函數(shù)模型及其應(yīng)用—答案

1、1 / 6 【例題精講】 例 1.電信局為了迎合客戶的不同需要，設(shè)有 A、B 兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付電話費（元）與 通話時間（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示（實線部分） 應(yīng)時電話費元方案”方案葉 :i 胡 憶 試問：（1）若通話時間為 2 小時，按方案 A、B 各付話費多少元？ （2） 方案 B 從 500 分鐘以后，每分鐘收費多少元？ （3） 通話時間在什么范圍，方案 B 才會比方案 A 優(yōu)惠？ 【解】 由圖 （60,98）. ?V, 168）, 殳逵兩抻方案的應(yīng)付話悅與通話時閭的函數(shù)矣系 分別為 /A（i） v 即 3 Trx+80tx60j 110 r 168,0 x500. （1）通話

2、 2 小時-兩方案話費分別為 H6 龍和 168尢. | 因為當(dāng) 心知時,幾 5 + 1一加初春卄 D + 18 1U 2 -（r-n+18）-=0,3（c）， 10 10 二方案 B 500 分鐘以冶*毎分忖收費 03 元* （的由圖可知-當(dāng) 0 x500 0t 代當(dāng) 60r500 時由 V 即通話時聞裡（警+和）內(nèi)時才案優(yōu)惠. a 【反思?xì)w納】（1）圖象（圖表）題目，先由已知條件確定表示函數(shù)的類型，然后寫出函數(shù)解析式。 （2）解決此類題目，要注意函數(shù)定義域的變化，即表示的是函數(shù)整個圖像，還是其一部分，還是 上面的某些點，以免出現(xiàn)漏解或增解的情況。 【舉一反三】 1. 某工廠在甲、乙兩地的兩

3、個分廠各生產(chǎn)某種機器 12 臺和 6 臺，現(xiàn)銷售給 A 地 10 臺，B 地 8 臺， 已知從甲地調(diào)運 1 臺至 A 地、B 地的運費分別為 400 元和 800 元，從乙地調(diào)運 1 臺至 A 地、B 地的運費分別為 300 元和 500 元。 （1） 設(shè)從乙地調(diào)運 X 臺至 A 地，求總運費 y 關(guān)于 x的函數(shù)關(guān)系式。 （2） 若總運費不超過 9000 元，問共有幾種調(diào)動方案？ （3） 求出總運費最低的調(diào)運方案及最低的費用。 2 / 6 解：由甲、乙網(wǎng)地調(diào)運至兩地的機器臺戟規(guī)費刑列慮 如下i 訥出地 甲地 匕她. 調(diào)至地 A地 H地 A 地 B 地 臺數(shù) 10-x 工 6工 400 800

4、300 500 譴龍合計 400(10-4-) 80012 300 500 * (6 一壬) (IX 題意得 y = 400(1O-X + 80012- (10-z) + 300+500(6 j) * 即 = 200(j?+43)(0j?9000,解得 *2* VxZ,0 x6t AxOjt2. 所以共有三種調(diào)運方案. (3) 由一次晶數(shù)的單調(diào)性知當(dāng)上=0 時爺運費，匿低， y = S6OO 元.即從乙地調(diào) 6 臺給 B 地.甲地調(diào) 10 臺給 A 地、 調(diào) 2 臺給 地的調(diào)運方案的總運費彘低，叢低運燒為 8600 元. 考點二：二次函數(shù)的應(yīng)用 例 2.某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)

5、品， 其生產(chǎn)的總成本 y (萬無)與年產(chǎn)量 x(噸) 2 x 之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為 y 48x 8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為 210 5 噸。 (1) 求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品平均成本最低，并求最低成本。 (2) 若每噸產(chǎn)品平均出廠價為 40 萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時， 可以獲得最大利潤？最大利潤 是多少？ mi 門)毎噸平均戒.摳為丄萬元人 JT rBbl V x . 8000 g m 壬=*- - 48 步 M 寺畔羽=3 氛 爭且僅雪手=輕即工=200 時恥等號. D JT 化年產(chǎn)量為 200 噸時，毎噸平均成木遺低為 32 萬元.3 / 6 （2）設(shè)年獲稱

6、起利科為萬無, 廳 /?（工）=40 左一孑=40壬 i ISX8000 J =- + 8.r-&000 b = （ 220） 16010 冬 _r 冬 210）一 5 丫航刃在0,210上是增函數(shù) A j= 210 時 * * 尿 P 有龍犬值 - y （210-22O）E+ 1680= 1660, 化年嚴(yán)董* 2L0 噸時，可義得遺大利倜 1660 萬死. 【舉一反三】 2. 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為 250 萬元，每和產(chǎn) X 千件，需另投入成本 C（X），當(dāng)年產(chǎn)量 不足 80 千件時，C（x）x2 70 x （萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于 80 千件時，C（x51x 1000-

7、1450 3 x （萬元）通過市場分析，若每件售價為 500 元時，該廠年內(nèi)生產(chǎn)該商品能全部銷售完。 （1） 寫出年利潤 L （萬無）關(guān)于年產(chǎn)量 X （千件）的函數(shù)解析式； （2） 年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？ 解: 1) 0-r80TjreN時、 1200-(7 1 I f ， 1 40j250 (0J80,J (1200 (j；+ 1000 ) am80*jrWlS (2)當(dāng) 09r= 4-950, 給上所述，劈=）00 時取得靠大值 1000.即年產(chǎn) 置為 100 千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)屮所獲利潤最丸. 500XIQQQj 10000 51x 10000

8、 1450 10000 ，即 j = 100 500X 1000 工 L(J- = 當(dāng) 時* 4 / 6 考點三、幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用 例 3.1999 年 10 月 12 日“世界 60 億人口日，提出了“人類對生育的選擇將決定世界未來”的主 題，控制人口急劇增長的緊迫任務(wù)擺在我們的面前。 (1) 世界人口在過去 40 年內(nèi)翻了一番，問每年人口平均增長率是多少？ (2) 我國人口在 1998 年底達(dá)到12.48 億，若將人口平均增長率控制在 1%以內(nèi)，我國人口在 2008 年底至多有多少億？ 以下數(shù)據(jù)供計算時使用: 依題意心吃 48( 1+1 %)叭 得 lgylgl2.48+1

9、0X lfiL 01= 1, 1392, A 有 13* 78 億* 答：每年人口平均増琵率為 I. 7%. 2008 人口至麥有 13, 【舉一反三】 3. 某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為 100 萬人，如果年自然增長率為 1.2%，試解答以下問題。 (1) 寫出該城市人口總數(shù) y (萬人)與年份 x (年)的函數(shù)關(guān)系式； (2) 計算 10 年以后該城市人口總數(shù)(精確到 0.1 萬人)； (3) 計算大約多少年后，該城市人口將達(dá)到 120 萬人(精確到1 年) (4) 如果 20 年后該城市人口總數(shù)不超過 120 萬人，年自然增長率應(yīng)該控制在多少？ (參考數(shù)據(jù)：1.0129 1.113,1.012

10、1.127, Ig12 0.079,lg2 0.3010,lg1.012 0.005， Ig1.009 : 0.0039 ) 解；(1)1 年后該城市人口總教為 jf=100+100X 1. 2% = 1OOXC1 + 1, 2%). 2 年潔塚城市人口總歎為 jr=100X(l + L 2%) + 100X(l + L 2%)XL2% = 100X(1 + 1, 3 年后誼嚴(yán)市人口恿數(shù)為 jr=100X ( + I. 2%)Z-F100X (14-1,2%- X 1. 2 = 1OOX (1 + 1. J年后該蛾市人口總救菊 S 5 / 6 y=100X (1 十 L 2%Y. 2)10 年

11、后人口總數(shù)為 100X ( 1 + 1. 2% 嚴(yán) 8112.萬人匕 (3) it J年后該城市人口將達(dá)列 120 萬人* 即 100X(1+ 1*2% 廣= 120. 工=log,Qi2 島=logL陀 1.20* 15(年, (4 )由 100 X (1 -h r% )? 120 * ( 1 + r % )1 2 L 2 . 兩邊取對數(shù)得 20 lgd-.rXIgl, 2 = 0.079, 所以 1 班 1 +工)生匕護(hù)=0. 00395. 所以 1.009 4?衛(wèi)氏 9% 即年自然增長率應(yīng)該控制在 0.9%. 考點四、不同函數(shù)模型的增長趨勢 例 4.某地區(qū)的一種特色水果上市時間能持續(xù) 5

12、 個月，預(yù)測上市初期和后期會因供不應(yīng)求使價格呈 連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù)： f(X) =pqx； f(x) Togx p: f(x) =(x-1)X-q)3 p (以上三式中 p,q 均為常數(shù)，且 q .2)。 (1) 為準(zhǔn)確研究其價格走勢，應(yīng)選擇哪種價格模擬函數(shù)，為什么？ (2) 若 f(1) % 3 6=，求出所選函數(shù) f(x)的解析式(注：函數(shù)的定義域是 1,61.其中 x=1 表示 4 月 1 日, X = 2 表示 5 月 1 日,，以此類推)； (3) 為保證果農(nóng)的收益，打算在價格下跌期間積極拓寬外銷， 請你預(yù)測該水果在哪幾個月內(nèi)價

13、格下跌。 【解 八工)=logx + p是單調(diào)禹敖* l)x中 /(j) = 3.? +2/. G (3 5) 令 f T)=0得疋=,乂=七一， 所以/X 刃有兩金家點. 則可以出現(xiàn)兩介遞增區(qū)間和一個遙減區(qū)間, 所以+ /J 肖算換捌餌數(shù) (3)由 /(JT) =3T2-18J+240, 解得 2x4, O (12 | 4 (2)由 = 得 , 12 * 3+p6 解之得(總中 q = 2舍去). 2 q= 4 文)=一 1 心一 4 卩+ =JC 十24JT12(1 冬工6)* O (9 方 6 / 6 二函數(shù)= d -9 工+ 24 12 在區(qū)間(2,4)上單調(diào) 遞減* 二這種水果在 5

14、.6,7 月份價恪下跌. O (11 【反思與歸納】本題為開放性的探究題，函數(shù)模型是不確定的，需要我們?nèi)ヌ剿鲊L試，主要是從題 目給出的信息中，確定函數(shù)的重要性質(zhì)，例如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等，然后借助性質(zhì)，對照函數(shù) 的解析式，選出符合要求的函數(shù)模型，同時注意檢驗，然后再利用所求出的函數(shù)模型解決問題。 【練習(xí)】 1擬定從甲地到乙地能話 m 分鐘的電話費由 f(x) =1.06(0.50 m 1)給出，其中 m .0， l.ml 是大于或等于 m 的最小整數(shù)，若通話費為 10.6 元，則通話時間 m _ 。 解折：710*6 = 1, 06(0. 50Xm + l) AO. 5m=9f 2.經(jīng)市場調(diào)查，某種商品在過去 50 天的銷售量和價格均為銷售時間 t (天)的函數(shù)，且銷售量近似 1 地滿足 f (t) =-2t 200(1 紅乞 50,t N)，前 30 天價格為 g(t) t 30( t 30,t N)，后 20 天價格為 g(t) =45(3 仁 t 50,t N)。 (1) 寫出該商品的日銷售額 S 與時間 t 的函數(shù)關(guān)系； (2) 求日銷售額 S 的最大值。 解江門根據(jù)題意.砰 ,_ J ( 2z + 200)C-r + 30).