二項(xiàng)式定理及應(yīng)用

1、萊西市數(shù)學(xué)公開(kāi)課教案課 題：二項(xiàng)式定理及應(yīng)用課 型：復(fù)習(xí)課教學(xué)目標(biāo)： 1、知識(shí)目標(biāo)：（1）理解并掌握二項(xiàng)式定理，從項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、通項(xiàng)幾個(gè)特征熟記它的展開(kāi)式。 （2）使學(xué)生掌握二項(xiàng)式定理習(xí)題的一般解題方法，熟練二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。 2、能力目標(biāo)：（1）教給學(xué)生怎樣記憶數(shù)學(xué)公式，從而優(yōu)化記憶品質(zhì)。 （2）進(jìn)行化歸思想、整體思想的滲透，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和逆向思維能力。 3、情感目標(biāo)：通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式定理的復(fù)習(xí)，使學(xué)生感覺(jué)到能掌握數(shù)學(xué)的部分內(nèi)容，有意識(shí)地讓學(xué)生演練一些歷年高考試題，使學(xué)生體驗(yàn)到成功，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。教學(xué)重點(diǎn)：能利用二項(xiàng)式定理解決相關(guān)問(wèn)題 教學(xué)難點(diǎn)：二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用教學(xué)方法

2、：講練結(jié)合教 具：多媒體教學(xué)過(guò)程：一、課前練習(xí)1、設(shè)n為自然數(shù)，則等于（ D ）（A） （B）0 （C）1 （D）12、(2007江西)展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和與其各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和之比為64，則n等于（C ）（A）4 （B）5 ( C)6 (D)73、(2007重慶) 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為（B ） （A）10 （B）20 （C）30 （D）1204、（2007安徽）已知a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)= -256小結(jié)：1、二項(xiàng)式定理的逆用不可忽視。2、求二項(xiàng)式系數(shù)和、二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和或部分項(xiàng)系數(shù)和用

3、賦值法 3、研究特定項(xiàng)用通項(xiàng)公式設(shè)計(jì)目的：復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理習(xí)題的一般解題方法，鍛煉逆向思維能力，讓學(xué)生演練一些歷年高考試題，體驗(yàn)到成功，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。二、復(fù)習(xí)提問(wèn)：1.二項(xiàng)式定理： 教師強(qiáng)調(diào)展開(kāi)式的特點(diǎn)： （1）項(xiàng)數(shù) n+1項(xiàng) （2）二項(xiàng)式系數(shù) 依次為,C,C,C(3)指數(shù)的特點(diǎn) 1)a的指數(shù) 由n 0( 降冪)。 2 )b的指數(shù)由0 n（升冪）,b的指數(shù)與該項(xiàng)組合數(shù)的上標(biāo)相等。 3）a和b的指數(shù)和為n。抓住特點(diǎn)會(huì)逆用。說(shuō)明：（1）、an-kbk相當(dāng)于從n個(gè)(a+b)中取出k個(gè)b，其余n-k個(gè)(a+b)中都取a，共種取法,故an-kbk的系數(shù)為，叫做二項(xiàng)式系數(shù)。 (2) 與雖

4、然相同，但具體到它們展開(kāi)式的某一項(xiàng)時(shí)是不同的。（3）展開(kāi)式是一個(gè)恒等式，a，b可取任意的復(fù)數(shù)，n為任意的正整數(shù)。由這個(gè)恒等式a，b取值的任意性，我們可以令a，b分別取一些不同的值來(lái)解決某些問(wèn)題，這就是我們所說(shuō)的“賦值法”。2.二項(xiàng)式通項(xiàng)公式： （r=0,1,2,n）反映出展開(kāi)式在指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：（1）在二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等。（2）二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)k時(shí)，是遞減的;因此如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為 如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大，為和 （3） （奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶

5、數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和） 4. 注意（1）奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)、奇次項(xiàng)、偶次項(xiàng)各自表示的意義。（2）區(qū)分“某項(xiàng)”、“某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)”、“某項(xiàng)的系數(shù)”，如 的展開(kāi)式中，第r+1項(xiàng)為，二項(xiàng)式系數(shù)為，項(xiàng)的系數(shù)為。設(shè)計(jì)目的：（1）理解并掌握二項(xiàng)式定理，從幾個(gè)特征熟記它的展開(kāi)式。（2）教給學(xué)生怎樣記憶數(shù)學(xué)公式，從而優(yōu)化記憶品質(zhì)。三、典例分析類型一 二項(xiàng)展開(kāi)式及通項(xiàng)公式的應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，反映出展開(kāi)式在指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)等方面的內(nèi)在聯(lián)系，因此能運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)、特定項(xiàng)系數(shù)等。例1、已知在的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)。（1）求n；（2）求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；（3）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)點(diǎn)撥：求指定

6、項(xiàng)應(yīng)借助通項(xiàng)公式確定r值解析：（1）通項(xiàng)公式為=因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r=5時(shí),有=0,即n=10(2)令=2，得r=所求項(xiàng)的系數(shù)為（3）據(jù)通項(xiàng)公式，由題意 令=k(kZ),10-2r=3k,r=5-k,rZ,k為偶數(shù)。k可取2，0，-2，即r可取2，5，8所以第3、6、9項(xiàng)為有理項(xiàng)，分別為，回顧總結(jié)：（1）解此類問(wèn)題分兩步：1、據(jù)所給條件和通項(xiàng)公式列方程求指數(shù)n，2、利用通項(xiàng)公式求指定項(xiàng) （2）區(qū)別有理數(shù)、有理項(xiàng)、無(wú)理項(xiàng)、整式項(xiàng)反饋練習(xí)：求的展開(kāi)式里有多少個(gè)有理項(xiàng)？解：設(shè)展開(kāi)式的第項(xiàng)為有理項(xiàng)，則對(duì)于一切有理項(xiàng)，、必為整數(shù)，則r必是6的倍數(shù)。又 ，96 解得。故展開(kāi)式中的有理項(xiàng)有17個(gè)。思考

7、：在本題中若問(wèn)無(wú)理項(xiàng)有多少個(gè)，如何解決呢？設(shè)計(jì)目的：使學(xué)生掌握利用通項(xiàng)公式求指定項(xiàng)的一般方法，滲透轉(zhuǎn)化思想。類型二：項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用例2、已知的展開(kāi)式中，某一項(xiàng)的系數(shù)是它前一項(xiàng)的系數(shù)的2倍，而等于它后一項(xiàng)系數(shù)的。（1） 求該展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2） 求該展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)。（學(xué)生思考后，教師引導(dǎo)分析，展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)不一定是中間一項(xiàng)）解析：（1）第r+1項(xiàng)系數(shù)為，第r項(xiàng)系數(shù)為，第r+2項(xiàng)系數(shù)為，由題意得 整理得 即 求得n=7 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第5項(xiàng)，即（）假設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則即即 解得又rN,第六項(xiàng)的系數(shù)最大，展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)為回顧總結(jié)：求展開(kāi)

8、式中系數(shù)最大項(xiàng)步驟是：先假定第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則它大于等于相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)，列出不等式組求解。反饋練習(xí)：在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，求系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)。解：因?yàn)樵诘恼归_(kāi)式中，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)，又展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)有兩項(xiàng)，分別為第六項(xiàng)、第七項(xiàng)，所以系數(shù)最小的項(xiàng)的系數(shù)為設(shè)計(jì)目的： 區(qū)分并掌握求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)和系數(shù)最大項(xiàng)的基本方法，提高靈活應(yīng)用能力，鍛煉運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化思想。類型三：賦值法在二項(xiàng)展開(kāi)式中的應(yīng)用例3、設(shè)(2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7，求：（1）a1+a2+a7的值（2）a0+a2+a4+a6的值（3）|a0|+|a1|+|a2|+|a7|的值.

9、解析：令x=1，則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=1 令x= 1，則a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37 (1)a0= 27=128,a1+a2+a8=127.(2) ( +)2得：a0+a2+a4+a6= =1094（3）（法一）( -)2得：a1+a3+a5+a7= =1093(2x)7展開(kāi)式中a0，a2，a4，a6大于零，而 a1，a3，a5，a7小于零|a0|+|a1|+|a2|+|a7|=（a0+a2+a4+a6）（a1+a3+a5+a7）=2187（法二）|a0|+|a1|+|a2|+|a7|即(2+x)7展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和|a0|+|a1|+|a2

10、|+|a7|=37=2187回顧總結(jié)：【1】求二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)a0,a1,a2,a3,an 的和或奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和用“賦值法”，設(shè)f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn則 a0+a1+a2+a3+an=f(1) a0-a1+a2-a3+(-1)nan=f(-1) a0+a2+a4+a6= a1+a3+a5+a7= a0=f(0) 【2】注意化歸思想、整體思想應(yīng)用，鍛煉發(fā)散思維，提高應(yīng)變能力。反饋練習(xí)：設(shè)：。求：的值。解：在令，得 令，得 兩式相乘得 。設(shè)計(jì)目的：進(jìn)行化歸思想、整體思想的滲透，鍛煉發(fā)散思維，提高應(yīng)變能力。四、課堂小結(jié)：本節(jié)主要復(fù)習(xí)了二項(xiàng)式定理的展開(kāi)式的特點(diǎn)及其二

11、項(xiàng)式定理在解題中的應(yīng)用。1、要正確理解二項(xiàng)式定理，準(zhǔn)確地寫(xiě)出二項(xiàng)式的展開(kāi)式；2、要注意區(qū)分項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)； 3、求系數(shù)和或部分系數(shù)和時(shí)，通常用賦值法；4、運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)最大值性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意區(qū)分n是偶數(shù)還是奇數(shù)；5、通項(xiàng)公式及其應(yīng)用是復(fù)習(xí)二項(xiàng)式定理的基本問(wèn)題，要達(dá)到熟練的程度。五：能力自測(cè)1、(x3+展開(kāi)式中，只有第6項(xiàng)的系數(shù)最大，展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是_.2102、設(shè)S=(x1)4+4(x1)3+6(x1)2+4(x1)+1，它等于下式中的（ C ）（A）(x2)4 （B）(x1)4 （C）x4 （D）(x+1)43、求(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)15的展開(kāi)式中x3的

12、系數(shù)解：（法一）（法二）原式= 展開(kāi)式中x3的系數(shù)為4、求的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)。解：在中項(xiàng)的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為1在中項(xiàng)的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為1故在的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為。（另解）由于積的展開(kāi)式的每一項(xiàng)，是從每個(gè)括號(hào)里任取一個(gè)字母的積，故展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為六、思考：有關(guān)三項(xiàng)式的問(wèn)題例題：求(x2+3x+2)5展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)。點(diǎn)撥：三項(xiàng)式的展開(kāi)式問(wèn)題一定可以通過(guò)變形，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問(wèn)題。解法1：。顯然只有中含有x項(xiàng)，其系數(shù)為。解法2：由于展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)是。解法3：(x2+3x+2)5=(x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2) (x2+3x+2)； 含x項(xiàng)可從其中一個(gè)因式選3x,其余因式選2相乘即得展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)是3=240回顧總結(jié)：（1）研究多項(xiàng)式展開(kāi)式中的問(wèn)題可用化歸法、組合法；（2）注重化歸思想的應(yīng)用和發(fā)散思維的鍛煉，提高應(yīng)變能