三角形“四心”向量形式的充要條件及其應(yīng)用

1、三角形“四心”向量形式的充要條件及其應(yīng)用1.三角形的“四心”定理的平面幾何證明三角形三邊的中垂線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，稱外心。 證明: 設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O， 則有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂線上，因?yàn)镺到三頂點(diǎn)的距離相等， 故點(diǎn)O是ABC外接圓的圓心 因而稱為外心三角形三邊上的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的垂心。證明: AD、BE、CF為ABC三條高，過(guò)點(diǎn)A、B、C分別作對(duì)邊的平行線，相交成ABC，AD為BC的中垂線；同理BE、CF也分別為 AC、AB的中垂線， 由外心定理，它們交于一點(diǎn)，命題得證三角形三邊中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心。三角形三內(nèi)角平分線

2、交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的圓心，稱內(nèi)心。證明 : 設(shè)A、C的平分線相交于I, 過(guò)I作IDBC，IEAC， IFAB，則有IE=IF=ID因此I也在C的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)P1P3OP2.三角形的“四心” 定理的平面向量表達(dá)式及其證明是的重心(其中是三邊)證明：充分性是的重心若，則，以，為鄰邊作平行四邊形，設(shè)與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，有，得，即四點(diǎn)共線，故為的中線，同理，亦為的中線，所以，為的重心。必要性：是的重心如圖，延長(zhǎng)交于，則為的中點(diǎn)，由重心的性質(zhì)得. P1P3OP點(diǎn)是的垂心證明：是的垂心,同理故當(dāng)且僅當(dāng).ABCDO點(diǎn)是的外心證明：O是ABC的外心|=|=|(或2=2=

3、2)(點(diǎn)O到三邊距離相等)(+)·=(+)·=(+)·=0(O為三邊垂直平分線的交點(diǎn))是的內(nèi)心。(其中是三邊)證明：充分性：是的內(nèi)心=所以，而，分別是，方向上的單位向量，所以向量平分，即平分，同理平分，得到點(diǎn)是的內(nèi)心。必要性：是的內(nèi)心若點(diǎn)O為的內(nèi)心，延長(zhǎng)交于，由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理，有，于是再由，有（定比分點(diǎn)）代入前式中便得.必要性證法二：設(shè)O是內(nèi)任一點(diǎn)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。并設(shè)顯然不共線，由平面向量基本定理，可設(shè)則（）若O是的內(nèi)心，則故必要性得證同時(shí)還可得到以下結(jié)論（）若O是的重心，則故（）若O是的外心則OFEDCBA故（）

4、若O是(非直角三角形)的垂心，則故證明：（A 、E、O 、F四點(diǎn)共圓）同理因此只需證先證第一個(gè)等式（E 、C、D、O四點(diǎn)共圓,為的補(bǔ)角；E 、O、F、A四點(diǎn)共圓,為的補(bǔ)角）所以上式成立，即第一個(gè)等式成立。同理可證：該連等式成立，原題得證。評(píng)注：一箭四雕，需要提醒的是，這里只探求了三角形內(nèi)心向量形式的必要條件，充分性并未證明。3.與三角形的“四心”有關(guān)的一些常見(jiàn)的其它向量關(guān)系式 設(shè)，則向量必平分BAC，該向量必通過(guò)ABC的內(nèi)心; 設(shè)，則向量必平分BAC的鄰補(bǔ)角 設(shè)，則向量必垂直于邊BC，該向量必通過(guò)ABC的垂心 ABC中一定過(guò)的中點(diǎn)，通過(guò)ABC的重心為ABC的重心(P是平面上任意點(diǎn)).證明G是A

5、BC的重心=，即由此可得.(反之亦然(證略) ABC的外心、重心、垂心共線，即證明：（詳細(xì)證明見(jiàn)歐拉線的證明）按重心定理 G是ABC的重心 按垂心定理 ，由此可得 . 設(shè)為ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，I為ABC的內(nèi)心，* 內(nèi)心I（，）證明：由是的內(nèi)心。(其中是三邊)（見(jiàn)內(nèi)心的充要條件的證明）, I（，）.4. 歐拉線的4種證法三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心，依次位于同一直線上，這條直線就叫三角形的歐拉線。 在ABC中，已知O、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：O、G、H三點(diǎn)共線，且OG:GH=1:2。（證九點(diǎn)園園心在歐拉線上略，可查有關(guān)資料）歐拉線的證法1：（平面幾何法）關(guān)于歐拉

6、線的介紹詳見(jiàn)：歐拉線，下面是歐拉線的證明如圖，H、G、O分別是ABC的垂心、重心、外心，連AH，作ABC的外接圓直徑BOD，再連DC、DA，則DCBC，DAABH為ABC垂心 AHBC，CHAB由、可知DCAH，由、可知DACH，故四邊形ADCH為平行四邊形，AH=DC。點(diǎn)O與點(diǎn)M分別是BD、CB的中點(diǎn) DC=2OM，即AH=2OM。作BC邊上的中線AM，連OM、OH；設(shè)OH交AM與點(diǎn)G'OMBC，AHG'MOG'，AH=DC=2OM，AG'=2G'M，因此G'即ABC重心G。故ABC的垂心H、重心G和外心O三點(diǎn)共線，直線HGO即歐拉線。評(píng)注：利

7、用垂心H、外心O作為已知，證中線AM與OH的交點(diǎn)G'為重心。歐拉線的證法2：（平面幾何法）設(shè)H,G,O,分別為ABC的垂心、重心、外心 連接AG并延長(zhǎng)交BC于D, 則可知D為BC中點(diǎn)。連接OD ，又因?yàn)镺為外心，所以O(shè)DBC。連接AH并延長(zhǎng)交BC于E,因H為垂心,所以 AEBC。所以O(shè)D/AE，有ODA=EAD。由于G為重心，則GA:GD=2:1。連接CG并延長(zhǎng)交BA于F,則可知D為BC中點(diǎn)。同理，OF/CM.所以有OFC=MCF連接FD，有FD平行AC,且有DF:AC=1:2。FD平行AC，所以DFC=FCA，F(xiàn)DA=CAD，又OFC=MCF，ODA=EAD，相減可得OFD=HCA,

8、ODF=EAC,所以有OFDHCA,所以O(shè)D:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以HA: OD=GA:GD=2:1,又ODA=EAD，所以O(shè)GDHGA。所以O(shè)GD=AGH,，所以O(shè)GD +OGA=180°,所以AGH +OGA =180°。即O、G、H三點(diǎn)共線。評(píng)注：利用重心G、外心O作為已知，證垂心H在直線OG上。歐拉線的證法3：（向量法）圖設(shè)H,G,O,分別為ABC的垂心、重心、外心.若為的外心，為垂心求證：。作直經(jīng)，連，,有，故，故是平行四邊形，故若為的外心，G為重心求證：證明G是ABC的重心=，即由此可得.(反之亦然(證略)由，由，所以O(shè)、G、H三點(diǎn)共

9、線歐拉線的證法：（向量的坐標(biāo)法）在ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG:GH=1:2?！咀C明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，則有：AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF由題設(shè)可設(shè),，即，故Q、G、H三點(diǎn)共線，且QG：GH=1：2【注】：本例用平面幾何知識(shí)、向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算處理，都較麻煩，而借用向量的坐標(biāo)形式，將向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起，從而，很多對(duì)稱、共線、共點(diǎn)、

10、垂直等問(wèn)題的證明，都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證。5.與三角形的“四心”有關(guān)的高考連接題及其應(yīng)用A F E C TB例1：（2003年全國(guó)高考題）是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 事實(shí)上如圖設(shè)都是單位向量易知四邊形AETF是菱形 故選答案B例2：（2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，如果，則O必為ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 事實(shí)上OBCA 故選答案D例3：已知O為三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)O是三角形ABC的（ ）（A

11、）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 事實(shí)上由條件可推出故選答案D例4：設(shè)是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的（ ）（A）外心 （B）內(nèi)心 （C）重心 （D）垂心 事實(shí)上 故選答案D例5：圖32005年全國(guó)（I）卷第15題“的外接圓的圓心為，兩條邊上的高的交點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)=_”先解決該題：作直經(jīng)，連，,有，故，故是平行四邊形，進(jìn)而，又故，所以評(píng)注：外心的向量表示可以完善為：若為的外心，為垂心，則。其逆命題也成立。例6已知向量，滿足條件+=0，|=|=|=1，求證：P1P2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）證明

12、：由已知+=-，兩邊平方得·=， 同理 ·=·=，|=|=|=，從而P1P2P3是正三角形.反之，若點(diǎn)O是正三角形P1P2P3的中心，則顯然有+=0且|=|=|，即O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，+=0且|=|=|點(diǎn)O是正P1P2P3的中心.6. 練習(xí)題1已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是三角形ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足=(+2),則點(diǎn)P一定為三角形ABC的( B)A.AB邊中線的中點(diǎn) B.AB邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C.重心 D.AB邊的中點(diǎn)分析：取AB邊的中點(diǎn)M，則，由=(+2)可得3，即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過(guò)重心。2在同一個(gè)平

13、面上有及一點(diǎn)滿足關(guān)系式：2+2=2+222，則為ABC的( D )A.外心 B.內(nèi)心 C重心 D垂心3已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足：，則P為ABC的( C )A.外心 B. 內(nèi)心 C重心 D垂心4已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P的軌跡一定通過(guò)ABC的(C )A.外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D垂心5已知ABC，P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足：，則P點(diǎn)為三角形的 ( D )A. 外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心6已知ABC，P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)為三角形的(B  )A.外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心7在三角形ABC中，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，則P點(diǎn)一定通過(guò)ABC的(B )A.外心 B. 內(nèi)心 C. 重心 D. 垂心8.非零向量與滿足(+)·=0且·=,則ABC為(D)A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 D等邊三角形解析：非零向量與滿足()·=0，即角A的平分線垂直于BC，AB=AC，又=，A=，所以ABC為等邊三角形.9.ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m= 110.點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)