31函數(shù)的單調(diào)性

1、1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)目標(biāo)：1.使學(xué)生理解增函數(shù)、減函數(shù)的概念；2.使學(xué)生掌握判斷某些函數(shù)增減性的方法；3.培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行判斷推理的能力；4.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、辯證思維的能力；5.養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣。教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的概念教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明教學(xué)方法：講授法教學(xué)過(guò)程：（I）復(fù)習(xí)回顧1.函數(shù)有哪幾個(gè)要素？2.函數(shù)的定義域怎樣確定？怎樣表示？3.函數(shù)的表示方法常見(jiàn)的有哪幾種？各有什么優(yōu)點(diǎn)？4.區(qū)間的表示方法.前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、表示方法以及區(qū)間的概念，現(xiàn)在我們來(lái)研究一下函數(shù)的性質(zhì)（導(dǎo)入課題，板書課題）。（II）講授新課1.引例：觀察

2、y=x2的圖象，回答下列問(wèn)題（投影1）問(wèn)題1：函數(shù)y=x2的圖象在y軸右側(cè)的部分是上升的，說(shuō)明什么？隨著x的增加，y值在增加。問(wèn)題2：怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示呢？設(shè)x1、x20，+，得y1=f(x1), y2=f(x2).當(dāng)x1<x2時(shí)，f(x1)< f(x2).(學(xué)生不一定一下子答得比較完整，教師應(yīng)抓住時(shí)機(jī)予以啟發(fā))。結(jié)論：這時(shí)，說(shuō)y1= x2在0，+上是增函數(shù)。（同理分析y軸左側(cè)部分）由此可有：2.定義：（投影2）一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1x2時(shí)都有f(x1)< f(x2).那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是

3、增函數(shù)（increasing function）。如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)都有f(x1)>f(x2).那么就是f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)(decreasing function)。如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函說(shuō)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。注意：（1）函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；（2）注意區(qū)間上所取兩點(diǎn)x1,x2的任意性；（3）函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是一個(gè)局部概念。（III）例題分析例

4、1.下圖是定義在閉區(qū)間上的函數(shù)y=f(x)的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性（課本P34例1）。問(wèn)題3：y=f(x)在區(qū)間，上是減函數(shù)；在區(qū)間，上是增函數(shù)，那么在兩個(gè)區(qū)間的公共端點(diǎn)處，如：x=-2,x=-1,x=3處是增函數(shù)還是減函數(shù)？分析：函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，對(duì)于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因此沒(méi)有增減變化，所以不存在單調(diào)性問(wèn)題；另一方面，中學(xué)階段研究的是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，對(duì)于閉區(qū)間的連續(xù)函數(shù)而言，只要在開區(qū)間單調(diào)，則它在閉區(qū)間也單調(diào)。因此在考慮它的單調(diào)區(qū)間時(shí)，包括不包括端點(diǎn)都可以（要注意端點(diǎn)是否在定義域范圍內(nèi)）。說(shuō)明：要了解函數(shù)

5、在某一區(qū)間上是否具有單調(diào)性，從圖上進(jìn)行觀察是一種常用而又粗略的方法。嚴(yán)格地說(shuō)，它需要根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義進(jìn)行證明。例2證明函數(shù)f(x)=3x+2在R上是增函數(shù)。證明：設(shè)任意x1、x2R，且x1<x2.則f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).由x1<x2得x1-x2<0.f(x1)- f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).f(x)=3x+2 在R上是增函數(shù)。分析：判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的方法步驟：a.設(shè)x1、x2給定區(qū)間，且x1<x2；b.計(jì)算f(x1)- f(x2)至最簡(jiǎn)；c.判斷上述差的符號(hào)；d.下結(jié)論。例3教材第34頁(yè)例2。（IV）課堂練習(xí) 課本P35 “探究題”和P38練習(xí)13 注意：通過(guò)觀察圖象，對(duì)函數(shù)是否具有某種性質(zhì)作出一種猜想，然后通過(guò)推理的辦法，證明這種猜想的正確性，是發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的一種常用數(shù)學(xué)方法。（V）課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)，同學(xué)們要切記：?jiǎn)握{(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，同時(shí)在理解定義的基礎(chǔ)上，要掌握證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟，正確進(jìn)行判斷和證