二項式定理 教師版

1、10.5 二項式定理知識梳理1.二項展開式的通項公式是解決與二項式定理有關(guān)問題的基礎(chǔ).2.二項展開式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.利用二項式展開式可以證明整除性問題，討論項的有關(guān)性質(zhì)，證明組合數(shù)恒等式，進(jìn)行近似計算等.點擊雙基1.已知（13x）9=a0+a1x+a2x2+a9x9，則a0+a1+a2+a9等于A.29 B.49 C.39 D.1解析：x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負(fù)值，a0+a1+a2+a9=a0a1+a2a3+a9.已知條件中只需賦值x=1即可.答案：B2.（2004年江蘇，7）（2x+）4的展開式中x3的系數(shù)是A.6B.12C.24D.48解析：（2x+）4=x2（1+2）4，在（1+2

2、）4中，x的系數(shù)為C·22=24.答案：C3.（2004年全國，5）（2x3）7的展開式中常數(shù)項是A.14B.14C.42D.42解析：設(shè)（2x3）7的展開式中的第r+1項是T=C（2x3）（）r=C2·（1）r·x，當(dāng)+3（7r）=0，即r=6時，它為常數(shù)項，C（1）6·21=14.答案：A4.（2004年湖北，文14）已知（x+x）n的展開式中各項系數(shù)的和是128，則展開式中x5的系數(shù)是_.（以數(shù)字作答）解析：（x+x）n的展開式中各項系數(shù)和為128，令x=1，即得所有項系數(shù)和為2n=128.n=7.設(shè)該二項展開式中的r+1項為T=C（x）·

3、;（x）r=C·x，令=5即r=3時，x5項的系數(shù)為C=35.答案：355.若（x+1）n=xn+ax3+bx2+cx+1（nN*），且ab=31，那么n=_.解析：ab=CC=31，n=11.答案：11典例剖析【例1】 如果在（+）n的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項.解：展開式中前三項的系數(shù)分別為1，由題意得2×=1+，得n=8.設(shè)第r+1項為有理項，T=C··x，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8.有理項為T1=x4，T5=x，T9=.評述：求展開式中某一特定的項的問題常用通項公式，用待定系數(shù)法確定r.【例2】 求式子（x+2）3

4、的展開式中的常數(shù)項.解法一：（x+2）3=（x+2）（x+2）（x+2）得到常數(shù)項的情況有：三個括號中全取2，得（2）3；一個括號取x，一個括號取，一個括號取2，得CC（2）=12，常數(shù)項為（2）3+（12）=20.解法二：（|x|+2）3=（）6.設(shè)第r+1項為常數(shù)項，則T=C·（1）r·（）r·|x|=（1）6·C·|x|，得62r=0，r=3.T3+1=（1）3·C=20.思考討論（1）求（1+x+x2+x3）（1x）7的展開式中x4的系數(shù)；（2）求（x+4）4的展開式中的常數(shù)項；（3）求（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5

5、0的展開式中x3的系數(shù).解：（1）原式=（1x）7=（1x4）（1x）6，展開式中x4的系數(shù)為（1）4C1=14.（2）（x+4）4=，展開式中的常數(shù)項為C·（1）4=1120.（3）方法一：原式=.展開式中x3的系數(shù)為C.方法二：原展開式中x3的系數(shù)為C+C+C+C=C+C+C=C+C+C=C.評述：把所給式子轉(zhuǎn)化為二項展開式形式是解決此類問題的關(guān)鍵.【例3】 設(shè)an=1+q+q2+q（nN*，q±1），An=Ca1+Ca2+Can.（1）用q和n表示An；（2）（理）當(dāng)3<q<1時，求.解：（1）因為q1，所以an=1+q+q2+q=.于是An= C+ C+

6、C=（C+C+C）（Cq+Cq2+Cqn）=（2n1）（1+q）n1=2n（1+q）n.（2）=1（）n.因為3<q<1，且q1，所以0<| |<1.所以=.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為A.20 B.219C.220D.2201解析：C+C+C=2201.答案：D2.（2004年福建，文9）已知（x）8展開式中常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是A.28B.38C.1或38D.1或28解析：T=C·x8r·（a

7、x1）r=（a）rC·x82r.令82r=0，r=4.（a）4C=1120.a=±2.當(dāng)a=2時，令x=1，則（12）8=1.當(dāng)a=2時，令x=1，則（12）8=38.答案：C3.（2004年全國，13）（x）8展開式中x5的系數(shù)為_.解析：設(shè)展開式的第r+1項為T=Cx8r·（）r=（1）rCx.令8=5得r=2時，x5的系數(shù)為（1）2·C=28.答案：284.（2004年湖南，理15）若（x3+）n的展開式中的常數(shù)項為84，則n=_.解析：T=C（x3）nr·（x）r=C·x.令3nr=0，2n=3r.n必為3的倍數(shù)，r為偶數(shù).試

8、驗可知n=9，r=6時，C=C=84.答案：95.已知（x+1）n展開式中，末三項的二項式系數(shù)和等于22，二項式系數(shù)最大項為20000，求x的值.解：由題意CCC=22，即CCC=22，n=6.第4項的二項式系數(shù)最大.C（x）3=20000，即x3lgx=1000.x=10或x=.培養(yǎng)能力6.若（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11.求：（1）a1+a2+a3+a11；（2）a0+a2+a4+a10.解：（1）（1+x）6（12x）5=a0+a1x+a2x2+a11x11.令x=1，得a0+a1+a2+a11=26，又a0=1，所以a1+a2+a11=261=65.（2

9、）再令x=1，得a0a1+a2a3+a11=0.+得a0+a2+a10=（26+0）=32.評述：在解決此類奇數(shù)項系數(shù)的和、偶數(shù)項系數(shù)的和的問題中常用賦值法，令其中的字母等于1或1.7.在二項式（axm+bxn）12（a0，b0，m、n0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項恰是常數(shù)項.（1）求它是第幾項；（2）求的范圍.解：（1）設(shè)T=C（axm）12r·（bxn）r=Ca12rbrxm（12r）+nr為常數(shù)項，則有m（12r）+nr=0，即m（12r）2mr=0，r=4，它是第5項.（2）第5項又是系數(shù)最大的項，有Ca8b4Ca9b3， Ca8b4Ca7b5. 由得a8b

10、4a9b3，a0，b0， ba，即.由得，.8.在二項式（+）n的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項.分析：根據(jù)題意列出前三項系數(shù)關(guān)系式，先確定n，再分別求出相應(yīng)的有理項.解：前三項系數(shù)為C，C，C，由已知C=C+C，即n29n+8=0，解得n=8或n=1（舍去）.T=C（）8r（2）r=C··x.4Z且0r8，rZ，r=0，r=4，r=8.展開式中x的有理項為T1=x4，T5=x，T9= x2.評述：展開式中有理項的特點是字母x的指數(shù)4Z即可，而不需要指數(shù)4N.探究創(chuàng)新9.有點難度喲！求證：2<（1+）n<3（n2，nN*）.證明：（1+）n

11、=C+C× +C（）2+C（）n=1+1+C×+C×+C×=2+×+×+×<2+<2+=2+=3（）<3.顯然（1+）n=1+1+C×+C×+C×>2.所以2<（1+）n<3.思悟小結(jié)1.在使用通項公式T=Cbr時，要注意：（1）通項公式是表示第r1項，而不是第r項.（2）展開式中第r+1項的二項式系數(shù)C與第r+1項的系數(shù)不同.（3）通項公式中含有a，b，n，r，T五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素.在有關(guān)二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式，把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負(fù)整數(shù)且rn.2.證明組合恒等式常用賦值法.教師下載中心教學(xué)點睛1.要正確理解二項式定理，準(zhǔn)確地寫出二項式的展開式.2.要注意區(qū)分項的系數(shù)與項的二項式系數(shù). 3.要注意二項式定理在近似計算及證明整除性中的應(yīng)用.4.通項公式及其應(yīng)用是二項式定理的基本問題，要熟練掌握.拓展題例【例題】 求（a2b3c）10的展