研究讓解題教學(xué)更精彩

1、基于學(xué)習(xí)理論的習(xí)題課的認(rèn)識(shí)和教學(xué)設(shè)計(jì) 2014年高考已經(jīng)落下帷幕，在各省市的高考試卷中涌現(xiàn)了許多構(gòu)思精巧、立意高遠(yuǎn)、背景深刻的試題.這些精彩紛呈的考題也為我們的高考復(fù)習(xí)提供了良好的素材，下面筆者就以2014年廣東理科數(shù)學(xué)第20題為例說(shuō)明如何挖掘高考題的豐富內(nèi)涵，讓我們的解題教學(xué)更精彩.不足之處，敬請(qǐng)同行批評(píng)指正.一、考題展示2014年廣東理科數(shù)學(xué)第20題已知橢圓C:（）的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為.(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2) 若動(dòng)點(diǎn)P（）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線互相垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.二、試題評(píng)析 筆者在此暫不探討該考題的解法，而對(duì)此題作一下評(píng)析。本題第一問(wèn)主要考查圓錐曲

2、線基本量之間的關(guān)系，第二問(wèn)構(gòu)思精巧，主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及韋達(dá)定理等知識(shí)，以此為載體考查代數(shù)推理能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。三、深入挖掘 經(jīng)過(guò)筆者研究，將上述考題一般化可以得到關(guān)于橢圓的一個(gè)一般性結(jié)論，即如下命題1.命題1：已知橢圓C:（），動(dòng)點(diǎn)P為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線互相垂直，則點(diǎn)P的軌跡方程為，也即點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓.證明：假設(shè)過(guò)點(diǎn)P（）的橢圓C的切線斜率為，由點(diǎn)斜式可得切線方程為.聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消得：.因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以.化簡(jiǎn)可得， .兩條切線的斜率即為上述方程的兩根。又因?yàn)閮蓷l切線互相垂直，所以由韋達(dá)定理得：，整理得.所以點(diǎn)P的軌跡方

3、程為，也即點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓.由于圓錐曲線具有統(tǒng)一性，一個(gè)很自然的問(wèn)題就涌現(xiàn)在筆者腦海中：上述問(wèn)題對(duì)于雙曲線、拋物線，結(jié)論又是怎樣的呢？經(jīng)過(guò)探究，筆者得到命題2和命題3.命題2：已知雙曲線C:，動(dòng)點(diǎn)P為雙曲線C外一點(diǎn)，點(diǎn)P到雙曲線C的兩條切線互相垂直，則點(diǎn)P的軌跡方程為，也即點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓.證明：假設(shè)過(guò)點(diǎn)P（）的雙曲線C的切線斜率為，由點(diǎn)斜式可得切線方程為.聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消得：.因?yàn)橹本€與雙曲線相切，所以.化簡(jiǎn)可得， .兩條切線的斜率即為上述方程的兩根。又因?yàn)閮蓷l切線互相垂直，所以由韋達(dá)定理得：，整理得.所以，點(diǎn)P的軌跡方程為，也即點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓.命題3：已知拋物線C:，動(dòng)

4、點(diǎn)P為拋物線線C外一點(diǎn)，點(diǎn)P到拋物線線C的兩條切線互相垂直，則點(diǎn)P的軌跡方程為，也即點(diǎn)P的軌跡恰為拋物線的準(zhǔn)線.證明：假設(shè)過(guò)點(diǎn)P（）的拋物線C的切線斜率為，由點(diǎn)斜式可得切線方程為.聯(lián)立直線方程與拋物線方程，消得：.因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以.化簡(jiǎn)可得， .兩條切線的斜率即為上述方程的兩根。又因?yàn)閮蓷l切線互相垂直，所以由韋達(dá)定理得，整理得：.所以，點(diǎn)P的軌跡方程為，也即點(diǎn)P的軌跡恰為拋物線的準(zhǔn)線.四、教學(xué)啟示數(shù)學(xué)家哈莫斯說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.”一個(gè)好的問(wèn)題，能夠激發(fā)學(xué)生探究的欲望，產(chǎn)生一種躍躍欲試的沖動(dòng)；一個(gè)好的問(wèn)題，能夠全面考查學(xué)生的雙基，較好的考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力；一個(gè)好的問(wèn)題，能夠引發(fā)學(xué)生深入的思考，讓學(xué)生的思維在分析解決問(wèn)題中得到錘煉.高考題是一個(gè)豐富的寶藏，其中就有許多好問(wèn)題.只要我們教師用