高一數學奇偶性與單調性1

1、奇偶性與單調性(一)函數的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握判定方法，正確認識單調函數與奇偶函數的圖象.難點磁場()設a>0,f(x)=是R上的偶函數，(1)求a的值；(2)證明： f(x)在(0，+)上是增函數.案例探究例1已知函數f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：(1)f(x)為奇函數；(2)f(x)在(1，1)上單調遞減.命題意圖：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判定以及運算能力和邏輯推理

2、能力.屬題目.知識依托：奇偶性及單調性定義及判定、賦值法及轉化思想.錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準確，運算技能不過關，結果很難獲得.技巧與方法：對于(1)，獲得f(0)的值進而取x=y是解題關鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點.證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)為奇函數.(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減.令0<x1<x2<1,則f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f()0<x1<x2<1,x2x1>

3、0,1x1x2>0，>0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)<0x2x1<1x2x1,0<<1,由題意知f()<0，即f(x2)<f(x1).f(x)在(0，1)上為減函數，又f(x)為奇函數且f(0)=0.f(x)在(1，1)上為減函數.例2設函數f(x)是定義在R上的偶函數，并在區(qū)間(,0)內單調遞增，f(2a2+a+1)<f(3a22a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內求函數y=()的單調遞減區(qū)間.命題意圖：本題主要考查函數奇偶性、單調性的基本應用以及對復合函數單調性的判定方法.本題屬于級題目.知識依托：逆向認識奇

4、偶性、單調性、指數函數的單調性及函數的值域問題.錯解分析：逆向思維受阻、條件認識不清晰、復合函數判定程序紊亂.技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.解：設0<x1<x2,則x2<x1<0，f(x)在區(qū)間(,0)內單調遞增，f(x2)<f(x1),f(x)為偶函數，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)<f(x1).f(x)在(0，+)內單調遞減.由f(2a2+a+1)<f(3a22a+1)得：2a2+a+1>3a22a+1.解之，得0<a&

5、lt;3.又a23a+1=(a)2.函數y=()的單調減區(qū)間是，+結合0<a<3,得函數y=()的單調遞減區(qū)間為，3).錦囊妙計本難點所涉及的問題及解決方法主要有：(1)判斷函數的奇偶性與單調性若為具體函數，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性.若為抽象函數，在依托定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性.同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的“磁場”及“訓練”認真體會，用好數與形的統(tǒng)一.復合函數的奇偶性、單調性.問題的解決關鍵在于：既把握復合過程，又掌握基本函數.(2)加強逆向思維、數形統(tǒng)一.正反結合解決基本應用題目，下一節(jié)我們將展開研究奇偶性、單調性的應用.

6、殲滅難點訓練一、選擇題1.()下列函數中的奇函數是( )A.f(x)=(x1)B.f(x)=C.f(x)=D.f(x)=2.()函數f(x)=的圖象( )A.關于x軸對稱B.關于y軸對稱C.關于原點對稱D.關于直線x=1對稱二、填空題3.()函數f(x)在R上為增函數，則y=f(|x+1|)的一個單調遞減區(qū)間是_.4.()若函數f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0 (0<x1<x2),且在x2,+上單調遞增，則b的取值范圍是_.三、解答題5.()已知函數f(x)=ax+ (a>1).(1)證明：函數f(x)在(1，+)上為增函數.(2)用

7、反證法證明方程f(x)=0沒有負數根.6.()求證函數f(x)=在區(qū)間(1，+)上是減函數.7.()設函數f(x)的定義域關于原點對稱且滿足：(i)f(x1x2)=；(ii)存在正常數a使f(a)=1.求證：(1)f(x)是奇函數.(2)f(x)是周期函數，且有一個周期是4a.8.()已知函數f(x)的定義域為R，且對m、nR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f()=0,當x>時，f(x)>0.(1)求證：f(x)是單調遞增函數；(2)試舉出具有這種性質的一個函數，并加以驗證.參考答案難點磁場(1)解：依題意，對一切xR,有f(x)=f(x),即+aex.整理，得(a)(

8、ex)=0.因此，有a=0,即a2=1,又a>0,a=1(2)證法一：設0x1x2,則f(x1)f(x2)=由x1>0,x2>0,x2>x1,>0,1e0,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)f(x)在(0,+)上是增函數證法二：由f(x)=ex+ex，得f(x)=exex=ex·(e2x1).當x(0,+)時，ex>0,e2x1>0.此時f(x)>0,所以f(x)在0，+)上是增函數.殲滅難點訓練一、1.解析：f(x)= =f(x)，故f(x)為奇函數.答案：C2.解析：f(x)=f(x),f(x)是奇函數，圖象關于原點對稱

9、.答案：C二、3.解析：令t=|x+1|,則t在(,1上遞減，又y=f(x)在R上單調遞增，y=f(|x+1|)在(,1上遞減.答案：(,14.解析：f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0.f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x，b=a(x1+x2),又f(x)在x2,+單調遞增，故a>0.又知0x1x,得x1+x2>0,b=a(x1+x2)0.答案：(,0）三、5.證明：(1）設1x1x2+,則x2x1>0, >1且>0,>0,又x1+1>0,x2+1>0>0,于是f(x2)f(x1)

10、=+ >0f(x)在(1，+）上為遞增函數.(2）證法一：設存在x00(x01)滿足f(x0)=0,則且由01得01,即x02與x00矛盾，故f(x)=0沒有負數根.證法二：設存在x00(x01)使f(x0)=0,若1x00,則2,1,f(x0)1與f(x0)=0矛盾，若x01,則>0, >0，f(x0)>0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負數根.6.證明：x0,f(x)=,設1x1x2+,則.f(x1)>f(x2),故函數f(x)在(1，+）上是減函數.(本題也可用求導方法解決）7.證明：(1）不妨令x=x1x2,則f(x)=f(x2x1)= =f(x1x2)=f(x).f(x)是奇函數.(2）要證f(x+4a)=f(x),可先計算f(x+a),f(x+2a).f(x+a)=fx(a)=.f(x+4a)=f(x+2a)+2a=f(x),故f(x)是以4a為