平行線的判定及性質(zhì)

1、授課主題時(shí)間：2021.03.01創(chuàng)作：歐陽(yáng)語(yǔ)平行線教學(xué)目的1. 理解平行線的概念，掌握平行公理及其推論；2. 掌握平行線的判定方法及性質(zhì)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理3. 掌握命題的左義，知道一個(gè)命題是由“題設(shè)”和“結(jié)論”兩部分組成，對(duì)于給左的命 題，能找出它的題設(shè)和結(jié)論；教學(xué)重點(diǎn)平行線的判定及性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容【知識(shí)梳理】要點(diǎn)一.平行線1. 定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，如果直線a與b平行，記作a/7b. 要點(diǎn)詮釋：(1) 平行義的定義有三個(gè)特征：一是在同一個(gè)平而內(nèi)：二是兩條直線；三是不相交，三者缺一不可：(2) 有時(shí)說(shuō)兩條射線平行或線段平行，實(shí)際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并

2、不意味著它們就 平行.(3) 在同一平而內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種.特別地，重合的直線視為一條直線，不屬 于上述任何一種位宜關(guān)系.2. 平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.3推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.要點(diǎn)詮釋：(1) 平行公理特別強(qiáng)調(diào)“經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)”,而非直線上的點(diǎn)，要區(qū)別于垂線的第一性質(zhì).(2) 公理中“有”說(shuō)明存在：“只有”說(shuō)明唯一.(3) “平行公理的推論”也叫平行線的傳遞性.要點(diǎn)二、直線平行的判定判定方法X同位角相等，兩直線平行如上圖，幾何語(yǔ)言： VZ3=Z2 ABCD (同位角相等，兩直線平行)判定方法厶內(nèi)錯(cuò)

3、角相等，兩直線平行如上圖，幾何語(yǔ)言： VZ1 = Z2 ABCD (內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行如上圖，幾何語(yǔ)言: VZ4+Z2=180° AB/CD (同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行) 要點(diǎn)詮釋：平行線的判左是由角相等或互補(bǔ)，得岀平行，即由數(shù)推形.要點(diǎn)三.平行線的性質(zhì) 性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等;性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;性質(zhì)3：兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).要點(diǎn)詮釋：(1) “同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等”.“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”都是平行線的性質(zhì)的一部分內(nèi)容，切 不可忽視前提“兩直線平行”（2）從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判左；從平行線得到角相等或互補(bǔ)

4、關(guān)系，是平行線的性質(zhì). 要點(diǎn)四、兩條平行線的距離同時(shí)垂直于兩條平行線，并且?jiàn)A在這兩條平行線間的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條 平行線的距離.要點(diǎn)詮釋：（1）求兩條平行線的距離的方法是在一條直線上任找一點(diǎn)，向另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度就是兩 條平行線的距離.（2）兩條平行線的位置確左后，它們的距離就是個(gè)左值，不隨垂線段的位垃的改變而改變，即平行線間的 距離處處相等.要點(diǎn)五、命題、定理、證明1. 命題：判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題.要點(diǎn)詮釋：（1）命題的結(jié)構(gòu)：每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推岀的事 項(xiàng).（2）命題的表達(dá)形式："如果，那么，也可寫(xiě)成：&quo

5、t;若，則（3）真命題與假命題：真命題：題設(shè)成立結(jié)論一泄成立的命題，叫做真命題.假命題：題設(shè)成立而不能保證結(jié)論一左成立的命題，叫做假命題.2. 定理：圧理是從真命題（公理或其他已被i正明的泄理）出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理證實(shí)得到的另一個(gè)真命題，定理 也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).3. 證明：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫做證明. 要點(diǎn)詮釋：（1）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能''想當(dāng)然”，這些根據(jù)可以是已知條件，學(xué)過(guò)的宦義、基本 事實(shí)、定理等.（2）判斷一個(gè)命題是正確的，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明：判斷一個(gè)命題是假命題，只需列舉一個(gè)反例即可.要點(diǎn)六、平移1

6、. 定義：在平而內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一泄的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移.要點(diǎn)詮釋：（1）圖形的平移的兩要素：平移的方向與平移的距離.（2）圖形的平移不改變圖形的形狀與大小，只改變圖形的位置.2. 性質(zhì)：圖形的平移實(shí)質(zhì)上是將圖形上所有點(diǎn)沿同一方向移動(dòng)相同的距離，平移不改變線段、角的大小，具體 來(lái)說(shuō)：（1）平移后，對(duì)應(yīng)線段平行且相等；（2）平移后，對(duì)應(yīng)角相等；（3）平移后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段平行且相等：（4）平移后，新圖形與原圖形是一對(duì)全等圖形.【典型例題】類型一.平行線例1下列說(shuō)法正確的是()A不相交的兩條線段是平行線.B. 不相交的兩條直線是平行線.C. 不相交的兩條射線是平行線D. 在同

7、一平而內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.【答案】D例2.在同一平而內(nèi)，下列說(shuō)法：(1)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線：(2)兩條直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：(3) 過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；(4)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。其中正 確的個(gè)數(shù)為：()A1個(gè)B. 2個(gè)C. 3彳、D. 4丿卜【答案】B【解析】正確的是：(1)(3).【變式1】下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是0(1) 直線養(yǎng) b、c、d,如果 &b、cb、cd,則 ad(2) 兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的平分線互相垂直.(3) 兩條直線被第三條直線所截，同位角相等.(4) 在同一平面內(nèi)，如果兩直線都垂直于同一條直線，那么

8、這兩直線平行.A1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】B類型二.兩宣線平行的判定例3如圖，給出下列四個(gè)條件：(1) AC=BD： (2) ZDAC=ZBCA：(3) ZABD=ZCDB： (4) ZADB=ZCBD，其中能使 AD/BC 的條件有()A. (1) (2) B. (3) (4) C. (2) (4) D(1) (3) (4)【答案】C【變式2 一個(gè)學(xué)員在廣場(chǎng)上駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來(lái)的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是()A. 第一次向左拐30°B. 第一次向右拐50°C. 第一次向右拐50°D. 第一次向左拐50°,第二次

9、向右拐30°,第二次向左拐130。,第一次向右拐130° 第二次向左拐130。例4如圖所示，已知ZB=25° , ZBCD=45° , ZCDE=30° , ZE=10°試說(shuō)明ABEF的理由.解法1：如圖所示，在ZBCD的內(nèi)部作ZBCM = 25° , 在ZCDE的內(nèi)部作ZEDN=10°VZB=25° , ZE=10° (已知),AZB = ZBCM> ZE=ZEDN(等量代換). ABCM, EFDN(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行). 又V ZBCD=45° , ZCDE=30

10、76; (已知)，AZDCM = 20° , ZCDN=20° (等式性質(zhì)). ZDCM = ZCDN (等量代換) CMDN(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行).V ABCM, EFDN (已證), ABEF(平行線的傳遞性).解法2：如圖所示，分別向兩方延長(zhǎng)線段CD交EF于M點(diǎn)、交AB于N點(diǎn).VZB=25° ,A ZCNB=180° -ZNCB-ZB = 20° （三角形的內(nèi)角和等于 180° ）. 又 V ZCDE=30° , AZEDM=150° 又 V ZE=10° ,AZEMD=180° -Z

11、EDM-ZE=20° （三角形的內(nèi)角和等于180° ） ZCNB = ZEMD（等量代換）.所以ABEF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.【變式3已知，如圖，BE平分上ABD, DE平分ZCDB,且Z1與Z2互余，試判斷直線AB、CD的位置關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：ABCD,理由如下： BE平分ZABD, DE 平分ZCDB, ZABD=2Z1, ZCDB = 2Z2.又 VZ1 + Z2=9O° ,AZABD+ZCDB=180° ABCD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.【變式4】已知，如圖，AB1BD于B, CD1BD于D,【答案】證明：TAB丄BD于B, CD1

12、BD于D,ABCD 又 V 21+22=180° ,ABEFZ. CD/EF Zl+Z2=180° ,求證：CD/EF.類型三、平行線的性質(zhì)例5.如圖所示，如果ABDF, DEBC,且Zl=65°那么你能說(shuō)出Z2. Z3、Z4的度數(shù)嗎?為什 么解：V DEBC,.Z4=Z1=65° （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）. Z2+Z 1 = 180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.AZ2=180° -Zl = 180° -65° =115° 又 DFAB（已知）,AZ3=Z2（兩直線平行，同位角相等）. .Z3=11

13、5° （等量代換）.【變式.&5】如圖,4=/已知IJUJIl且Zl=48° ,則Z2=, Z3=, ZAABD的面積為S2,則（）A. Si>Sz B Si = S2 C S【答案】B類型四、命題例6.判斷下列語(yǔ)句是不是命題,畫(huà)直線AB：兩條直線相交,【答案】48。，132° , 48°【變式6】如圖所示，直線hb點(diǎn)A. B在直線b上，點(diǎn)C、D在直線h上，若AABC的而積為S, <S2 D.不確定如果是命題，是正確的?還是錯(cuò)誤的？ 有幾個(gè)交點(diǎn)；若ab, b/c,則a/c；直角都相等：相等的角都是直角；如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角不

14、是對(duì)頂角.【徐不是命題：是命題；是正確的命題：是錯(cuò)誤的命題.【變式8】把下列命題改寫(xiě)成“如果，那么”的形式.（1）兩直線平行，同位角相等；（2）對(duì)頂角相等：（3）同角的余角相等.【答案】解：（1）如果兩直線平行，那么同位角相等.（2）如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等.（3）如果有兩個(gè)角是同一個(gè)角的余角，那么它們相等.類型四、平移例7.（湖南益陽(yáng)）如圖所示，將AABC沿直線AB向右平移后到達(dá)ABDE的 位置，若ZCAB = 50° , ZABC=100° ,則ZCBE的度數(shù)為.【答案】30° 【變式9】（上海靜安區(qū)一模）如圖所示，三角形FDE經(jīng)過(guò)怎樣的平移可以得

15、到三角形ABC0A. 沿EC的方向移動(dòng)DB長(zhǎng)B. 沿BD的方向移動(dòng)BD長(zhǎng)C. 沿EC的方向移動(dòng)CD長(zhǎng)D. 沿BD的方向移動(dòng)DC長(zhǎng)【答案】A類型五、平行的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用例 8、如圖所示，ABEF,那么 ZBAC+ZACE+ZCEF=（）A. 180° B. 270° C. 360° D. 540°【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)C作CDAB,VCD/7 AB,.ZBAC+ZACD=180° （兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又 VEF/7ABEFCD AZDCE+ZCEF=180a倆直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又 V ZACE= ZACD+ZDCEA ZBAC+

16、ZACE+ZCEF= ZBAC+ZACD+ZDCE+ZCEF=180° +180° =360°【課后作業(yè)】一、選擇題1 下列說(shuō)法中正確的有（） 一條直線的平行線只有一條 過(guò)一點(diǎn)與已知直線平行的直線只有一條. 因?yàn)閍b, cd,所以ad 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.A. 1個(gè)B. 2個(gè)C3個(gè)D. 4個(gè)2. 如果兩個(gè)角的一邊在同一直線上，另一邊互相平行，則這兩個(gè)角（）A.相等B.互補(bǔ)C.互余D.相等或互補(bǔ)3. 如圖，能夠判定DE/7BC的條件是 0B G CA Z DCE+ Z DEC = 180 °B Z EDC = Z DCBC ZBG

17、F=ZDCB D CD丄AB, GF丄AB4. 一倆汽車在廣闊的草原上行駛，兩次拐彎后，行駛的方向與原來(lái)的方向相同，那么這兩次拐彎的角度 可能是0A. 第一次向右拐40° ,第二次向右拐140°B. 第一次向右拐40° ,第二次向左拐40°C. 第一次向左拐40° ,第二次向右拐140°D. 第一次向右拐140° ,第二次向左拐40°5. 如圖所示，下列條件中，不能推出AB/7CE成立的條件是 0A ZA=ZACE B ZB = ZACE C ZB = ZECD D ZB+ZBCE=180°6. （紹興）

18、學(xué)習(xí)了平行線后，小敏想出了過(guò)已知直線外一點(diǎn)畫(huà)這條直線的平行線的新方法，她是通過(guò)折一張 半透明的紙得到的（如圖，（1）一）：（1）（2>伺從圖中可知，小敏畫(huà)平行線的依據(jù)有（）兩直線平行，同位角相等.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.同位角相等，兩直線平行.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.A. ®® B. C. D.二填空題7. '在同一平而內(nèi)的三條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是8. 如圖，DF平分ZCDE, ZCDF=55° , ZC=70° ,則9. 規(guī)律探究：同一平面內(nèi)有直線a” a?, a3-s aK）o»若a】丄a2, a2/a3，a3丄山，按此

19、規(guī)律，和aioo的位置是10. 已知兩個(gè)角的兩邊分別平行，其中一個(gè)角為40° ,則另一個(gè)角的度數(shù)是11直線/同側(cè)有三點(diǎn)A、B、C,如果A、B兩點(diǎn)確左的直線廠與B、C兩點(diǎn)確龍的直線廠都與/平行， 則A、B、C三點(diǎn)，其依據(jù)是12. 如圖，AB丄EF于點(diǎn)G, CD丄EF于點(diǎn)H, GP平分ZEGB, HQ平分ZCHF,則圖中互相平行的直線 有三、解答題13如圖，Zl=60° , Z2=60° , Z3=100° ,要使ABEF, Z4應(yīng)為多少度?說(shuō)明理由.14. 小敏有一塊小畫(huà)板（如圖所示），她想知道它的上下邊緣是否平行，而小敏身邊只有一個(gè)量角器，你能 幫助她解

20、決這一問(wèn)題嗎？15. 如圖，把一張長(zhǎng)芳形紙條ABCD沿AF折疊，已知ZADB=20° ,那么ZBAF為多少度時(shí)，才能使 ABZ BD?B916. 如圖所示，由Z1 = Z2, BD平分ZABC,可推出哪兩條線段平行，寫(xiě)出推理過(guò)程，如果推出另兩條 線段平行，則應(yīng)將以上兩條件之一作如何改變？【答案與解析】一、選擇題 1 【答案A只有正確，英它均錯(cuò).2. 【答案】D3. 【答案B【解謚】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.4. 【答案】B5. 【答案B【解諄】ZB和ZACE不是兩條直線被第三條直線所截所得到的角.6. 【答案C【解諄】解決本題關(guān)鍵是理解折疊的過(guò)程，圖中的虛線與已知的直線垂直，過(guò)點(diǎn)P的折

21、痕與虛線垂 直二、填空題7. 【答案】0或1或2或3個(gè)；&【答案】BC, DE：【解析】ZCFD=180° -70° -55° =55° ,而ZFDE= ZCDF=55° ,所以ZCFD=ZFDE.9. 【答案】aiaioo：【解析】為了方便，我們可以記為aa?a3丄a4as丄a&a7丄as創(chuàng)丄aw創(chuàng)7丄妣&時(shí)丄aioo,因 為aa2/7a3,所以a【丄a3，而巧丄生，所以/同理得劇站網(wǎng)、知a】2ai3，接著這樣 的規(guī)律可以得aia”aioo,所以ai aioo.10. 【答案】40?；?40°11【答案】共線，平行公理：【解