動(dòng)量矩習(xí)題課

1、七應(yīng)用舉例七應(yīng)用舉例例例1 均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度0，墻面、地面與圓柱接觸處的動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為 f ，滾阻不計(jì)，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需要的時(shí)間。解解：選取圓柱為研究對(duì)象。(注意只是一個(gè)剛體)受力分析如圖示。運(yùn)動(dòng)分析：質(zhì)心C不動(dòng)，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程)0 , 0(CyCxaaBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212補(bǔ)充方程：BBAANfFNfF , 將式代入、兩式，有0) 1(2QNfB1 , 1 , 1 , 1 22222fQfFfQfNfQfFfQNAABB將上述結(jié)果代入式，有dtffrgfdrgfffdtdt0202112

2、 , 2110解得：) 1 ( 2)1 (02fgfrftBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212補(bǔ)充方程：BBAANfFNfF , 例例2 兩根質(zhì)量各為8 kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成T 字型，可繞通過O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)OA處于水平位置時(shí), T 形桿具有角速度 =4rad/s 。求該瞬時(shí)軸承O的反力。解解：選T 字型桿為研究對(duì)象。受力分析如圖示。 rad/s 20.75 5 . 08 . 9825. 08 . 98 5 . 081217225 . 025. 0 mgmgIO2222121712131mlmlmlmlIO由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程，得OxCxCXmama2

3、1mgmgYmamaOyCyC21N 96) 5 . 04 25. 04( 8)( 2221xCxCOaamXN 3 .32 ) 5 . 075.20 25. 075.20 ( 88 . 982OY例例3 均質(zhì)圓柱體A和B的重量均為P，半徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩重不計(jì)且不可伸長(zhǎng)，不計(jì)軸O處摩擦。求求： 圓柱B下落時(shí)質(zhì)心的加速度。 若在圓柱體A上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩M，試問在什么條件下圓柱B的質(zhì)心將上升。選圓柱B為研究對(duì)象rTrgPB212TPagPC運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：BACrraTrrgPA221解：選圓柱A為研究對(duì)象由、式得：BA, 52rgBAga

4、C54 代入、式得：由動(dòng)量矩定理：rPMMrgPrvgPrgPdtdeOBCA2)222()(22rPMrgPragPrgPBcA222222補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式：BACrra代入式，得grPrPMarPMargPargPCCC5)2(2 ; 222當(dāng)M 2Pr 時(shí)， ，圓柱B的質(zhì)心將上升。0Ca再取系統(tǒng)為研究對(duì)象BCAOrgPrvgPrgPL22222rPMMeO2)(例例4 質(zhì)量為m半徑為R的均質(zhì)圓輪置放于傾角為 的斜面上，在重力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)。設(shè)輪與斜面間的靜、動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)為f、f，不計(jì)滾動(dòng)摩阻，試分析輪的運(yùn)動(dòng)。解解：取輪為研究對(duì)象。 受力分析如圖示。 運(yùn)動(dòng)分析：取直角坐標(biāo)系 Oxy

5、 aC y =0，aC x =aC， 一般情況下輪作平面運(yùn)動(dòng)。 根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)微分方程，有FmgmaCsinNmgcos 0FRIC由式得cosmgN ，兩式中含有三個(gè)未知數(shù)aC 、F、 ，需補(bǔ)充附加條件。1設(shè)接觸面絕對(duì)光滑。因?yàn)檩営伸o止開始運(yùn)動(dòng)，故0，輪沿斜面平動(dòng)下滑。常量。 , 0 ,sin , 0gaFCsin31 ; sin32 ,sin32mgFgRgaC2設(shè)接觸面足夠粗糙。輪作純滾動(dòng)，所以可解得,raC3設(shè)輪與斜面間有滑動(dòng)，輪又滾又滑。F=fN，可解得cos ,cos2 ,)cos(sinmgfFRgfgfaC輪作純滾動(dòng)的條件：cossin31maxfmgfNFmgFtg31f表明：當(dāng)時(shí)，解答3適用； 當(dāng)時(shí)，解答2適用；f =0 時(shí)解答1適用。t