EXCEL規(guī)劃求解工具在優(yōu)化機(jī)械設(shè)計(jì)平面連桿機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用

1、EXCEL 規(guī)劃求解工具在優(yōu)化機(jī)械設(shè)計(jì)平面連桿機(jī)構(gòu)中的應(yīng)用摘 要 :Excel 規(guī)劃求解工具有很強(qiáng)的功能 , 在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用 。 在解決這些領(lǐng)域某些問題中 , 如果不用 Excel 規(guī)劃求解工具 , 就需要使 用相當(dāng)復(fù)雜的編程運(yùn)算 。 本文舉例介紹了 Excel 規(guī)劃求解工具在機(jī)械 設(shè)計(jì)中的應(yīng)用 , 使設(shè)計(jì)更加優(yōu)化 。關(guān)鍵詞 :Excel ; 規(guī)劃求解工具 ; 機(jī)械設(shè)計(jì) ; 連桿機(jī)構(gòu) ; 優(yōu)化設(shè)計(jì);左金池(鄭州鐵路局科學(xué)技術(shù)研究所河南 鄭州 4500521. 前言優(yōu)化設(shè)計(jì)是在電子計(jì)算機(jī)技術(shù)廣泛應(yīng) 用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì) 。 它 是以電子計(jì)算機(jī)為計(jì)算工具 , 利用最優(yōu)化 原

2、理和方法尋求最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)的一門先進(jìn) 設(shè)計(jì)技術(shù) 。 其設(shè)計(jì)參數(shù)就是優(yōu)化設(shè)計(jì)的最 優(yōu)解 。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是把優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用到機(jī) 械設(shè)計(jì)中去 , 通過對(duì)機(jī)械零件 、 機(jī)構(gòu) 、 部件 乃至整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)和機(jī)器的優(yōu)化設(shè)計(jì) , 確 定出它們的最佳參數(shù)和結(jié)構(gòu)尺寸 , 從而提 高各種機(jī)械產(chǎn)品及技術(shù)裝備的設(shè)計(jì)水平 。 實(shí)踐證明 , 在機(jī)械設(shè)計(jì)中采用優(yōu)化設(shè)計(jì)方 法 , 不僅可以減輕機(jī)械設(shè)備自重 、 降低材料 消耗與制造成本 , 而且可以提高產(chǎn)品的質(zhì) 量與工作性能 , 同時(shí)還能大大縮短產(chǎn)品設(shè) 計(jì)周期 。 因此 , 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅成為工程 優(yōu)化設(shè)計(jì)的一個(gè)重要領(lǐng)域 , 而且得到廣大 機(jī)械設(shè)計(jì)人員和工程技術(shù)人員的重視和應(yīng) 用

3、 。2. 問題的提出機(jī) 械 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 需 要 借 助 于 電 子 計(jì) 算 機(jī) 。 一種方法是要求設(shè)計(jì)人員能夠編制和 運(yùn)用語言程序軟件 , 但對(duì)許許多多不會(huì)編 制和運(yùn)用語言程序軟件的設(shè)計(jì)人員來說就 無能為力了 。 另一種方法是借助軟件 Excel 中的規(guī)劃求解工具 (以下簡稱規(guī)劃求解工 具 求得優(yōu)化參數(shù) 。從規(guī)劃求解 工具結(jié)構(gòu)設(shè) 計(jì)上來看 , 達(dá) 到了和優(yōu)化設(shè)計(jì)所必需的要素高 度統(tǒng)一 。 這就為不會(huì)編制和運(yùn)用語言程序軟件的設(shè) 計(jì)人員提供了便利的工具 。 對(duì)于機(jī)械中平 面四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì) , 最常見的是實(shí)現(xiàn)給 定運(yùn)動(dòng)規(guī)律和再現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì) 。 下例為一個(gè)要求再現(xiàn)預(yù)期的傳遞函數(shù)運(yùn)動(dòng) 軌跡

4、時(shí)的誤差最小的平面四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化 設(shè)計(jì) 。 現(xiàn)設(shè)計(jì)一曲柄搖桿機(jī)構(gòu) , 如圖 1所 示 。要 求 當(dāng) 曲 柄 由 0回 轉(zhuǎn) 至 0+/2期 間 , 搖桿的輸出角 實(shí)現(xiàn)如下給定的函數(shù)綜合其他 鄭鐵科技通訊 2/201042 關(guān)系變化 :=0+2(i -0 /3式中 0和 0分別為對(duì)應(yīng)于搖桿在右 極限位置時(shí)曲柄和搖桿的位置角 , 它們是 以機(jī)架 AD 為 始線 逆 時(shí) 針 度 量 的 角 度 , 并 且還要求在該區(qū)間運(yùn)動(dòng)過程中最小傳動(dòng)角min 45°。3. 建立數(shù)學(xué)模型 3.1確立設(shè)計(jì)變量由機(jī)械原理可知 , 曲柄連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn) 動(dòng)規(guī)律只與各桿的相對(duì)長度有關(guān) , 因此可 將曲柄桿長 L 1取為

5、 1(長度單位 , 其它三 桿長度可表示為曲柄桿長 L 1的倍數(shù) 。 另外 , 根據(jù)機(jī)構(gòu)在機(jī)器中的許用空間 , 可以適當(dāng) 預(yù)選機(jī)架的長度 , 取 L 4=5(長度單位 。 由圖1所示的幾何關(guān)系可知 :0=arcos (L1+L2 2-L 32+L42/2(L1+L2L 4 0= arcos (L1+L2 2-L 32-L 42/2L3L 4 它們是桿長的函數(shù) , 不再是獨(dú)立的參 數(shù) 。 經(jīng)以上分析 , 只剩下 L 2和 L 3兩個(gè)獨(dú)立 變量 , 所以該優(yōu)化問題的設(shè)計(jì)變量為X= L 2,L 3 因此本題是一個(gè)二維優(yōu)化問題 。3.2建立目標(biāo)函數(shù)由上述設(shè)計(jì)變量的分析可知 , 獨(dú)立參 數(shù)只有兩個(gè) 。

6、因此不便直接利用機(jī)構(gòu)本身 的數(shù)學(xué)表達(dá)式來構(gòu)造目標(biāo)函數(shù) , 需要用函 數(shù)的再現(xiàn)精度的概念建立目標(biāo)函數(shù) 。 可取 以機(jī)構(gòu)輸出角的平方偏差最小原則來建立 目標(biāo)函數(shù) 。 為此 , 把曲柄在從 0到 0+/2的區(qū)間分成 s 等分 。 從動(dòng)件輸出角 也有 相應(yīng)的分點(diǎn)與之對(duì)應(yīng) 。 若將各分點(diǎn)標(biāo)號(hào)記作 i , 以各分點(diǎn)輸出角的偏差平方總和作為 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù) , 則f(X= (i -i 2所求值為最小 。 這一優(yōu)化目標(biāo)就是使 實(shí)際的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 i 和預(yù)期的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 i 之間的誤差為最小 。 式中 , i 為期望輸出 角 , 按給定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律計(jì)算 :i =0+2(i -0 /3, i =0+i/2s(i=0,1,2

7、, ,s式中的 s 為運(yùn)動(dòng)區(qū)間的分 段數(shù) , i 為機(jī)構(gòu)實(shí)際輸出角 , 計(jì)算式為i =-i -i式中的 i 和 i 可 由圖 2中 的 三 角 函 數(shù)求得i =arcos(ri 2+L32-L 22/2ri L 3 i =arcos(ri 2+L42-L 12/2ri L 4 r i =(L12+L42-2L 1L 4cos i 0.5上述各式便構(gòu)成了目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá) 式 , 對(duì)應(yīng)于每一個(gè)設(shè)計(jì)方案 (即給定 L 2、 L 3 , 可 計(jì)算出輸出角的平方偏差 f(X。3.3確定約束條件根據(jù)已知條件 , 該機(jī)構(gòu)的約束條件有 兩個(gè)方面 :一是傳遞運(yùn)動(dòng)過程中最小傳動(dòng) 角 應(yīng)大于 45°,

8、據(jù)此得出約束條件為 :G 1(X=36-1.414L2L 3-L 22-L 32 0G 2(X=L 22+L32-16-1.414L 2L 3 0二是為保證平面四桿機(jī)構(gòu)滿足曲柄存 在條件 , 其約束條件為 :G 3(X=1-L2 0, G 4(X=1-L 3 0, G 5(X=6-L2-L 3 0鄭鐵科技通訊 2/2010綜合其他圖 1曲柄搖桿機(jī)構(gòu)圖 2曲柄搖桿機(jī)構(gòu)中間位置 43G 6(X=L 2-L 3-4 0, G 7(X=L 3-L 2-4 0 4. 使用 EXCEL 規(guī)劃求解工具的計(jì)算 過程4.1把曲柄轉(zhuǎn)角從 0到 0+/2的區(qū) 間分成 10等分 (可以分成任意等分 , 因篇 幅所限

9、, 在此分成 10等分 。 按給定的單元 格 , 輸入數(shù)據(jù) , 可計(jì)算出曲柄的 10個(gè)輸入 轉(zhuǎn)角 i 。4.2按公式 =0+2(i -0 /3, 在 單元格中輸入數(shù)據(jù) , 可計(jì)算出對(duì)應(yīng)曲柄轉(zhuǎn) 角的搖桿期望轉(zhuǎn)角 i 。4.3按公式 i =-i -i i =arcos(ri 2+ L 32-L 22/2ri L 3 、 i =arcos(ri 2+L42-L 12/2ri L 4 和 r i = (L12+L42-2L 1L 4cos i 0.5 , 在單元格中輸入數(shù) 據(jù) , 可計(jì)算出搖桿的實(shí)際轉(zhuǎn)角 i 。4.4按給定的單元格 , 輸入數(shù)據(jù) , 可計(jì) 算出搖桿期望輸出轉(zhuǎn)角和實(shí)際輸出轉(zhuǎn)角差 的平方

10、(i -i 2。4.5為方便數(shù)據(jù)引用 , 在單元格中輸 入 r i =(L12+L42-2L 1L 4cos i 0.5數(shù)據(jù) 。4.6為方便單元格的引用 , 在單元格 中輸入 L 1、 L 4、 0和 0數(shù)據(jù) 。4.7為了保證規(guī)劃求解工具的使用 , 必須設(shè)置可變單元格 、 目標(biāo)單元格和約束 單元格 。4.8給 L 2和 L 3的單元格輸入初值 , 輸 入初值的目的是保證所輸入數(shù)據(jù)的單元格 中的數(shù)據(jù)非錯(cuò)誤顯示 。 可以試探性的輸入 , 以觀察單元格數(shù)據(jù)是否為非錯(cuò)誤顯示 。 4.9調(diào)出規(guī)劃求解工具 , 按圖 3輸入 所引用的目標(biāo)函數(shù)單元格 、 可變單元格及 約束單元格的約束條件 。4.10點(diǎn)擊圖

11、3所示的求解按鈕 , 即可 得出本例中的 L 2和 L 3的最優(yōu)值 、 目標(biāo)函數(shù) 的最小值 、 各分點(diǎn)的角度值和各分點(diǎn)角度 值平方差 。 到此為止 , 完成了本例所求的最 優(yōu)值 :L 1=1(長度單位 、 L 2=4.15(長度單位 、 L 3= 2.29(長度單位 、 L 4=5(長度單位 0=0.45弧 度 (26.79°、 0=1.73弧 度 (99.17°目 標(biāo) 函 數(shù) 最 小 值 f (X= (i -i 2= 0.00317弧度 (0.18°。5. 結(jié)論5.1在使用規(guī)劃求解工具求解時(shí)有時(shí) 會(huì)出現(xiàn)求不出最優(yōu)解 。 對(duì)此除可按一般的 規(guī)劃求解工具的方法調(diào)整外

12、 , 還可以使用 另一種方法 。 在求多維目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解時(shí) , 理論上有一種坐標(biāo)輪換法的算法 。 將其應(yīng) 用到規(guī)劃求解工具中 , 就 (下轉(zhuǎn)第 46頁 圖 3規(guī)劃求解工具界面綜合其他 鄭鐵科技通訊 2/2010 44 !圖 2改進(jìn)后的壓型模具1. 緊固螺栓 2. 加強(qiáng)筋 3. 側(cè)護(hù)板 4. 調(diào)整板 (若干件 5. 支撐板 6. 工件 7. 浮動(dòng)圓鋼8. 底板數(shù)量 , 節(jié)約了成本 。2. 由于增加了浮動(dòng)圓鋼 , 在壓制過程中 , 避免了拉傷工件表面的現(xiàn)象 , 同時(shí)也避 免了后期的補(bǔ)焊和修磨工作 , 提高了加工質(zhì)量 。 另外也減少了摩擦 , 降低了壓力 機(jī)的功耗 , 節(jié)約了能源 。3. 由于在調(diào)整

13、板上開設(shè)長槽孔 , 緊固螺栓松動(dòng)后 , 即可取出或插入調(diào)整 板 , 調(diào)整簡單 、 方便 。四 、 結(jié)束語通過多功能組合式壓型模具的投入使用 , 基本滿足了我廠壓型工件的 加工要求 , 產(chǎn)品質(zhì)量得到了大幅度提 高 , 獲得了委托加工廠家的好評(píng) 。 另外 也避免了模具的重復(fù)制作 , 降低了壓 力機(jī)的功耗 , 大幅度降低了加工成本 。(上接第 44頁 是在可變單元格只輸入一 個(gè)設(shè)計(jì)變量 , 將其余設(shè)計(jì)變量看作是常量 , 輪換試探幾次 , 并保留計(jì)算結(jié)果 , 最后輸入 多維目標(biāo)函數(shù)的所有設(shè)計(jì)變量 , 便可得出 最優(yōu)解 。 本例就是采用了這種方法得出的 最優(yōu)解 。5.2本文雖然介紹了一個(gè)使用規(guī)劃求解工具

14、來優(yōu)化機(jī)械設(shè)計(jì)中平面四連桿機(jī)構(gòu) 的實(shí)例 , 但其有著普遍的實(shí)際意義 。 規(guī)劃求 解工具目標(biāo)單元格中所輸入的就是優(yōu)化設(shè) 計(jì)中的目標(biāo)函數(shù) f(X=f(x1, x 2, , x n , 目標(biāo)函 數(shù) 是 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 中 的 最 重 要 的 決 策 依 據(jù) 之 一 。 因?yàn)檫@不僅直接影響優(yōu)化方案的質(zhì)量 , 而且影響優(yōu)化過程 。 目標(biāo)函數(shù)可以根據(jù)機(jī) 械設(shè)計(jì)問題的要求從不同角度建立 , 如機(jī) 械設(shè)計(jì)中的質(zhì)量 、 體積 、 幾何尺寸 、 效率 、 可 靠性 、 承載能力 , 機(jī)械設(shè)計(jì)中的運(yùn)動(dòng)誤差 、 功率 、 應(yīng)力 、 動(dòng)力特性 、 產(chǎn)品設(shè)計(jì)的成本和 壽命等 。5.3優(yōu)化設(shè)計(jì)中目標(biāo)函數(shù)所達(dá)到的優(yōu)化值可在規(guī)

15、劃求解工具中最大值 、 最小值 、 值中任選其一 。 設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣是以目標(biāo) 函數(shù)值取得最優(yōu)值來衡量的 , 最優(yōu)值是指 最大值或最小值 。5.4設(shè) 計(jì) 變 量 是 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 中 要 優(yōu) 選的 量 , 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 的 任 務(wù) 就 是 確 定 設(shè) 計(jì) 變 量的最優(yōu)值 , 以得到最優(yōu) 設(shè)計(jì)方案 。 由 于 實(shí) 際 優(yōu) 化 對(duì) 象 的 不 同 , 選 取 的 設(shè) 計(jì) 變 量 也不同 。 但 對(duì)設(shè)計(jì)變量 的選取 , 必 須選擇 那 些 具 有 對(duì) 設(shè) 計(jì) 對(duì) 象 起 到 唯 一 確 定 、 容 易 量 化 的 獨(dú) 立 參 數(shù) , 而 且 設(shè) 計(jì) 變 量 必 須 對(duì) 設(shè) 計(jì) 性 能 指 標(biāo) 的 優(yōu) 劣 有 著 影 響 的 參 數(shù) 。 規(guī) 劃 求