題露天礦生產的車輛安排南昌大學全國一等獎

1、C題 SARS的傳播摘要本文首先采用抽樣檢測法對SARS早期的模型的合理性及實用性進行了評價，然后我們通過對傳染病的共性及SARS的特性的分析。得出三個基本假設并且把人群理想化為三類（S類，I類，R類），建立起基本的SIR模型，再對SIR模型中三類人群間的相互轉化關系的分析，結合馬氏鏈得出三種人群間變化率的矩陣T，由于SARS的特性，可知，SIR模型中的兩個參數a(t),b(t)是以時間為變量的函數。我們根據北京疫情的數據，通過多項式的數據擬合法分別得a(t),b(t)的表達式，我們把a(t),b(t)及T結合，從而建立出模型。由于醫(yī)療條件的逐步改善，必會研制出其疫苗。于是我們在不改變人群分類

2、的情況下，增加了一個系數c，（c表示疫苗日成功接種率，由于在疫情期間，疫苗未能及時改良，故c為常數。）進一步完善了我們的模型。本文利用數學軟件（Mathematica,Matlab）很好的實現了模型運算，并結合實際數據得出了各類人群與時間的關系圖。從圖中可以很好的反映出各類人群的變化規(guī)律，它們的變化規(guī)律與實際變化相吻合，從而證明了我們的模型基本符合要求。 一 問題的提出嚴重急性呼吸道綜合癥，簡稱SARS，是21世紀第一個在世界范圍內傳播的傳染病。它對全球的經濟和生活造成巨大的破壞，盡管目前疫情已得到控制，但對這種新冠狀病毒及其流行規(guī)律的研究還剛剛開始，因此，有必要根據SARS流行的特點，建立數

3、學模型預測其傳染，從而采取措施預防和控制其發(fā)展。而建立該模型我們要綜合各方面的因素才能使模型合理化。二 問題的分析通過分析北京，香港和廣東三地的受感染人數的變化規(guī)律，我們就可以對不同地區(qū)預測流行病的變化趨勢提出以下模型假設。 模型的假設：1 將人群分為三類易感染者人數（疑似病例）：用S表示；病人數（已受感染者，即確疹者）：用I表示；移出者人數（包括“被治愈者”和“死亡者”）：用R表示2 該地區(qū)人口不流動，疫情階段無病原的輸入和輸出，設最初易感染者人數為N，此時I，R均為0。3 被隔離人群完全斷絕與外界接觸，不再具有傳染性。三 模型的分析與建立問題一:對于附件1所提供的早期模型即N（t）=N（1

4、+K）在疾病初期應該有它的可參性。因為模型N（t）=N（1+K）是符合指數增長規(guī)律的。而對于這種傳播疾病，由于社會來不急防備以及群眾的不重視，使得SARS疫情基本上呈自然規(guī)律增長，這與香港的實際疫情擬合圖基本一致。通過對香港和北京高峰前期的病例與天數的對應關系計算出的數據與實際基本吻合。見下圖表：香港 （K=0.16204）病例數42080320實際天數10203040計算天數9.2319.9529.1838.41實際天數-計算天數0.770.050.821.59北京（K=0.13913）病例數1344140470實際天數20304050計算天數19.6929.0537.9347.23實際天數

5、-計算天數0.310.952.072.77由上圖可知在高峰期前即疾病早期基本符合指數增長規(guī)律，同時，我們也可以看到天數越接近高峰期，實際天數與計算天數就相差越大，這說明這個模型特別適用于早期初，但從上表中的數據差來看，它們相差并不大，對整個早期階段也有較好的預測性。因此，該模型具有一定的合理性和實用性。問題二:模型的建立建立SIR模型易感染者，感染者，移出者之和是個恒量即N=S+I+R。由于病人康復后具有終生免疫力，人與人之間有相同的接觸率。最終由如下兩種假設決定狀態(tài)之間的轉變率：（1）感染者的增長率是和感染者I與易受感染者S的乘積成正比的；（2）感染者I到移出者R的變化率是與感染者I成正比。

6、基于以上假設得出模型的微分方程： 其中a,b都是以時間為變量的參數，a(t)為日感染率，b(t)為日移出率，于是我們可以得出三類人的轉換狀態(tài)圖：根據Markov Chain理論，我們得出一個矩陣T:T=其中a就是當天易感染者S變?yōu)楦腥菊逫的日感染率,b就是當天感染者I轉變?yōu)橐瞥稣逺的移出率.( a, b分別為a(t)，b(t)某一天的值) 設初始值X=N,0,0,于是我們可以由X與T的轉置矩陣相乘,相乘一次得到第一天的易感染者,確診病人及排除者的人數,再由該人數與T的轉置矩陣相乘一次得到第二天各類人群的數目,依此類推,我們可以得到第t天的各類人群的數目,于是我們可以得出任何一天各類人群的數目的

7、初步模型即:X=X*T 由于T是由a,b確定的,所以要建立模型還必須求出a(t),b(t).于是我們參照附件2中的數據，利用Matlab的多項式數據擬合，可以得到它們相應的多項式。下面進一步講擬合過程：第一步：對附件2中的疑似病例進行20次數據擬合，得出每天的疑似病例數的多項式：f(t)=t+480.6525t-325.9497t+110.1561t-22.3320t+2.9772t-0.275t+0.0181t-0.0009t（1）第二步：對附件2中已確疹的病例數據進行運算，新確診的病例數m(t)就是把當天已確診病例數的累積n(t)減去前一天確診病例數的累積n(t-1)即：m(t)=n(t)

8、-n(t-1)對m(t)進行20次數據擬合，得出關于新增病例與時間的多項式：f(t)=t+476.2872t-227.1678t+67.6374t-13.3813t+1.8488t-0.10854t+0.0139 t-0.0008 t（2）由第二步對f(t)求導得出f(t)，f(t)表示為每天已確診病例的變化情況，因為f是當天疑似病例數，所以得出a(t)=f(t)/f。第三步：我們把死亡病例和治愈者都歸為同一組R類，于是把他們相加得到每天的R類人群K（t）,再由第二步的計算方法我們得到每天死亡和治愈的人數l(t)即l(t)=K（t）-K（t-1）然后對l(t)進行二次數據擬合，得出關于每天死亡

9、和治愈人數與時間的多項式：f(t)=-0.0323t+2.95235t-13.1284(3)第四步：按照第二步的方法對第二步中的m(t)再進行一次二次擬合，得到f(t)的一個二次多項式：f(t)=0.0561t-5.7216t+141.7628(4) 同理，由（3），（4）式可得b(t)=f(t)/f(t)即：(前面（1），（2），（3）,(4)式的Matlab擬合圖及程序見附錄I) 通過上面的分析我們可以得到一個完整的模型:(I) 四 模型的改進 由于我們逐步對SARS的研究和認識,那么在不久的將來預防它的疫苗也將出現.顯然醫(yī)療衛(wèi)生部門就會對群眾進行疫苗接種,于是我們的模型能夠通過接種疫苗而

10、進行改進,但是沒有必要增加其他人群種類,我們可以簡單而直接的把接種疫苗的人群從S中分離到R中,所以我們假定一個系數c,它表示每天有c的人成功接種疫苗.(例,c=8%,表示每天有8%的人成功接種疫苗),我們前面的T矩陣可以改為:T=上面的模型就可以改進為:(II) （其中c為常數）五 模型的求解與結果分析對于上面所建立的模型可以通過mathematica編程實現（程序見附錄II）?，F已由北京市疫情的數據，通過模型求得的各類人群的變化規(guī)律圖如下：（說明：由于現階段SARS的疫苗還沒正式用于預防，所以只用模型（I）求解）st疑似病例與時間變化圖1It感染人數與時間的變化圖2Rt治愈和死亡人數與時間的

11、變化圖3通過分析上圖我們可知：對于圖1中疑似病例是隨時間的增加而逐漸下降，這與附件2中的疑似病例的變化規(guī)律基本一致；圖2中感染人數先隨時間的增加達到高峰之后平緩下降，這于附件1中北京日增病例走勢相吻合；圖3中治愈和死亡人數隨時間的變化而遞增，這顯然與實際相符。下面我們給出衛(wèi)生部們提前或者延后五天采取嚴格的隔離措施后疫情傳播的變化圖如下：由下圖容易看出，圖4中提前五天采取隔離措施，疑似病例下降速度比延后五天的速度快；圖5中提前五天感染人數遠小于延后五天，而且提前五天時疫情時間持續(xù)更短；圖6中提前五天變化速度比延后五天來得更快。綜上所述，提前采取嚴格隔離措施比延后效果更好，也使得對社會的影響更低。

12、四 模型的優(yōu)點及發(fā)展方向1 優(yōu)點：（1）我們的模型可以對SARS的所有階段進行預測，而附件1的模型只適用于早期； （2）我們的模型操作性強，結果精確，計算完全可由相應的數學軟件mathematica,matlab的編程來實現。它可以根據疫情a,b的值會按設定的函數自行修正，這也符合疾病隨地域的變化而改變； （3）在我們的改進模型中加了一個系數c，它使得模型更精確，也符合傳染病的發(fā)展規(guī)律； （4）此模型可以直觀的反映疾病發(fā)展規(guī)律。我們只要通過數學軟件畫出圖形，在圖形上就可以顯示出SARS在每天各類人群的分布情況。2 模型的發(fā)展方向：要建立一個真正能夠預測以及能為預防和控制提供可靠，足夠的信息的模

13、型。要考慮以下幾點因素：（1） 必須準確掌握疾病的傳播規(guī)律，獲得更多的直觀信息，例如傳染率，死亡率，治愈率，傳染期限，潛伏期等；（2） 考慮各種社會因素，包括醫(yī)療機構的醫(yī)療程度，人的免疫程度，群眾對SARS的認識，以及政府機構對SARS的宣傳等以上條件可用參數P來反映；（3） 還要考慮城市間人口的流動，此因素用B表示。解決以上因素的困難：a）由于SARS突然性發(fā)生以及它的傳播速度快的特性，這就使得在初期很難預防；b）要對因素P，B考慮是一個非常復雜的過程。而要達到控制疾病的程度，困難就在于社會經濟的落后，技術的不先進，人們素質的不高，顯然要想改變這一現象不是一朝一夕的過程，也是一個變數很大的因

14、素。問題三 建立傳染病數學模型的重要性2002年末開始，全國部分地區(qū)遭受了非典型性肺炎的襲擊，全國經濟出現了前所未有的滑坡，使人們的生命受到威脅。2003年初我國在毫無準備的情況下受到“非典”的突擊，當時全民上下在一片迷茫之中，不知道病原體的來歷，醫(yī)務人員也無從下手，致使非典病原體不斷擴散，使得感染人數不斷增加。此時我們才意識到要對這個新的傳染病去做深入研究。研究發(fā)現SARS是一種獨特性傳染病，它具有傳播速度快，傳播途徑廣等特點，正因為如此，在人們還沒有認清SARS時，人們不知道如何采取措施對它進行控制，至使在SARS疫情前期，人們損失慘重。經過一段時間的傳播，人們對這種病原體有了一定的研究，

15、基本掌握了它的傳播途徑。但是這時沒有找到任何一種疫苗，沒有能力完全消除它，只能采取適當可行的措施減少它的發(fā)病率。我國在弄清情況后就采取了嚴格的防預措施。例如，在有發(fā)現疫情的地區(qū)，封鎖各出現疫情點，封鎖學校等；在沒有發(fā)現疫情的地區(qū)也采取了封閉措施，例如，切斷外來人員，部分大學也實施封校。全國上下掀起了一場抗擊非典的戰(zhàn)爭，上至政府下至平明百姓無一不重視SARS的傳播。但對于SARS的傳播規(guī)律還沒正確的了解，這些做法只是治標而不能治本。關鍵是我們還不能夠通過某種途徑來找出它的發(fā)展規(guī)律。 對上所述我們知道，SARS之初之所以那么肆虐是因為人們對它還沒有很好的認識，更沒有有效的預防和控制措施。那么如何去

16、研究解決這個難題就變得迫在眉睫，而這個關鍵就在于能否建立起合理的傳染病模型。假若一個好的傳染病模型出來后，就可以利用它對傳染病進行及時的預測，并對該疾病提供有效的信息，也可以給相關衛(wèi)生部門研究接種疫苗提供可靠的數據，從而可以達到控制傳染病高病發(fā)率的發(fā)生。除此之外，它還使得政府能夠根據預測的信息做好足夠的人力，物力準備，做到從容以對。從而就給人民的社會生活和經濟生活提供了強力的保障，也給社會穩(wěn)定增加了砝碼。所以無論是從自身利益出發(fā)，還是從國家的穩(wěn)定發(fā)展考慮，建立傳染病的數學模型是至關重要的，也是擺在我們面前的一個迫切的任務。所以，建立合理的數學模型是預防和控制傳染病至關重要的一步，也是不可缺少的環(huán)節(jié)。參考文獻1 姜啟源，數學模型第三版，北京，高等教育出版社，2003年7月2 2003年9月23日論文點評：本文首先根據題目給出的條件和要求，用抽樣檢驗法對早期模型的合理性和實用性進行了評價，其合理性在于符合指數增長規(guī)律，實用性在于對早期階段的疫情有較好的預測性。為克服只對早