構建建模意識培養(yǎng)創(chuàng)新思維 (2)

1、構建建模意識 培養(yǎng)創(chuàng)新思維嘉興一中（314001）沈新權論文摘要：提高中學數學教學質量，不僅僅是為了提高學生的數學成績，更重要的是能使學生學到有用的數學。為此，筆者認為在中學數學教學中構建數學建模意識無疑是我們中學數學教學改革的一個正確的方向。本文結合自己的教學體會，從理論上及實踐上闡述：、構建數學建模意識的基本方法。、通過建模教學培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維。關鍵詞：數學建模、數學模型方法、數學建模意識、創(chuàng)新思維。一、引言材料一：如果我們在高中學生中作一個調查，問其學習數學的目的是什么？可能大部分同學的回答是：為了高考；如果我們在非數學系的在讀大學生中作一個調查，問其學習數學的用處是什么？可能大部分同

2、學的回答是：應付考試。材料二：從1993年起在高考試題中強調了考查數學應用問題，1993年1994年在小題中考到了應用題，尤其是1994年考了三個小題，其中一道題是測量某物理量的“最佳近似值”，試題新穎，文字較長，應用性較強，其結果理科難度為0.29，文科為0.16，得分率較低。從1995年1999年高考加大了應用題力度，連續(xù)五年出了大題，這些題目成了不少同學取得高分的“攔路虎”，解答不太理想。應該說，我們的中學數學教學是一種“目標教學”。一方面，我們一直想教給學生有用的數學，但學生高中畢業(yè)后如不攻讀數學專業(yè)，就覺得數學除了高考拿分外別無它用；另一方面，我們的“類型十方法”的教學方式的確是提高

3、了學生的應試“能力”，但是學生一旦碰到陌生的題型或者聯(lián)系實際的問題卻又不會用數學的方法去解決它。大部分同學學了十二年的數學，卻沒有起碼的數學思維，更不用說用創(chuàng)造性的思維自己去發(fā)現問題，解決問題了。由此看來，中學數學教與學的矛盾顯得特別尖銳。加強中學數學建模教學正是在這種教學現狀下提出來的。“無論從教育、科學的觀點來看，還是從社會和文化的觀點來看，這些方面（數學應用、模型和建模）都已被廣泛地認為是決定性的、重要的。”我國普通高中新的數學教學大綱中也明確提出要“切實培養(yǎng)學生解決實際問題的能力”要求“增強用數學的意識，能初步運用數學模型解決實際問題，逐步學會把實際問題歸結為數學模型，然后運用數學方法

4、進行探索、猜測、判斷、證明、運算、檢驗使問題得到解決?！边@些要求不僅符合數學本身發(fā)展的需要，也是社會發(fā)展的需要。因為我們的數學教學不僅要使學生獲得新的知識而且要提高學生的思維能力，要培養(yǎng)學生自覺地運用數學知識去考慮和處理日常生活、生產中所遇到的問題，從而形成良好的思維品質，造就一代具有探索新知識，新方法的創(chuàng)造性思維能力的新人。二、數學建模與數學建模意識著名數學家懷特海曾說：“數學就是對于模式的研究”。所謂數學模型，是指對于現實世界的某一特定研究對象，為了某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，并通過數學語言表述出來的一個數學結構，數學中的各種基本概念，都以各自相應的現實原

5、型作為背景而抽象出來的數學概念。各種數學公式、方程式、定理、理論體系等等，都是一些具體的數學模型。舉個簡單的例子，二次函數就是一個數學模型，很多數學問題甚至實際問題都可以轉化為二次函數來解決。而通過對問題數學化，模型構建，求解檢驗使問題獲得解決的方法稱之為數學模型方法。我們的數學教學說到底實際上就是教給學生前人給我們構建的一個個數學模型和怎樣構建模型的思想方法，以使學生能運用數學模型解決數學問題和實際問題。具體的講數學模型方法的操作程序大致上為： 實際問題分析抽象建立模型數學問題 檢驗 實際解 釋譯 數學解由此，我們可以看到，培養(yǎng)學生運用數學建模解決實際問題的能力關鍵是把實際問題抽象為數學問題

6、，必須首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數學模型，然后再把數學模型納入某知識系統(tǒng)去處理，這不但要求學生有一定的抽象能力，而且要有相當的觀察、分析、綜合、類比能力。學生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數學建模意識貫穿在教學的始終，也就是要不斷的引導學生用數學思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物關系、空間關系和數學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數學模型，進而達到用數學模型來解決實際問題，使數學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣。三、構建數學建模意識的基本途徑。1、為了培養(yǎng)學生的建模意識，中學數學教師應首先需要提高自己的建模意識。這不僅意味著我們在教學內容和要求上的變化，更

7、意味著教育思想和教學觀念的更新。中學數學教師除需要了解數學科學的發(fā)展歷史和發(fā)展動態(tài)之外，還需要不斷地學習一些新的數學建模理論，并且努力鉆研如何把中學數學知識應用于現實生活。北京大學附中張思明老師對此提供了非常典型的事例：他在大街上看到一則廣告：“本店承接A1型號影印。”什么是A1型號？在弄清了各種型號的比例關系后，他便把這一材料引入到初中“相似形”部分的教學中。這是一般人所忽略的事，卻是數學教師運用數學建模進行教學的良好機會。2、數學建模教學還應與現行教材結合起來研究。教師應研究在各個教學章節(jié)中可引入哪些模型問題，如講立體幾何時可引入正方體模型或長方體模型把相關問題放入到這些模型中來解決；又如

8、在解幾中講了兩點間的距離公式后，可引入兩點間的距離模型解決一些具體問題,而儲蓄問題、信用貸款問題則可結合在數列教學中。要經常滲透建模意識，這樣通過教師的潛移默化，學生可以從各類大量的建模問題中逐步領悟到數學建模的廣泛應用，從而激發(fā)學生去研究數學建模的興趣，提高他們運用數學知識進行建模的能力。3、注意與其它相關學科的關系。由于數學是學生學習其它自然科學以至社會科學的工具而且其它學科與數學的聯(lián)系是相當密切的。因此我們在教學中應注意與其它學科的呼應，這不但可以幫助學生加深對其它學科的理解，也是培養(yǎng)學生建模意識的一個不可忽視的途徑。例如教了正弦型函數后，可引導學生用模型函數y=Asin（wx+）寫出物

9、理中振動圖象或交流圖象的數學表達式。又如當學生在化學中學到CH4CL4，金剛石等物理性質時，可用立幾模型來驗證它們的鍵角為arccos（-1/3）=109°28可見，這樣的模型意識不僅僅是抽象的數學知識，而且將對他們學習其它學科的知識以及將來用數學建模知識探討各種邊緣學科產生深遠的影響。4、在教學中還要結合專題討論與建模法研究。我們可以選擇適當的建模專題，如“代數法建?！薄ⅰ皥D解法建?！?、“直（曲）線擬合法建?！?，通過討論、分析和研究，熟悉并理解數學建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法。甚至可以引導學生通過對日常生活的觀察，自己選擇實際問題進行建模練習，從而讓學生嘗到數學建模成功的

10、“甜”和難于解決的“苦”借亦拓寬視野、增長知識、積累經驗。這亦符合玻利亞的“主動學習原則”，也正所謂“學問之道，問而得，不如求而得之深固也”。 四 把構建數學建模意識與培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維過程統(tǒng)一起來。 在諸多的思維活動中，創(chuàng)新思維是最高層次的思維活動，是開拓性、創(chuàng)造性人才所必須具備的能力。麻省理工大學創(chuàng)新中心提出的培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，主要應培養(yǎng)學生靈活運用基本理論解決實際問題的能力。由此，我認為培養(yǎng)學生創(chuàng)造性思維的過程有三點基本要求。第一，對周圍的事物要有積極的態(tài)度；第二，要敢于提出問題；第三，善于聯(lián)想，善于理論聯(lián)系實際。因此在數學教學中構建學生的建模意識實質上是培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，因為

11、建?；顒颖旧砭褪且豁梽?chuàng)造性的思維活動。它既具有一定的理論性又具有較大的實踐性；既要求思維的數量，還要求思維的深刻性和靈活性，而且在建?；顒舆^程中，能培養(yǎng)學生獨立，自覺地運用所給問題的條件，尋求解決問題的最佳方法和途徑，可以培養(yǎng)學生的想象能力，直覺思維、猜測、轉換、構造等能力。而這些數學能力正是創(chuàng)造性思維所具有的最基本的特征。1、發(fā)揮學生的想象能力，培養(yǎng)學生的直覺思維眾所周知，數學史上不少的數學發(fā)現來源于直覺思維，如笛卡爾坐標系、費爾馬大定理、歌德巴赫猜想、歐拉定理等，應該說它們不是任何邏輯思維的產物，而是數學家通過觀察、比較、領悟、突發(fā)靈感發(fā)現的。通過數學建模教學，使學生有獨到的見解和與眾不同

12、的思考方法，如善于發(fā)現問題，溝通各類知識之間的內在聯(lián)系等是培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的核心。例:證明分析：此題若作為“三角”問題來處理，當然也可以證出來，但從題中的數量特征來看，發(fā)現這些角都依次相差72°，聯(lián)想到正五邊形的內角關系，由此構造一個正五邊形（如圖）由于 .從而它們的各個向量在Y軸上的分量之和亦為0，故知原式成立。這里，正五邊形作為建模的對象恰到好處地體現了題中角度的數量特征。反映了學生敏銳的觀察能力與想象能力。如果沒有一定的建模訓練，是很難“創(chuàng)造”出如此簡潔、優(yōu)美的證明的。正如E·L泰勒指出的“具有豐富知識和經驗的人，比只有一種知識和經驗的人更容易產生新的聯(lián)想和獨創(chuàng)的見解

13、。2、構建建模意識，培養(yǎng)學生的轉換能力恩格斯曾說過：“由一種形式轉化為另一種形式不是無聊的游戲而是數學的杠桿，如果沒有它，就不能走很遠?！庇捎跀祵W建模就是把實際問題轉換成數學問題，因此如果我們在數學教學中注重轉化，用好這根有力的杠桿，對培養(yǎng)學生思維品質的靈活性、創(chuàng)造性及開發(fā)智力、培養(yǎng)能力、提高解題速度是十分有益的。如在教學中，我曾給學生介紹過“洗衣問題”：給你一桶水，洗一件衣服，如果我們直接將衣服放入水中就洗；或是將水分成相同的兩份，先在其中一份中洗滌，然后在另一份中清一下，哪種洗法效果好？答案不言而喻，但如何從數學角度去解釋這個問題呢？我們借助于溶液的濃度的概念，把衣服上殘留的臟物看成溶質，

14、設那桶水的體積為x，衣服的體積為y，而衣服上臟物的體積為z，當然z應非常小與x、y比可忽略不計。第一種洗法中，衣服上殘留的臟物為 ；按第二種洗法：第一次洗后衣服上殘留的臟物為 ；第二次洗后衣服上殘留的臟物為 ；顯然有這就證明了第二種洗法效果好一些。事實上，這個問題可以更引申一步，如果把洗衣過程分為k步（k給定）則怎樣分才能使洗滌效果最佳？學生對這個問題的進一步研究，無疑會激發(fā)其學習數學的主動性，且能開拓學生創(chuàng)造性思維能力，養(yǎng)成善于發(fā)現問題，獨立思考的習慣。3、以“構造”為載體，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力“一個好的數學家與一個蹩腳的數學家之間的差別，就在于前者有許多具體的例子，而后者則只有抽象的理論?！?/p>

15、我們前面講到，“建模”就是構造模型，但模型的構造并不是一件容易的事，又需要有足夠強的構造能力，而學生構造能力的提高則是學生創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造能力的基礎：創(chuàng)造性地使用已知條件，創(chuàng)造性地應用數學知識。如：在一條筆直的大街上，有n座房子，每座房子里有一個或更多的小孩，問：他們應在什么地方會面，走的路程之和才能盡可能地少？分析：如何表示房子的位置？構造數軸，用數軸表示筆直的大街，幾座房子分別位于x1、x2 、 、xn ，不妨設x1 < x2 < < xn ,又設各座房子中分別有a1 、a2 、 、an 個小孩，則問題就成為求實數x ，使f(x)= ai|x - xi|最小。 又如：求函

16、數 的最小值。分析：學生首先想到的用不等式求得最小值為2，但忽略了等號成立的條件。若把函數變換為 ，則可構造數學模型“求過定點A（0,-4）及動點B（2 sin，sin2）的直線AB斜率的最小值”而動點B（2 sin，sin2）的軌跡是拋物線段： 結合圖象知f()的最小值為 。從上面兩個例子可以看出，只要我們在教學中教師仔細地觀察，精心的設計，可以把一些較為抽象的問題，通過現象除去非本質的因素，從中構造出最基本的數學模型，使問題回到已知的數學知識領域，并且能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。五、總結綜上所述，在數學教學中構建學生的數學建模意識與素質教學所要求的培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力是相輔相成，密不可分的。要真正培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，光憑傳授知識是遠遠不夠的，重要的是在教學中必須堅持以學生為主體，不能脫離學生搞一些不切實際的建模教學，我們的一切教學活動必須以調動學生的主觀能動性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維為出發(fā)點，引導學生自主活動，自覺的在學習過程中構建數學建模意識，只有這樣才能使學生分析和解決問題的能力得到長足的進步，也只有這樣才能真正提高學生的創(chuàng)新能力，使學生學到有用的數學。我們相信，在開展“目標教學”的同時，大