高中數(shù)學(xué)第四章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用41函數(shù)的單調(diào)性與極值412函數(shù)的極值北師大版1-1.

1、4.1.2 函數(shù)的極值【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解函數(shù)極值的概念，會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，并會(huì)靈活應(yīng)用.2.掌握函數(shù)極值的判定及求法 3掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件.ET問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)極值的概念 函數(shù)y= f(x)的圖像如圖所示思考1函數(shù)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值與這點(diǎn)附近的函數(shù)值有什么大小關(guān)系？答案 函數(shù)在點(diǎn)x = a的函數(shù)值f( a)比它在點(diǎn)x = a附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都小.思考2 f(a)為多少？在點(diǎn)x = a附近，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么規(guī)律？答案 f( a) = 0，在點(diǎn)x = a附近的左側(cè)f(x)0.思考3函數(shù)在x=b點(diǎn)處的情況呢？答案 函數(shù)在點(diǎn)x = b的函數(shù)值f

2、 (b)比它在點(diǎn)x = b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f (b) = 0,且在點(diǎn)x= b附近的左側(cè)f ( x)0，右側(cè)f( x)0,所以函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值.反思與感悟(1)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為 0是取得極值的必要條件，而不是充分條件. 求可導(dǎo)函數(shù)f (x)的極值的步驟 確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f (x); 求f(x)的拐點(diǎn)，即求方程f (x) = 0的根； 利用f ( X)與f (x)隨X的變化情況表，根據(jù)極值點(diǎn)左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值.特別提醒：在判斷f(x)的符號(hào)時(shí)，借助圖像也可判斷f (X)各因式的符號(hào)，還可用特殊值 法判斷.跟蹤訓(xùn)練

3、1求下列函數(shù)的極值：(1) f(x) = 2x3 + 3x2- 12x+ 1;3 f(x) = x + 3ln x.解 函數(shù)f (x) = 2x3 + 3x2- 12x + 1的定義域?yàn)?R,f(x) = 6x2 + 6x- 12= 6(x + 2)( x 1),解方程 6(x+ 2)( x 1) = 0，得 X1= 2, X2= 1.當(dāng)x變化時(shí)，f ( x)與f(x)的變化情況如下表：x(m,2)2(2, 1)1(1 , +m)f (X)+00+f(x)/極大值21極小值6/所以當(dāng)x= 2時(shí)，f(x)取極大值21;當(dāng)x = 1時(shí)，f (x)取極小值6.3(2)函數(shù)f (x) = x+ 3ln

4、 x的定義域?yàn)?0 ,+s), z.令 f (x) = 0，得 x = 1.當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f (x)的變化情況如下表:x(0 , 1)1(1 , +m)f(X)0+f(x)極小值3/因此當(dāng)x= 1時(shí)，f (x)有極小值3,無(wú)極大值類型二已知函數(shù)極值求參數(shù)例2已知函數(shù)f (x) = x3+ 3ax2 + bx+ a2在x = 1處有極值0,則a =,b=答案2 9解析2/ f ( x) = 3x + 6ax+ b,且函數(shù) f (x)在 x= 1 處有極值 0.f1 0,3 6a+ b= 0,-1即2f1 0,1 + 3a b + a = 0,a= 1,a= 2,解得或b= 3b= 9

5、.當(dāng)a= 1, b= 3時(shí)，f(x) = 3x2+ 6x+ 3 = 3(x + 1)20,此時(shí)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去2當(dāng) a= 2, b= 9時(shí)，f (x) = 3x + 12x + 9= 3(x+ 1)( x + 3).當(dāng)x (汽一3)時(shí)，f (x)0，此時(shí)f (x)為增函數(shù)；當(dāng)x ( 3, 1)時(shí)，f (x)0，此時(shí)f (x)為增函數(shù).故f (x)在x = 1處取得極小值， a= 2, b= 9.引申探究1. 本例的其他條件不變，如果直線y= k與函數(shù)圖像有三個(gè)交點(diǎn)，求k的取值范圍.解 由例2知f (x)極小值=f ( 1) = 0,f(x) 極大值= f( 3) =

6、4,由圖像可知當(dāng) 0k0),故 f ( x)23xx 1 x 23x當(dāng) x (0 , 1)時(shí)，f，(x)0 ; 當(dāng) x (2 ,+s)時(shí)，f (x)0.5 42故在x= 1處函數(shù)f (x)取得極小值二，在x = 2處函數(shù)f(x)取得極大值-In 2.6 33所以x= 1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，x = 2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)類型三函數(shù)極值的綜合應(yīng)用一 1 3 一 一例3函數(shù)f (x) = x 4x+ 4的圖像與直線y = a恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.4 28答案(-3，3)1 3解析 T f (x) = x 4x + 4,2f (X) = x 4= (x + 2)( x 2

7、).令 f(x) = 0，得 x = 2 或 x = 2.當(dāng)x變化時(shí)，f (x) , f (x)的變化情況如下表：x(a, 2)2(2, 2)2(2 ,+a)f(x)+0一0+f(x)/極大值極小值/.當(dāng)x= 2時(shí)，函數(shù)取得極大值f ( 2)=;4當(dāng)x = 2時(shí)，函數(shù)取得極小值f(2) = 3,且f (x)在(一a, 2)和(2 ,+)上是增加的，在 (一2, 2)上是減少的根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值情況，它的圖像大致如圖所示，428結(jié)合圖像知3a0,得盧32716- m0,68 解得16m3iBa 3C.a且 az0D.aw1 且 azo答案 C解析 f(x) = 3ax2 2x+ 1,令 f(x

8、) = 0, 即3ax2 2x + 1 = 0有兩個(gè)不等實(shí)根，az 0,1則彳得a0,33.已知a為函數(shù)f (x) = x3 12x的極小值點(diǎn)，貝U a等于()A. 4 B. 2 C.4 D.2答案 D3解析/ f (x) = x 12x, f (x) = 3x2 12 ,令 f (x) = 0，則 X1= 2, X2= 2.當(dāng) x ( 8, 2) , (2 , +8)時(shí)，f(x)0，則 f(x)單調(diào)遞增;當(dāng) x ( 2, 2)時(shí)，f(x)0).1 + ax(1)當(dāng)a=f時(shí)，求f (x)的極值點(diǎn);(2)若f(x)是單調(diào)函數(shù)，求 a的取值范圍x2,e ax 2ax+1f ( x) =22axt

9、4 ,(1)當(dāng) a=3時(shí),2(x)=x 8x+ 322ax13令 f，(x) = 0，得 X1 = 2，X2= 2當(dāng)x變化時(shí)，f (x), f (x)的變化情況如下表:111 333x(m, 22(2, 2)2(2+)f(X)+00+f(x)/13因此f(x)的極大值點(diǎn)為2，極小值點(diǎn)為2 由題意知ax 2ax+ 1 = 0有兩相等實(shí)根或無(wú)根, 當(dāng)a= 0時(shí)，方程無(wú)根，符合題意，2 當(dāng) azo 時(shí)， = ( 2a) 4aw0,得 0a 1.綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,1.廠規(guī)律與方法1. 在極值的定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值.2. 函數(shù)的極值是函數(shù)的

10、局部性質(zhì).可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x= X0處取得極值的充要條件是f ( X0)=0且在x= X0兩側(cè)f(X)符號(hào)相反3. 利用函數(shù)的極值可以確定參數(shù)的值，解決一些方程的解和圖像的交點(diǎn)問(wèn)題40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1.如圖為y= f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像，則下列判斷正確的是 () f (x)在(3，1)上為增函數(shù)； x = 1是f (x)的極小值點(diǎn)； f (x)在(2，4)上為減函數(shù)，在(一1，2)上為增函數(shù)； x = 2是f (x)的極小值點(diǎn).A. B.C.D.答案 B解析 當(dāng) x ( 3， 1)時(shí)，f (x)0， f (x)在(一3， 1)上為減函數(shù)，在(一1，2)上為增函數(shù)，不對(duì)；x = 1是

11、f (x)的極小值點(diǎn)；當(dāng) x (2，4)時(shí)，f(x)0，f(x)是減函數(shù)；x = 2是f (x)的極大值點(diǎn).故正確.2“函數(shù)y= f(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為 0”是“函數(shù)y= f(x)在這點(diǎn)取得極值”的()A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件答案 B解析 對(duì)于 f (x) = x3, f (x) = 3x2, f (0) = 0,不能推出f (x)在x= 0處取極值，反之成立.故選B.3. 函數(shù) f (x) = x - 3x - 9x( 2x0 ,當(dāng) x ( 1, 2)時(shí)，f (x)0)的極大值為6,極小值為2,則f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A. (

12、 1, 1)B.( g, 1)C.(1 ,+s)D.( g, 1)和(1 ,+s)答案 A解析令 f (x) = 3x2 3a = 0，得 x= a,令 f (x)0，得 x a或 x a；令 f(x)0，得,ax0)的極大值為 6,極小值為 2，二 f ( , a) = 2, f ( _ a) = 6,即 a、1 a 3a：.： a+ b = 2 且一aw;a+ 3a、ia+ b = 6,得 a= 1, b= 4,則 f (x) = 3x2 3, 由 f (x)0，得1x1.則單調(diào)遞減區(qū)間為(一1, 1).故選A.5. 設(shè)三次函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),函數(shù)y= x f (x)的圖像

13、的一部分如圖所示，貝U( )A. f(x)極大值為f ( 3)，極小值為f( ；3)B. f(x)極大值為f ( 3)，極小值為f ( ：3)C. f(x)極大值為f ( 3)，極小值為f (3)D. f (x)極大值為f (3)，極小值為f( 3) 答案 D解析 當(dāng) x0，即 f (x)0 ; 當(dāng)一3x0;當(dāng) x3 時(shí)，f(x)0. f (x)的極大值是f(3)，極小值是f( 3).xk6. 已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x) = (e 1) ( x 1) (k = 1, 2)，則()A. 當(dāng)k= 1時(shí)，f(x)在x= 1處取到極小值B. 當(dāng)k= 1時(shí)，f(x)在x= 1處取到極大值C.

14、 當(dāng)k= 2時(shí)，f(x)在x= 1處取到極小值D. 當(dāng)k= 2時(shí)，f(x)在x= 1處取到極大值答案 C解析當(dāng) k= 1 時(shí)，f( x) = ex x 1, f (1)豐 0. x = 1不是f (x)的極值點(diǎn).當(dāng) k = 2 時(shí)，f(x) = (x 1)( xe + e 2),顯然f (1) = 0,且x在1的左邊附近f(x)0 , f (x)在x= 1處取到極小值.故選C.7. 已知a R,且函數(shù)y = ex + ax(x R)有大于零的極值點(diǎn)，則()A.av 1B.a 111C.avD.a 一ee答案 A解析 因?yàn)閥 = ex + ax,所以y= ex+ a.令 y = 0,即 ex+

15、a= 0,則 ex= a,即 x= ln( a),又因?yàn)閤0，所以一a 1，即av 1.二、填空題8. 函數(shù)y= xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為 .答案 y=-1e解析 令 y= ex + xex= (1 + x)ex = 0,1得 x = 1,二 y=-,151函數(shù)y= xex在極值點(diǎn)處的切線方程為y = .e9.已知函數(shù)f(x) = ax3 + 3x2- 6ax+ b在x= 2處取得極值9，貝U a+ 2b=答案 242解析 f(x) = 3ax + 6x 6a, f (x)在x= 2處取得極值9,即嚴(yán)+ 12時(shí),8a+ 12 12a+ b= 9.a= 2,解得“b= 11. a+ 2b=

16、 24.10. 若直線y = m與y= 3x x3的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 答案 (一2, 2)解析 T y= 3x x3,- y = 3 3x?,令 y= ,得 x= 1,當(dāng) x ( a, 1)時(shí)，y 0；當(dāng) x (1 ,+a)時(shí)，y 0.當(dāng)x= 1時(shí)，y取極大值2,當(dāng)x = 1時(shí)，y取極小值一2.直線y= m與y= 3x x3的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn)， m的取值范圍為2m2.32211. 已知 f (x) = x + ax + bx + a 在 x = 1 處取得極值 10,則 f ( 1) =.答案 302解析 / f (x) = 3x + 2ax+ b,f0,由題意知

17、即.3+ 2a+ b= 0,1 + a+ b+ a2 = 104, . a= 3,11 或 b= 3.經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)a= 3,時(shí),f10,2 、,f (x) = 3(x 1)0,不合題意. f (x) = X3 + 4X2 11x + 16, f ( 1) = 30.三、解答題12. 函數(shù)f (x) = x3 + ax2 + bx + c的圖像如圖所示，且與直線y= 0在原點(diǎn)處相切，函數(shù)的極小值為4.(1) 求a, b, c的值；(2) 求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.解(1) 函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn)， c = 0,即 f (x) = x3 + ax2 + bx, f (x) = 3x + 2ax+ b.又函數(shù)f(x)的圖像與直線y = 0在原點(diǎn)處相切， f (0) = 0,解得 b= 0,2 f (x) = 3x + 2ax= x(3x + 2a). 由 f (x) = 0，得 x = 0或 x = 2a.3由題意可知當(dāng)x=嚳時(shí)，函數(shù)取得極小值一4.2 3 2 2(孑)+