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1、數(shù)列求和的基本方法和技巧數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ). 在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位. 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一,除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外,大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧. 下面,就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來(lái)談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式: 2、等比數(shù)列求和公式:3、 4、5、例1 已知,求的前n項(xiàng)和.解:由 由等比數(shù)列求和公式得 (利用常用公式) 1 例2 設(shè)Sn1+2+3+n,nN*,求的最大值. 解:由等差數(shù)列求和公式得 , (利
2、用常用公式) 當(dāng) ,即n8時(shí),二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和,其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和:解:由題可知,的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè). (設(shè)制錯(cuò)位)得 (錯(cuò)位相減)再利用等比數(shù)列的求和公式得: 例4 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解:由題可知,的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) (設(shè)制錯(cuò)位)得 (錯(cuò)位相減) 三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(反序),再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個(gè).例5 求證
3、:證明: 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得 (反序) 又由可得 . +得 (反序相加) 例6 求的值解:設(shè). 將式右邊反序得 . (反序) 又因?yàn)?+得 (反序相加)89 S44.5四、分組法求和有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi),可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可.例7 求數(shù)列的前n項(xiàng)和:,解:設(shè)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得 (分組)當(dāng)a1時(shí), (分組求和)當(dāng)時(shí),例8 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.解:設(shè) 將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得 Sn (分組) (分組求和) 五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)
4、是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解,然后重新組合,使之能消去一些項(xiàng),最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解(裂項(xiàng))如:(1) (2)(3) (4)(5)(6) 例9 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解:設(shè) (裂項(xiàng))則 (裂項(xiàng)求和) 例10 在數(shù)列an中,又,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.解: (裂項(xiàng)) 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 (裂項(xiàng)求和) 例11 求證:解:設(shè) (裂項(xiàng)) (裂項(xiàng)求和) 原等式成立 六、合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列,將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì),因此,在求數(shù)列的和時(shí),可將這些項(xiàng)放在一起先求和,然后再求Sn. 例12 求cos1°+ cos2°+ cos3°+·
5、3;·+ cos178°+ cos179°的值.解:設(shè)Sn cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° (找特殊性質(zhì)項(xiàng))Sn (cos1°+ cos179°)+( cos2°+ cos178°)+ (cos3°+ cos177°)+···+(cos89°+ cos91°)+ cos90° (合并求和) 0例13 數(shù)列an:,求S2002.解:設(shè)S2002由可得 (找特殊性質(zhì)項(xiàng))S2002 (合并求和) 5例14 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若的值.解:設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) (找特殊性質(zhì)項(xiàng))和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 得 (合并求和) 10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析,找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征,然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和,是一個(gè)重要的方法.例15 求之和.解:由于 (找通項(xiàng)及
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