兩數(shù)和差的平方

1、2兩數(shù)和(差)的平方課前知識管理1、完全平方公式有兩個：（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2.即，兩數(shù)和（或差）的平方，等于這兩個數(shù)的平方和，加上（或者減去）這兩個數(shù)的積的2倍.這兩個公式叫做完全平方公式.它們可以合寫在一起，為（a±b）2=a2±2ab+b2.為便于記憶，可形象的敘述為：“首平方、尾平方，2倍乘積在中央”.幾何背景：如圖，大正方形的面積可以表示為（a+b）2，也可以表示為SS+ S+ S+S，同時Sa2+ab+ab+b2a2+2ab+b2.從而驗證了完全平方公式（a+b）2a2+2ab+b2.2、完全平方公式的特征：左邊是兩個

2、相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二項式中兩項的平方和，加上（這兩項相加時）或減去（這兩項相減時）這兩項乘積的2倍.公式中的字母可以表示具體的數(shù)（正數(shù)或負數(shù)），也可以表示單項式或多項式等代數(shù)式.只要符合這一公式的結(jié)構(gòu)特征，就可以運用這一公式.3、在使用完全平方公式時應(yīng)注意問題：（1）千萬不要發(fā)生類似（a±b）2=a2±b2的錯誤；（2）不要與公式（ab）2=a2b2混淆；（3）切勿把“乘積項”2ab中的2漏掉；（4）計算時，應(yīng)先觀察所給題目的特點是否符合公式的條件，如符合，則可以直接套用公式進行計算；如不符合，應(yīng)先變形為公式的結(jié)構(gòu)特點，再利用公式進行計算，如變形后仍不具

3、備公式的結(jié)構(gòu)特點，則運用乘法法則進行計算.名師導(dǎo)學(xué)互動典例精析：知識點1：改變公式中的符號：例1、運用完全平方公式計算： 【解題思路】本例改變了公式中的符號，處理方法之一：把兩式分別變形為再用公式計算（反思得：）； 方法二：把兩式分別變形為：后直接用公式計算；方法三：把兩式分別變形為后直接用公式計算. 【解】=.【方法歸納】對乘法公式的最初運用是模仿套用，套用的前提是確定是否具備使用公式的條件，關(guān)鍵是正確確定“兩數(shù)”即“a”和“b”.對應(yīng)練習：知識點2：改變公式中的項數(shù)例2、計算： 【解題思路】完全平方公式的左邊是兩個相同的二項式相乘，而本例中出現(xiàn)了三項，故應(yīng)考慮將其中兩項結(jié)合運用整體思想看成

4、一項，從而化解矛盾.所以在運用公式時，  可先變形為 或 或者 ，再進行計算【解】=【方法歸納】運用整體思想可以使計算更為簡便，快捷.對應(yīng)練習：（2ab4）2知識點3：改變公式的結(jié)構(gòu)例3、運用公式計算： （1）； （2）.【解題思路】本例中所給的均是二項式乘以二項式，表面看外觀結(jié)構(gòu)不符合公式特征，但仔細觀察易發(fā)現(xiàn)，只要將其中一個因式作適當變形就可以了.【解】（1）=；（2）=.【方法歸納】觀察到兩個因式的系數(shù)有倍數(shù)關(guān)系或相反關(guān)系是正確變形并利用公式的前提條件.對應(yīng)練習：計算：知識點4：利用公式簡便運算  例4：計算：9992   &#

5、160;     【解題思路】本例中的999接近1000，故可化成兩個數(shù)的差，從而運用完全平方公式計算.【解】998001.【方法歸納】有些數(shù)計算時可拆成兩數(shù)（式）的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公式可使運算簡捷、快速.對應(yīng)練習：計算：100.12知識點5：公式的逆用  例5、計算： 【解題思路】本題若直接運用乘法公式和法則較繁瑣，仔細分析可發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)恰似完全平方公式的右邊，不妨把公式倒過來用.【解】=.【方法歸納】解題中，若把注意力和著眼點放在問題的整體上，多方位思考、聯(lián)想、探究，進行整體思考、整體變形，從不同的方面確定解題策略，能使問

6、題迅速獲解對應(yīng)練習：化簡 知識點6：公式的變形例6、已知實數(shù)a、b滿足.求下列各式的值：（1）；        （2）【解題思路】此例是典型的整式求值問題，若按常規(guī)思維把a、b的值分別求出來，非常困難；仔細探究易把這些條件同完全平方公式結(jié)合起來，運用完全平方公式的變形式很容易找到解決問題的途徑. 【解】（1）=； （2）=6.【方法歸納】  ； 熟悉完全平方公式的變形式，是相關(guān)整體代換求值的關(guān)鍵.對應(yīng)練習：已知：xy1，x2y25，求xy的值.知識點7：乘法公式的綜合應(yīng)用例7、計算：【解題思路】

7、此例是三項式乘以三項式，特點是：有些項相同，另外的項互為相反數(shù)。故可考慮把相同的項和互為相反數(shù)的項分別結(jié)合構(gòu)造成平方差公式計算后，再運用完全平方公式等計算.【解】【方法歸納】靈活運用公式主要是指既要熟練地正用公式，又要掌握公式的逆用，還要根據(jù)題目特點善于對公式進行變式使用.在解題中充分體現(xiàn)應(yīng)用公式的思維靈活性，綜合并靈活地解決有關(guān)的不同類型的問題.對應(yīng)練習： 易錯警示例8、(x+1)2.錯解：(x+1)2=x2+1.錯解分析：錯解中漏掉了加上它們積的2倍，(x+1)2x2+1，不能與積的冪 (ab)n =anbn混淆正解：(x+1)2=x2+2x+1例9、(x2-y2)(x2-y2).錯解：(

8、x2-y2)(x2-y2)=x4-y4錯解分析：(x2-y2)(x2-y2)=(x2-y2)2，錯解中錯誤地運用平方差公式來計算了，(x2-y2)(x2-y2)(x2-y2)(x2+y2)x4-y4正解：(x2-y2)(x2-y2)=(x2-y2)2=x4-2x2y2+y4.例10、(3x+2y)2.錯解：(3x+2y)2=9x2+6xy+4y2錯解分析：(3x+2y)2展開式中“它們積的2倍”是2·3x·2y12xy，因為第二數(shù)2y有一個“2”，所以很容易忘掉“2倍”正解：(3x+2y)2=(3x)2+2·3x·2y+(2y)2=9x2+12xy+4y

9、2.例11、錯解：錯解分析：展開式中，因此原來的系數(shù)是完全平方數(shù)，因此，也很容易忘了把它再平方正解：課堂練習評測知識點1：完全平方公式1、在a24a4的空格中，任意填上“+”或“”，在所得到的這些代數(shù)式中，能構(gòu)成完全平方式的有（ ）種A1B2 C3D42、圖是一個邊長為的正方形，小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗證的式子是（ ）A B C D3、若，則的值為 4、已知(a-b)2=4,ab=，則(a+b)2= 。5、若將代數(shù)式中的任意兩個字母交換，代數(shù)式不變，則稱這個代數(shù)式為完全對稱式，如就是完全對稱式.下列三個代數(shù)式：；其中是完全對稱式的是 6、先化簡，再求值：，其中a=3,b=

10、10知識點2：開放型試題7、已知是有理數(shù)，是無理數(shù)，請先化簡下面的式子，再在相應(yīng)的圓圈內(nèi)選擇你喜歡的數(shù)代入求值：課后作業(yè)練習基礎(chǔ)訓(xùn)練：一、選擇題1下列運算中，正確的是（ ）A3a+2b=5ab B（a1）2=a22a+1 Ca6÷a3=a2 D（a4）5=a92下列運算中，利用完全平方公式計算正確的是（ ）A（x+y）2=x2+y2 B（xy）2=x2y2C（x+y）2=x22xy+y2 D（xy）2=x22xy+y23下列各式計算結(jié)果為2xyx2y2的是（ ）A（xy）2 B（xy）2 C（x+y）2 D（xy）24若等式（x4）2=x28x+m2成立，則m的值是（ ）A16 B4

11、 C4 D4或4二、填空題5（x2y）2=_6若（3x+4y）2=（3x4y）2+B，則B=_7若ab=3，ab=2，則a2+b2=_8（_y）2=x2xy+_；（_）2=a26ab+_提高訓(xùn)練9、若（x+）2=9，則（x）2的值為_10、化簡：a（a2b）（ab）211、（巧題妙解題）已知x+y=1，求x2+xy+y2的值12、已知a+=5，分別求a2+，（a）2的值13、為了擴大綠化面積，若將一個正方形花壇的邊長增加3米，則它的面積就增加39平方米，求這個正方形花壇的邊長14、利用完全平方公式計算：（1）20192； （2）78215、先化簡，再求值：（2x1）（x+2）（x2）2（x+2

12、）2，其中x=16、小明在計算時，找不到計算器，去向小華借，小華看了看題說根本不需要用計算器，而且很快說出了答案你知道他是怎么做的嗎？對應(yīng)練習答案：1.解：=.2.解原式（2ab）42（2ab）28（2ab）164a24abb216a8b16.3.解：=4.答案：100.12=10020.01.5.答案：6.解：由xy，得xy2.7.解：課堂練習評測參考答案1、答案：B2、答案：B3、答案：54、答案：65、答案：6、解：當a=3,b=10時，原式=33×10=337、解：=，答案不惟一，比如選，則代數(shù)式的值為1.課后作業(yè)練習參考答案：1B2C 點撥：（x+y）2=x2+2xy+y2

13、，所以A不正確；（xy2=x22xy+y2，所以B不正確；（x+y）2=（x）2+2（x）·y+y2=2xy+y2，所以C正確；（xy）2=（x+y）2=x2+2xy+y2，所以D也不正確，故選C3D4D 點撥：因為（x4）2=28x+16，所以若（x4）2=x28x+m2成立，則m2=16，從而得m=±4，故選D二、5x2+4xy+4y2 點撥：（x2y）2=（x+2y） 2=（x+2y）2=x2+4xy+4y2648xy 點撥：B=（3x+4y）2（3x4y）2=9x2+24xy+16y2（9x224xy+16y2）=9x2+24xy+16y292+24xy16y2=4

14、8xy713 點撥：因為ab=3，ab=2，所以a2+b2=（ab）2+2ab=32+2×2=9+4=138x；y2；a4b；16b29、510、解：a（a2b）（ab）2=a22ab（a22ab+b2）=a22aba2+2abb2=b211、解：因為x+y=1，所以（x+y）2=1，即x2+2xy+y2=1所以x2+xy+y2=（x2+2xy+y2）=×1=點撥：通過平方將已知條件轉(zhuǎn)化為完全平方公式，從而巧妙求值12、解：因為a+=5，所以a2+=（a+）22·a·=522=23，所以（a）2=a2+2·a·=232=21點撥：注意公式的一些變形形式，例如：a2+b2=（a+b）22ab，a2+b2=（ab）2+2ab，（a+b）2=（ab）2+4ab，（ab）2=（a+b）24ab等等13、解：設(shè)這個正方形花壇的邊長為x米，依題意列方程得，（x+3）2x2=39，即x2+6x+9x2=39，6x=30，x=5答：這個正方形花壇的邊長為5米 點撥：適當引進未知數(shù)，根據(jù)題中的相等關(guān)系得到方程，解方程即可14、解：（1）20192=（2019+8）2=20192+2×2019×8+82=4000000+32019+64=4032