兩道市一模試題的評析與思考

1、兩道市一模試題的評析與思考闕東進（江蘇省立發(fā)中學 226600）1 背景介紹根據(jù)2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學科（江蘇卷）考試說明，平面解析幾何重點考察直線、圓的方程（均升為C級），而淡化橢圓（降為B級）、雙曲線、拋物線（均降為A級）的考察，解答過程一般不涉及韋達定理為此，平面解析幾何大題如何考察成為新高考的熱點話題之一，本文就2009屆南京市與南通市高三第一次模擬考試（數(shù)學卷）中的兩道解析幾何大題展開探討，以供大家復習參考2 試題評析（09南京一模）如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線上的橫坐標為的點到該拋物線的焦點的距離為5（1）求拋物線的標準方程；Mx（圖2）F2F1ONy

2、（圖1）（2）設(shè)點是拋物線上的動點，若以為圓心的圓在軸上截得的弦長為4，求證：圓過定點 （09南通一模）如圖2，橢圓(a>b>0)的左、右焦點分別為F1、F2，M、N是橢圓右準線上的兩個動點，且. （1）試判斷原點O與以MN為直徑的圓的位置關(guān)系；（2）設(shè)橢圓的離心率為，MN的最小值為，求橢圓方程.下面以表格形式比較兩道試題的異同：南京卷南通卷共同點1 均圍繞動圓的方程命制試題； 2 均以陳題為生長點，尋找新的命題亮點不同點1以拋物線為載體以橢圓為載體 2用含參數(shù)的圓的方程研究動圓的幾何屬性以平面向量的數(shù)量積、基本不等式為工具解決問題考察知識點拋物線的標準方程；圓的方程橢圓的方程、點

3、與圓的位置關(guān)系、向量的數(shù)量積、基本不等式對比08江蘇卷試題穩(wěn)重求變、新，但未成走出08江蘇卷的命題束縛，痕跡較重試題命制有較大的突破，注重橢圓的級要求B考察，添加了新元素：向量數(shù)量積、基本不等式等C級考察內(nèi)容3 解法探討南京卷本題解法較單一，第（2）問中，設(shè)圓心，可求得圓的方程：，關(guān)鍵是如何求證圓過定點？法1（特殊值法）如取、可得圓的方程分別為、，聯(lián)立方程組求得或，經(jīng)檢驗，圓過定點法2 （一般方法） 將圓的方程整理為，故，且，解得，所以圓過定點南通卷本題解法較豐富，第（1）問中，除了求出圓的方程（過程較繁，不少考生最終選擇放棄），利用方程來判斷點與圓的位置關(guān)系外，還可以利用下面幾種方法：法1

4、（向量法）設(shè)橢圓的焦距為2c(c>0)，則其右準線方程為x，且F1(c, 0),F2(c, 0).設(shè)則，因為，所以，即.于是，故MON為銳角，所以點O在圓C外. 法2 （代數(shù)法）如圖2，設(shè)右準線與軸交于點，則， 故，則，又，即有，所以點O在圓C外.法3 （幾何法）如圖3，設(shè)中點為，延長交于點，連結(jié)，又，xF2F1OM（圖3）Ny故，而，故，即有，故，所以點O在圓C外.第（2）問，可用下面兩種方法：法1 因為橢圓的離心率為，所以, 于是M ，且 MN 2(y1y2)2y12+y222y1y2.（當且僅當 y1y2或y2y1時取“=”） 所以(MN)min= 2c2，于是c=1, 從而a2，

5、b，故所求的橢圓方程是.法2 由離心率可設(shè)，則， 設(shè)直線，當時，可得（當且僅當時取“=”），所以，于是a2，b，故所求的橢圓方程是.4 變式拓展南京卷變式1 設(shè)點是拋物線上的動點，若以為圓心的圓過定點求證：圓在軸上截得的弦長為定值證明：設(shè)圓心，則圓的方程為：，令得，所以圓在軸上截得的弦長為定值變式2 求證：過定點，且在軸截得的弦長為的圓的圓心的軌跡方程為.證明：設(shè)圓心，則，化簡得,證畢拓展1 如圖4，設(shè)點是拋物線上的動點，以為圓心的圓過定點,記,則當為何值時,取得最大值?并求此時圓的方程（圖4）解: 由變式1知,在中, ,即, 又, 故, 所以（當且僅當時取“=”）,此時, 所以圓的方程為:

6、.南通卷Mx（圖5）F2F1ONy變式1 如圖5，橢圓(a>0)的左、右焦點分別為F1、F2， M、N是橢圓右準線上的兩個動點，且（1）以MN為直徑的圓是否過定點？并說明理由； （2）求證：為定值解：（1）法1 （解析法）易知右準線：，設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：，令得，則圓心，所以圓的方程為：，整理為：，則當，且時，與的取值無關(guān)，此時，所以圓過定點法2（幾何法）設(shè)右準線：與軸交于點，圓與軸交于點、，則有，由得，所以，由相交弦定理得，故、坐標為，所以圓過定點（2）法1（解析法）由（1）中法1知法2（代數(shù)法）由（1）中法知OABxyPMN（圖6）變式2 如圖6，A、B分別為圓與軸的交

7、點，點是圓上的一動點，、分別交直線于、兩點 （1）以MN為直徑的圓是否過定點？并說明理由； （2）求證：為定值；說明：變式2參考答案同變式1，這里的數(shù)據(jù)均未變化，只是圖形由橢圓改為圓而已，但與垂直是自然而成的，整個問題就圍繞直線、圓的方程進行考察，注意體會運動與靜止的辯證關(guān)系5 幾點思考1 高考試題的特點解析幾何大題是新高考的“試驗田”，試題通常源于課本，穩(wěn)中求新，出活題，在知識交匯處命題，突出基礎(chǔ)知識與基本技能，重視數(shù)學思想與方法，注重運算、推演策略的選擇；2 試題的發(fā)展趨勢（1）題型涉及探索型問題、存在型問題、證明定值、過定點或某種特定關(guān)系等問題；（2）內(nèi)容以二次函數(shù)、橢圓、圓、直線等曲線為背景，“披上”平面向量的“外衣”考察圓的方程，特別是運動中的圓，以及直線的方程，可涉及基本不等式求最值問題，向量的數(shù)量積等C級要求內(nèi)容，不可忽視平面幾何在處理解析幾何問題中的重要作用；3 復習建議（1）扎根課本，夯實基礎(chǔ)，要知道高考試題 “源”于課本，萬變不離“綜”，只有扎實、靈活地掌握直線、圓、橢