漸變型光纖光射線的理論分析

1、本文格式為Word版，下載可任意編輯漸變型光纖光射線的理論分析 漸變型光纖的剖面折射指數(shù)分布已在圖2-2（b）中給出。從圖中可看出，漸變光纖芯子中的折射指數(shù)n1沿半徑方向r是變化的，它隨r的增加按肯定規(guī)律削減，n1是r的函數(shù)，即為n1(r)，而包層中的折射指數(shù)n2一般是勻稱的。下面將主要討論漸變型光纖中的子午線，以及用射線法分析如何在漸變型光纖中，得到最佳折射指數(shù)分布1漸變型光纖中的子午線漸變型光纖中的射線，也分為子午線和斜射線兩種。斜射線的狀況比較簡單，因此對于漸變型光纖中的射線問題，只分析子午線，由此得出一些必要的公式和概念。如前所述，子午線是限制于光纖的子午面上。階躍光纖的子午線，是經(jīng)過

2、軸線的直線；而漸變型光纖，由于芯子中的折射指數(shù)n1是隨半徑r變化的，因此子午線不是直線，而是曲線。它是靠折射原理將將子午線限制在芯子中沿軸線傳輸，如圖2-8所示。由于芯子中的n1隨r的增加而削減，因此在軸線處，折射指數(shù)最大，即n(0)=n1max；而在芯子和包層的交界面處，折射指數(shù)為n2，即n2=n1(a)。 圖2-8 漸變型光纖中的子午線 設(shè)入射點處r0=0，入射角為，此時的法線為軸線。進入纖芯后的射線，由于折射指數(shù)n是從n1maxn2，因此光射線相當于是從光密媒質(zhì)射向光疏媒質(zhì)，此時法線垂直于軸線，則射線應(yīng)離開法線而折射。當達到rm點后，射線幾乎與軸線平行，而后又由光疏媒質(zhì)射向光密媒質(zhì)，射線

3、又靠近法線而折射，這樣形成了一條按周期變化的曲線。也就是不同入射條件的子午線，在芯子中，將有不同軌跡的折射曲線。2子午線的軌跡方程由于漸變型光纖芯子中的折射指數(shù)n1隨半徑r變化，因此可將纖芯分成若干層折射指數(shù)不同的介質(zhì)。在圖2-9中，給出了漸變型光纖中的一個子午面，各層的折射指數(shù)為而且。若一射線在光纖端面的r0點射入，射線的軸向角為z0，則，隨著n(r)的削減，軸向角將漸漸削減，而相應(yīng)的向各層介質(zhì)入射光的入射角將漸漸增大，當射線到達rm點時，這時，在這一點，射線和軸線幾乎平行?？梢钥闯觯渚€軌跡與芯子中的折射率分布n(r)有關(guān)，也和射線的入射條件（n0、r0、zo）有關(guān)。 圖2-9子午線的行進

4、軌跡 不管在哪層介質(zhì)中，射線都應(yīng)滿意折射定律，利用折射定律，可推導(dǎo)如下關(guān)系： 其中，n(r)任一層介質(zhì)的折射指數(shù)；z該層介質(zhì)的軸向角。若令，則可得 該式右端表示了射線的起始條件，它等于芯子中任一層介質(zhì)的折射指數(shù)與軸向角余弦的乘積。在圖2-9中所表示的射線上，任取一點P，其軸向角為z，ds為該點射線的切線，當ds0時， 利用式（2-27），則 經(jīng)整理后，可得出 也可寫為 此式即為漸變型光纖子午線的軌跡方程。當光纖的折射指數(shù)分布n(r)和射線的起始條件n0,N0為已知時，即可利用式（2-29）求出r和z的關(guān)系，亦即可以定出射線的軌跡。3漸變型光纖的最佳折射指數(shù)分布在漸變型光纖中，由于芯子中的折射指

5、數(shù)分布不勻稱，因此光射線的軌跡將不再是直線而是曲線。當射線的起始條件不同時，將有不同的軌跡存在。假如選用合適的n(r)分布，就有可能使芯子中的不同射線以同樣的軸向速度前進，從而可減小光纖中的模式色散。關(guān)于光纖中的色散問題，將在后面具體爭論，這里只對其中模式色散作一簡述描述。光功率以脈沖形式注入光纖后，將分布在光纖內(nèi)全部模式之中，而不同模式沿著不同軌跡傳輸。每個模式的軸向傳輸速度不同，于是它們在相同的光纖長度上，到達某一點所需要的時間不同，從而使得沿光纖行進的脈沖在時間上展寬，這種色散稱為模式色散。而漸變型光纖正是利用了n隨變化r的特點，消退了模式色散。這種可以消退模式色散的n(r)分布，稱為最

6、佳折射指數(shù)分布。為了描述這個問題，將引入一個新的概念自聚焦現(xiàn)象（1）光纖的自聚焦?jié)u變型光纖中，不同射線具有相同軸向速度的現(xiàn)象稱為自聚焦現(xiàn)象，這種光纖稱為自聚焦光纖。前面已述，漸變型光纖芯子中的光射線，是周期變化的曲線，如圖2-10 所示。射線和射線從A點到B點完成了一個周期的變化，軸線上的距離L稱為空間周期長度。在漸變型光纖中，芯子軸線處（r=0）的折射指數(shù)最大，n隨r的增加而漸漸削減。由于v=c/n，可以看出，靠近軸線處，射線的速度慢；遠離軸線處，射線的速度快。當光纖中的射線傳輸相同的軸線長度時，則靠近軸線處的射線需要的時間長，但路程短；而遠離軸線處的射線需要的時間短，但路程長。假如折射指數(shù)

7、n的分布取得合適，則可使不同射線沿著不同軌跡在相同的時間內(nèi)走完規(guī)定的軸線長度。也就是光纖中不同的子午線遠離軸線的射線路徑長，而靠近軸線的射線路徑短，由于各點的光速不同，使它們在相同時間，具有相同的空間周期長度，即說明它們在光纖中可以自聚焦。 圖2-10 射線軌跡 因此，不同的模式，在折射指數(shù)分布不勻稱的光纖內(nèi)，只要n(r)取得合適，可使它們沿著不同路徑傳輸時，所需要的時間差別不是太大，即認為它們具有相同的軸向速度，從而消退了模式色散。這樣，就得到一個結(jié)論：具有不同起始條件的子午線，假如它們的空間周期長度相同，則這些子午線將同時到達終端，就可以在光纖中產(chǎn)生自聚焦。這種可使光纖中產(chǎn)生自聚焦時的折射

8、率分布，稱為最佳折射指數(shù)分布。 （3） 最佳折射指數(shù)分布的形式畢竟什么樣的折射指數(shù)分布形式，可以使得光纖內(nèi)的子午線產(chǎn)生自聚焦呢？對于這個問題，必需是在肯定的條件下來爭論，即 輸入纖芯的光功率，對各個模式是勻稱激勵的； 光的中心波長0不變； 各個模式在光纖中的傳輸損耗是相同的。依據(jù)前人閱歷，在這些假定條件下，當光纖芯子的折射率按雙曲正割型分布時，不同起始條件的子午線，在纖芯中可得到相同的空間周期長度，即可以得到子午線的自聚焦。關(guān)于這個問題，應(yīng)用漸變型光纖子午線的軌跡方程，即可得到證明。為了分析便利，常將光纖的折射指數(shù)分布函數(shù)，寫成指數(shù)形式，即 其中，n(0)軸線處的折射指數(shù)； 任意常數(shù)，也可稱為

9、漸變指數(shù)；A與起始條件無關(guān)的常數(shù)。當 = 時，n(r)=n(0),即為階躍光纖折射指數(shù)的表達式；當為任意數(shù)時，代入式（2-30）中，則為漸變型光纖的折射指數(shù)表示式。這樣，在=2 時 稱為平方律型光纖的折射指數(shù)表示式。它是漸變型光纖中的一種形式。對于雙曲正割型折射指數(shù)分布光纖，其折射指數(shù)分布可寫為 它的冪級數(shù)綻開式為 對于=2的平方律型折射指數(shù)分布光纖，依據(jù)式（2-31），可寫出它的綻開式為 假如忽視它們的高次項，則可以看出式（2-33）和式（2-34）有相同的形式，為 因此，可得出這樣的結(jié)論：嚴格來講，只有折射指數(shù)按雙曲正割型分布時的光纖，才可使光纖中子午線產(chǎn)生自聚焦。而由于平方律型折射指數(shù)分

10、布光纖的折射率分布接近于雙曲正割型光纖的折射率分布，因此可認為平方律型折射指數(shù)分布光纖具有較小的模式色散的特點。它的折射指數(shù)分布形式，接近于最佳折射指數(shù)分布，這樣可簡化分析。所以，在下面的爭論中，均以平方律型折射指數(shù)分布光纖為例。下面確定式（2-30）中的常數(shù)A.由式（2-30）可得出： 當r=a時， 由于 則得出 將式（2-38）代入式（2-30），得出 此式為漸變型光纖次方的折射率表示式。當=2時，得出 式（2-40）即為平方律型折射指數(shù)分布光纖的折射指數(shù)表示式，亦稱為漸變型光纖的最佳折射指數(shù)分布表示式。4漸變型光纖的本地數(shù)值孔徑在階躍光纖中，由于芯子中的折射指數(shù)n1是不變的，因此，纖芯中各點的數(shù)值孔徑都是相同的。而漸變型光纖芯子中折射指數(shù)n1是隨半徑r變化的，因此其數(shù)值孔徑是芯子端面上位置的函數(shù)。所以把射入纖芯某點r處的光線的數(shù)值孔徑，稱為該點的本地數(shù)值孔徑，記作NA(r)。只有當入射光線的端面入射角max的射線，才可形成導(dǎo)波。對于漸變型光纖芯子中某一點的數(shù)值孔徑，依據(jù)式（2-5），可寫為 式中，r為光纖芯子中任一點到軸線之間的距離；n(r)為該點的折射指數(shù)。從式（2-41）可看出，漸變型光纖的本地數(shù)值孔徑與該點的折射指數(shù)n(r)有關(guān)。當折射指數(shù)越大時，本地數(shù)值孔徑也越大，表示光纖捕獲射線的力