中不可能刪去首項或末項，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項成等比數(shù) 歹U,則推出d=0。2_ . 2a.右刪去 a2,則 出 =a1 4,即(ai +2d) =a(a十 3d)化簡得 ai +4d =0,得一 d若刪去 a3,則 a22 =a1a4,即(a1 +d)2 =a1 (a1 +3d)化簡得 a1 -d = 0 ,得 芻=1 d綜上，得電=或包=1。 d d當(dāng)n=5時，a1,a2,a3,a4, a5中同樣不可能刪去

21、a1,a2,a4,a5,否則出現(xiàn)連續(xù)三項。若刪去 a3 ,則 a1，a5 = a2，a4,即 a1 (a1 + 4d)=(4 + d)，(己 + 3d 此簡得 3d2 = 0 ,因為 d =0,所以a3不能刪去；當(dāng)n6時，不存在這樣的等差數(shù)列。事實上，在數(shù)列a1,a2, a3/H ,an/,an,an中，由于不nn n n n n能刪去首項或末項，若刪去 a2,則必有a1 -an=a3 an/,這與d#0矛盾；同樣若刪去 an也有 aan=a3劣立，這與d#0矛盾；若刪去a3,川，an/中任意一個，則必有aa=a2Wn，這與d #0矛盾。(或者說：當(dāng)n6時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續(xù)的

22、三項)綜上所述，n=4。(2)假設(shè)對于某個正整數(shù) n,存在一個公差為d的n項等差數(shù)列b1,b2,bn ,其中bx書,bybz中 (0 x y z n -1 )為任意三項成等比數(shù)列，則b2y+ =bx41 bz+ ,即 2.22(b1 + yd =(1 b+ x)d1( b 化 Od (y xz)d =(x+z 2y)bid(*)由bd#0知，y2xz與x+ z-2y同時為0或同時不為0當(dāng)y2 xz與x + z -2y同時為0時，有x = y = z與題設(shè)矛盾。皿2,八 一，,一_ ,biy2 -xz故y -xz與x +z -2y同時不為 0,所以由(*)得=二丁d x z-2y因為0 Ex y

23、 f2(x)(1)求f (x) = f1(x)對所有實數(shù)x成立的充分必要條件(用P1, P2表示)；(2)設(shè)a,b是兩個實數(shù)，滿足 ab,且p11p2(a,b),若f(a) = f(b),求證：函數(shù)f (x)在區(qū)間b - aa,b上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為 (閉區(qū)間m,n的長度te 乂為n m)2解：(1)由f(x)的定義可知，f(x) = f1(x)(對所有實數(shù)X)等價于fl (x產(chǎn)f2 (X )(對所有實數(shù)x)這又等價于31 4 2廿田，即3、121 E 3log32 = 2對所有實數(shù)x均成立.(*) 由于 x - P1 x p21Ml(x R) -(x- p2) =| p1 - p2 (

24、xW R)的最大值為 p1 - p2 ,故(*)等價于3科“21M 2 ,即pi - p2 log3 2 ,這就是所求的充分必要條件(2)分兩種情形討論(對所有實數(shù)xwa,b)當(dāng) p1 - p2| 410g32 時,由(1)知 f (x) = fi(x)則由再由函數(shù)a bf (a )= f (b)及a p 1 log32 ，于是(ii) p1 p2 log32時，不妨設(shè) p1p2,則 p2 當(dāng) xMpi 時，有 fi(x)=3pi 3p310g323f = f2(x)從而 f (x) = f2 (x)；當(dāng) pix p2時，fi(x)=3f,及f2(x) = 23p2*,由方程3xf=23P2p

25、1P21xo 二- log3 2221 顯然 pi x0 = p2 -( p2 - pi) log3 2 p2 ,2O這表明x0在p1與p2之間。由易知fi(x) , R MX 三小 f (x)=f2(X),xo ：: x p2綜上可知，在區(qū)間a,b上，f(x)f1(x),a*(參見示意圖2)f2(x) , xo ： x b故由函數(shù)f1(x)及f2(x)的單調(diào)性可知，f (x)在區(qū)間a,b上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為 (x0 p1) +(b -p2),由于 f(a) = f(b),即 3。=2 3b* ,得pip2 = a b log 3 21故由、得(x0 pJ bpz/b pip 2 log

26、 =2綜合(i) (ii)可知，f(x)在區(qū)間a,b上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷)數(shù)學(xué)附加題參考答案21:從A, B, C, D四個中選做2個，每題10分，共20分A.選修41 幾何證明選講如圖，設(shè) ABC的外接圓的切線 AE與BC的延長線交于點 E,Z BAC的平分線與 BC交于點D.求證：ed2=ebLEc.證明：如圖，因為 AE是圓的切線，所以， ABCu/CAE,又因為AD是/BAC的平分線，所以. BAD 二，CAD從而. ABC . BAD -/CAE . CAD 因為. ADE -/ABC . BAD,. DAE CAD CAE所以. A

27、DE =/DAE ,故 EA = ED.因為EA是圓的切線，所以由切割線定理知E A2 = E C E, B而 EA = ED ,所以 ED2 = ECUEBB.選修4-2 矩陣與變換(寸應(yīng)的變換作用下得到曲線 F ,求F在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，設(shè)橢圓4x2+y2=1在矩陣0解：設(shè)P(x0,y0)是橢圓上任意一點，點P(X0,y(O在矩陣A對應(yīng)的變換下變?yōu)辄cP（X0,y（o）則有一 _一2南飛01 x01以一 x0 -2x0y。二 y。=占,所以0 一 2 )0 = V。2222.又因為點P在橢圓上，故4x0 +y0 =1 ,從而(x) +(y0) =1_22所以，曲線F的方程是x +y =1C.選修44 參數(shù)方程與極坐標(biāo)2在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點P（x, y）是橢圓 J